কাজ (Work)

কাজ (Work)

সংজ্ঞা: একটি বস্তুর উপর কোনো বল ক্রিয়া করায় যদি বলের অভিমুখে বস্তুটির কিছু সরণ ঘটে তাহলে ক্রিয়াশীল বল কাজ করেছে বলে ধরা হয়।

ধরা যাক, কোনো বস্তুর উপর একটি ধ্রুব বল F এর ক্রিয়ায় বস্তুটির বলের অভিমুখে সরলরেখা বরাবর সরণ হয় S (চিত্র)। তাহলে বস্তুটির উপর বল দ্বারা কৃতকাজ W হবে, 

W=FS

এখানে সরণ S এর সময় যদি বল F স্থির থাকে, অর্থাৎ বল ধ্রুব হয়, তাহলে কাজের সমীকরণে আমরা F বসিয়ে সহজেই কাজ হিসাব করতে পারি। কিন্তু যদি বল F ধ্রুব না হয়ে পরিবর্তিত হতে থাকে, তাহলে উক্ত সমীকরণে কোন F বসাবো? সেই ক্ষেত্রে উপরিউক্ত সমীকরণ প্রযোজ্য হবে না। প্রতিটি মুহূর্তে F এর নতুন নতুন মান নিয়ে অসংখ্যবার কাজ হিসাব করে যোগ করে, অন্য কথায় যোগজীকরণ করে কাজ হিসাব করতে হবে।

লেখচিত্র দ্বারা কাজের বর্ণনা (Description of Work by Graph)

 বস্তুর সরণের অভিমুখে প্রযুক্ত বলের উপাংশকে কোটি বরাবর এবং সরণের মানকে ভুজ বরাবর সূচিত করে একটি লেখচিত্র আঁকা হলো [চিত্র]। এই লেখচিত্রের নিচে অবস্থিত ক্ষেত্রফল কৃত কাজের সমান হয়। প্রযুক্ত বল ধ্রুবক হলে লেখচিত্রটি x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা হয়। মনে করি, এই বলের ক্রিয়ায় বস্তুটি x_{1} অবস্থান থেকে x_{2} অবস্থানে সরে যায়। তখন কৃত কাজের পরিমাণ লেখচিত্র, x-অক্ষের এবং x_{1} ও x_{2}-তে আঁকা দুটি কোটির মধ্যে সীমাবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হয়। চিত্রে এই আয়তক্ষেত্রটিকে রেখাঙ্কিত করে দেখানো হয়েছে।

প্রযুক্ত বল পরিবর্তনশীল হলে লেখচিত্রটি যে কোনো আকারের হতে পারে। এখানেও কাজের পরিমাণ আগের পদ্ধতিতে নির্ণয় করা যায়। বস্তুর অতি ক্ষুদ্র সরণ \Delta x কল্পনা করলে এই সরণের সময় প্রযুক্ত বল F কার্যত ধ্রুবক থাকে বলে ধরা যায়। ফলে ঐ ক্ষুদ্র সরণের জন্য কৃত কাজের পরিমাণ F \Delta x হয়। 

এই কাজ অনুভূমিক রেখাংশ আঁকা সরু ফালির ক্ষেত্রফলের সমান হয়। x_{1} থেকে x_{2} পর্যন্ত সরণকে আমরা এরকম অসংখ্য অতি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র সরণ \Delta x– এর সমষ্টি বলে কল্পনা করতে পারি; প্রতিটির জন্য কৃত কাজ F \Delta x লেখচিত্র থেকে নির্ণয় করে যোগ করলে মোট কৃত কাজ পাওয়া যায়। অতএব, মোট কৃত কাজ আগের মত লেখচিত্র, x-অক্ষ এবং x_{1} ও x_{2}-তে আঁকা দুটি কোটির মধ্যে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফলের সমান হয়।

ধ্রুব বল দ্বারা সম্পাদিত বা কৃত কাজ(Work done by a constant Force)

আমরা আগের অনুচ্ছেদে দেখেছি F বলের ক্রিয়ায় যদি কোনো কণার বলের অভিমুখে সরলরেখা বরাবর সরণ S হয়, তাহলে কণাটির উপর বলের দ্বারা কৃত কাজ হবে,

W=FS

এখন যদি বল F ধ্রুব হয় এবং বলের অভিমুখে কণাটির সরণ s হয়, তাহলে নিঃসন্দেহে কাজের সমীকরণ থেকে কৃত কাজ পাওয়া যাবে।

W=FS

ধ্রুব বল F যদি কণাটির সরণ S এর সাথে কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে এ সরণ কালে কৃত কাজ W হবে। 

W=সরণের দিকে বলের উপাংশ সরণ

=(F S \cos \theta)

বা,W= (F S \cos \theta)

=বলের দিকে সরণের উপাংশ 

∴W= (F S \cos \theta)

বল ও সরণ উভয়ই ভেক্টর রাশি হওয়ায় ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণনের সংজ্ঞানুসারে আমরা সমীকরণকে লিখতে পারি,

