৩৯তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (39st BCS Preli Question Bank)

4×5 = 1620 যেখানে (4×4) = 16 এবং (5×4) = 20

এখন, 6×7 এর ক্ষেত্রে (6×4) = 24 এবং (7×4) = 28
সুতরাং নির্ণেয় সঠিক উত্তর হবে 2428

ধারাটির প্রথম পদ, a = ((( \frac {1} {\sqrt{2}} ))) ((( \\[3px] )))
ধারাটির সাধারন অনুপাত, r = ((( \frac {1} {\frac {1} {\sqrt{2}}} = 1 \times \frac{\sqrt{2}} {1} = \sqrt{2} \lt 1 \\[5px] )))

ধারাটি একটি গুণত্তর ধারা। কারণ, ধারাটির সাধারণ অনুপাত একই। ((( \\[5px] )))

ধরি, ধারাটির n তম পদ = 8((( \sqrt{2} \\[7px] )))

আমরা জানি, ((( \\[3px] )))

গুনোত্তর ধারার n তম পদ = ar((( ^{n-1} ))) ((( \\[3px] )))

((( \frac {1} {\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{n-1} = 8 \sqrt{2} \\[3px]</p> <p>\implies (\sqrt{2})^{n-1} = 8 \sqrt{2} \times \sqrt{2} \\[3px]</p> <p>\implies (\sqrt{2})^{n-1} = 8 \times 2 \\[5px]</p> <p>\implies (2^{\frac {1} {2}})^{n-1} = 16 \\[5px]</p> <p>\implies 2^{\frac {n-1}{2}} = 2^{4} \\[5px]</p> <p>\implies \frac {n-1} {2} = 4 \\[3px]</p> <p>\implies n-1 = 4 \times 2 \\[3px]</p> <p>\implies n-1 = 8 \\[3px]</p> <p>\implies n = 8+1 \\[3px]</p> <p>\therefore n = 9 \\[5px] ​)))

((( \therefore ))) ধারাটির ৯ তম পদ ((( 8 \sqrt{2} )))”

দুইটি রাশির গুণফল তখন ঋণাত্মক হবে, যখন দুইটি রাশির একটি রাশি ধনাত্মক এবং অপরটি ঋণাত্মক হবে। যেমন: (x+1)(x-2) অথবা (x-9) (x+12). উপরোক্ত অসমতাটির ক্ষেত্রে, অসমতাটির মান একবার ধনাত্মক এবং একবার ঋণাত্মক ধরে নিম্নে উপস্থাপন করা হলো: ((( \\[7px] )))

শর্ত-(1): ((( \\[3px]</p> <p>(x+1) \lt 0 \\[3px]</p> <p>\implies x \lt -1 \space এবং \\[9px] )))

শর্ত-(2): ((( \\[3px]</p> <p>2x+3 \gt 0 \\[3px]</p> <p>\implies 2x +3 - 3 \gt 0 - 3 \space [ \space \because \space উভয়পক্ষে \space (-3) \space যোগ\space করে] \\[3px]</p> <p>\implies 2x \gt -3 \\[3px]</p> <p>\implies x \gt -\frac {3} {2} \\[7px] )))

শর্ত-(1) এবং শর্ত-(2) থেকে ২টি গাণিতিক সম্পর্ক পাওয়া যাচ্ছে। যথা: ((( \\[3px] )))

I. x ((( \lt ))) -1 ((( \\[3px] )))

II. ((( x \gt -\frac {3} {2} ))) ((( \\[7px] )))

সুতরাং, ((( 2x^2 + 5x + 3 \lt 0 ))) এর সমাধান: ((( -\frac {3}{2} \lt x \lt -1 )))”

প্রথমে ধনাত্মক মান বিবেচনা করে অসমতাটি সমাধান করা হলো: ((( \\[3px] )))

((( 1 - 2x \lt 1 \\[3px]</p> <p>\implies -2x \lt 1 - 1 \\[3px]</p> <p>\implies -2x \lt 0 \\[3px]</p> <p>\implies 2x \gt 0 \space [ \because \space উভয়পক্ষকে \space (-1) \space দ্বারা \space গুণ \space করে] \\[3px]</p> <p>\implies x \gt 0 \\[5px] )))

এখন, ঋণাত্মক মান বিবেচনা করে অসমতাটি সমাধান করা হলো: ((( \\[3px] )))

