পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃতকাজ (Work Done by A Variable Force)

পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃতকাজ (Work Done by A Variable Force)

বল একটি ভেক্টর রাশি, তাই এর পরিবর্তন মান বরাবর, দিক বরাবর বা উভয় ক্ষেত্রেই হতে পারে। আমরা কেবল মানের পরিবর্তনের জন্য পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃত কাজ হিসাব করব।

 ধরা যাক, কোনো বস্তুর উপর একটি বল কোনো একটি নির্দিষ্ট দিকে অর্থাৎ একটি সরলরেখা বরাবর ক্রিয়াশীল। যে দিকে বল ক্রিয়া করে সেই দিককে আলোচনার সুবিধার জন্য আমরা X-অক্ষ রূপে বিবেচনা করি। ধরা যাক, বস্তুটি এই বলের ক্রিয়ায় X-অক্ষ বরাবর গতিশীল। এ বস্তুটির আদি অবস্থান x_{i} থেকে শেষ অবস্থান x_{f} -এ যাওয়ার জন্য পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃত কাজ হিসাব করবো। এ জন্য আমরা মোট সরণকে x প্রস্থের ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র N সংখ্যক সমান অংশে বিভক্ত করি (চিত্র)। 

এ অংশগুলোর প্রথমটি বিবেচনা করা যাক, যেখানে x_{i} থেকে x_{i}+\Delta x পর্যন্ত ক্ষুদ্র সরণ হচ্ছে \Delta x। এ ক্ষুদ্র সরণকালে বল F(x) এর মান পরিবর্তিত হলেও, সরণ যেহেতু খুবই ক্ষুদ্র, তাই আমরা বলের মানের এই পরিবর্তন নগণ্য বিবেচনা করে বলতে পারি এ ক্ষুদ্র সরণ কালে বল F(x) এর মান ধ্রুব থাকে। ধরা যাক, F(x) এর এ ধ্রুব মান F_{1}। সুতরাং এ অংশে এ বল দ্বারা ক্ষুদ্র কাজ \Delta W_{1} হচ্ছে প্রায়,

\Delta W_{1}=F_{1} \Delta x

অনুরূপভাবে দ্বিতীয় অংশে x_{i}+\Delta xথেকে x_{i}+2 \Delta x পর্যন্ত ক্ষুদ্র সরণ\Delta x। ধরা যাক,  F(x) এর এই অংশে প্রায় ধ্রুব মান F_{2}। সুতরাং দ্বিতীয় অংশে বল দ্বারা কৃত কাজ হবে প্রায় \Delta W_{2}=F_{2} \Delta x। বস্তুটিকে x_{i} থেকে x_{f} পর্যন্ত সরাতে F(x)  বল দ্বারা কৃত মোট কাজ হবে সমীকরণের অনুরূপ N সংখ্যক পদের সমষ্টির প্রায় সমান।

সুতরাং

\begin{aligned} W &=\Delta W_{1}+\Delta W_{2}+\Delta W_{3}+\cdots+\Delta W_{N} \\ &=F_{1} \Delta x+F_{2} \Delta x+F_{3} \Delta x+\cdots+F_{N} \Delta x \end{aligned}

বা, W=\sum_{k=1}^{N} F_{k} \Delta x

\Delta x কে যত ক্ষুদ্র থেকে ক্ষুদ্রতর তথা বিভক্ত অংশের সংখ্যা যত বৃহৎ থেকে বৃহত্তর করা যাবে হিসাবকৃত কাজের মান ততো সঠিক কাজের মানের কাছাকাছি পৌঁছাবে। আমরা বল F(x) দ্বারা কৃত কাজের সঠিক মান পেতে পারি যদি আমরা পরিমাপের সীমার মধ্যে x কে শূন্য এবং বিভক্ত অংশের সংখ্যা N কে অসীম করি। তাহলে সঠিক ফল হবে,

W=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{N} F_{k} \Delta x

কিন্তু \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{N} F_{k} \Delta x রাশিটি হচ্ছে ক্যালকুলাসের ভাষায়

\int_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) d x যা x_{i} থেকে x_{f}পর্যন্ত x এর সাপেক্ষে F(x) এর যোগজীকরণ বা সমাকলন নির্দেশ করে।

সুতরাং সমীকরণ দাঁড়ায়,

W=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) d x

সংখ্যাগতভাবে এই রাশিটি হচ্ছে বল বক্ররেখা (force curve) এবংx_{i}  ওx_{f} সীমার মধ্যে অবস্থিত X-অক্ষের অন্তর্গত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (চিত্র)।

পরিবর্তনশীল বল দ্বারা কৃত কাজ : দ্বিমাত্রিক ঘটনা বা ভেক্টর রূপ(Work Done by a Variable Force: Two Dimensional Case or Vector Form)

কোনো কণার উপর ক্রিয়াশীল বল F দিকে এবং মানে পরিবর্তিত হতে পারে এবং কণাটি একটি বক্রপথে (curved path) চলতে পারে। এই সাধারণ ক্ষেত্রে কাজ হিসাব করার জন্য আমরা কণাটির গতিপথকে বিপুল সংখ্যক ক্ষুদ্র সরণ ∆S-এ বিভক্ত করি। এরূপ প্রতিটি সরণের অভিমুখ হচ্ছে গতিপথের সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে পথের সাথে গতির দিকে অঙ্কিত স্পর্শক বরাবর। নিচের চিত্রে এরূপ দুটি নির্বাচিত সরণ দেখা যাচ্ছে। এই চিত্রে প্রতিটি অবস্থানে বল F এবং F ও ∆S এর অন্তর্ভুক্ত কোণ

দেখা যাচ্ছে, ∆S সরণ কালে কণার উপর F বল দ্বারা কৃত ক্ষুদ্র কাজ W আমরা নিম্নোক্ত সমীকরণ থেকে হিসাব করতে পারি,

W=FS

এখানে F হচ্ছে আমরা যে বিন্দুতে সরণ ∆S দিয়েছি সেই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বল। কণাটির আদি অবস্থান i থেকে শেষ অবস্থান f-এ যাওয়া কালে (চিত্র) পরিবর্তনশীল বল F দ্বারা কণাটির উপর কৃত কাজ W হবে প্রতিটি রেখাংশের জন্য কৃত ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র কাজের সমষ্টি,

অর্থাৎ, W=\sum \Delta W=\sum \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \Delta \overrightarrow{\mathrm{S}}==F \Delta S \cos \sum \theta

আমরা জানি, রেখাংশ ∆S-গুলো যদি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র হয়, তাহলে এগুলোকে অন্তরক (differential) dS দ্বারা এবং সমষ্টিকে যোগজীকরণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়। ফলে সমীকরণ দাঁড়ায়,

W=\int d W=\int_{i}^{f} \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}

এই যোগজীকরণের মান নির্ণয় করতে হলে কণাটির গতিপথের প্রতিটি বিন্দুতে বল F এবং এর মান কীভাবে পরিবর্তিত হচ্ছে তা জানতে হবে। F এবং এর মান কণাটির x এবং y স্থানাংকের উপর নির্ভর করে।