∴W=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{S}

রাশি: যেহেতু দুটি ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি। সুতরাং বল ও সরণের স্কেলার গুণফলের কাজ একটি স্কেলার রাশি। এর কেবল মান আছে, দিক নেই।

মাত্রা: (5.2) সমীকরণ থেকে দেখা যায়, ## এর কোনো মাত্রা নেই। সুতরাং কাজের মাত্রা হবে বল\timesসরণ-এর মাত্রা।

[W]=M L^{2} T^{-2}

একক: কাজের একক=বলসরণ-এর একক। কাজের একক জুল (J)। যদি বল F=1 N, সরণ S=1 m এবং θ=0° হয়, তাহলে W=1 J হবে।

কোনো বস্তুর উপর এক নিউটন (N) বল প্রয়োগের ফলে যদি বলের দিকে বলের প্রয়োগ বিন্দুর এক মিটার(m) সরণ হয় তবে সম্পন্ন কাজের পরিমাণকে এক জুল (J) বলে।

∴1 J=1 N m

বলের দ্বারা কাজ বা ধনাত্মক কাজ(Work Done by a Force or Positive Work)

সংজ্ঞা : যদি বল প্রয়োগের ফলে বলের প্রয়োগ বিন্দু বলের দিকে সরে যায় বা বলের দিকে সরণের উপাংশ থাকে, তাহলে সেই বল এবং বলের দিকে সরণের উপাংশের গুণফলকে ধনাত্মক কাজ (Positive Work) বা বলের দ্বারা কাজ বলে।

W=\vec{F} \cdot \vec{S}=F S \cos \theta সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, cos ধনাত্মক হলে W ধনাত্মক হয়। বল F এবং সরণ s এর অন্তর্ভুক্ত কোণ এর মান 90° কম হলে অর্থাৎ 0≤θ<90 হলে cos ধনাত্মক হয়, তখন বলের দিকে সরণের উপাংশ থাকে; ফলে বলের দ্বারা কাজ বা ধনাত্মক কাজ হয়।

উদাহরণ : একটি বস্তু উপর থেকে মাটিতে ফেলে দিলে বস্তুটি অভিকর্ষ বলের দিকে পড়বে। এক্ষেত্রে প্রযুক্ত বল তথা বস্তুর ওজন mg এবং সরণ s একই দিকে তথা নিচের দিকে হয়; ফলে বস্তুর উপর অভিকর্ষ বল দ্বারা কাজ হয়েছে বা অভিকর্ষ বলের জন্য ধনাত্মক কাজ হয়েছে বোঝায়।

বলের বিরুদ্ধে কাজ বা ঋণাত্মক কাজ (Work Done Against a Force or Negative Work)

সংজ্ঞা : যদি বল প্রয়োগের ফলে বলের প্রয়োগ বিন্দু বলের বিপরীত দিকে সরে যায় বা বলের বিপরীত দিকে সরণের উপাংশ থাকে তাহলে সেই বল এবং বলের বিপরীত দিকে সরণের উপাংশের গুণফলকে ঋণাত্মক কাজ( Negative Work) বা বলের বিরুদ্ধে কাজ বলে।

W=\vec{F} \cdot \vec{S}=F S \cos \theta সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, cos ঋণাত্মক হলে W ঋণাত্মক হয়। বল F এবং সরণ S এর অন্তর্ভুক্ত কোণ এর মান 90° কম হলে অর্থাৎ 0≤θ<90 হলে cos ঋণাত্মক হয়, তখন বলের বিপরীত দিকে সরণের উপাংশ থাকে; ফলে বলের বিরুদ্ধে কাজ বা ঋণাত্মক কাজ হয়।

উদাহরণ : একখানি বই যদি মেঝে থেকে টেবিলের উপর ওঠানো হয়, তাহলে বস্তুর উপর অভিকর্ষ বল তথা বস্তুর ওজন mg খাড়া নিচের দিকে এবং সরণ S খাড়া উপরের দিকে ক্রিয়া করে। এক্ষেত্রে অভিকর্ষ বল ও সরণ বিপরীতমুখী হওয়ায় অভিকর্ষ বলের বিরুদ্ধে কাজ করা হবে বা অভিকর্ষ বলের জন্য ঋণাত্মক কাজ হবে।

অবশ্য তুমি যে বল প্রয়োগ করে বস্তুকে উপরে উঠিয়েছো, তোমার প্রযুক্ত বলের জন্য ধনাত্মক কাজ হবে।

শূন্য কাজ (Zero Work)

বল প্রয়োগে যদি কোনো বস্তুর সরণ বলের লম্ব বরাবর হয়, তবে ঐ বলের দ্বারা কোনো কাজ হয় না। কেননা এই ক্ষেত্রে θ=90 হওয়ায় W=(F S \cos \theta)=0। যেমন কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে ঘোরায় যে কেন্দ্রমুখী বল, তার দ্বারা কোনো কাজ হয় না। কেননা, প্রতি মূহূর্তে বল ব্যাসার্ধ বরাবর কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে আর সরণ হয় বৃত্তের স্পর্শক বরাবর।