((( - (1 - 2x) \lt 1 \\[3px]</p> <p>\implies -1 + 2x \lt 1 \\[3px]</p> <p>\implies 2x \lt 1 + 1 \\[3px]</p> <p>\implies 2x \lt 2 \\[3px]</p> <p>\implies x \lt 1 \\[7px] )))

অসমতাটি একবার ধনাত্মক এবং একবার ঋণাত্মক ধরে ২টি গাণিতিক সম্পর্ক পাওয়া যাচ্ছে। যথা: ((( \\[3px] )))

I. x ((( \gt ))) 0 ((( \\[3px] )))

II. x ((( \lt ))) 1 ((( \\[7px] )))

সুতরাং, ((( | 1 - 2x | \lt 1 ))) এর সমাধান: ((( 0\lt x \lt 1 ))) ((( \\[7px] )))”

((( \therefore ))) আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, ((( A_1 ))) = ((( l_1 \times w_1 ))) বর্গ একক = 18 ((( \times ))) 10 বর্গ সে.মি = 180 বর্গ সে.মি. ((( \\[5px] )))

আবার, আয়তক্ষেত্রটির নতুন দৈর্ঘ্য, ((( l_2 ))) = 25 সে.মি. এবং ধরি, প্রস্থ, ((( w_2 ))) = x সে.মি. ((( \\[3px] )))

((( \therefore ))) আয়তক্ষেত্রটির নতুন ক্ষেত্রফল, ((( A_2 ))) = ((( l_2 \times w_2 ))) বর্গ একক = 25 ((( \times ))) x বর্গ সে.মি = 25x বর্গ সে.মি. ((( \\[5px] )))

প্রশ্নমতে, ((( A_2 ))) = ((( A_1 ))) ((( \\[3px] )))

বা, 25x = 180 ((( \\[3px] )))

বা, x = ((( \frac {180} {25} \\[3px] )))

((( \therefore ))) x = 7.2 সে.মি. ((( \\[5px] )))

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 25 সে.মি. বৃদ্ধি করার পর প্রস্থ হবে 7.2 সে.মি. ((( \bm { \left[ Ans.\right] } )))”

এখানে, C = { x : x, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং ((( x^2 \lt 18 ))) } এর অর্থ হচ্ছে x যেন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং x এর মানটিকে বর্গ করলে 18 এর ছোট হয় । ((( \\[5px] )))

তাহলে, x = 1 হলে, ((( x^2 = 1^2 = 1 \lt 18 ))), যা গ্রহণযোগ্য। ((( \\[3px] )))

x = 2 হলে, ((( x^2 = 2^2 = 4 \lt 18 ))), যা গ্রহণযোগ্য। ((( \\[3px] )))

x = 3 হলে, ((( x^2 = 3^2 = 9 \lt 18 ))), যা গ্রহণযোগ্য। ((( \\[3px] )))

x = 4 হলে, ((( x^2 = 4^2 = 16 \lt 18 ))), যা গ্রহণযোগ্য। ((( \\[3px] )))

x = 5 হলে, ((( x^2 = 5^2 = 25 \gt {18} ))), যা গ্রহণযোগ্য নয়। ((( \\[5px] )))

((( \therefore ))) C = {1, 2, 3, 4} ((( \bm { \left[ Ans.\right] } )))”

= ((( \frac {৪} {১০} \times \frac {২} {১০০} \times \frac {৮} {১০০} \\[3px] )))

= ০.০০০৬৪ ((( \bm { \left[ Ans.\right] } )))”

সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = a এবং ল.সা.গু = 35a ((( \\[3px] )))

প্রশ্নমতে, 35a = 140 ((( \\[3px] )))

বা, a = ((( \frac {140} {35} ))) ((( \\[3px] )))

((( \therefore ))) a = 4 ((( \\[5px] )))

সুতরাং সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. a = 4 ((( \bm { \left[ Ans.\right] } )))
“

বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা ((( \\[5px] )))

((( \therefore ))) বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ((( \frac {১০০} {৯০} ))) টাকা ((( \\[5px] )))

((( \therefore ))) বিক্রয়মূল্য বেশি ১৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ((( \frac {১৮০ \times ১০০} {৯০} ))) টাকা = ২০০ টাকা ((( \\[7px] )))

সুতরাং, দ্রব্যটির ক্রয় মূল্য = ২০০ টাকা ((( \bm { \left[ Ans.\right] } )))”

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য ভগ্নাংশ সমূহের মধ্যে তুলনা করতে হবে। ((( \\[3px] )))

((( \frac {৬} {১১} \times \frac {৮} {১৪} ))) = ৮৪ ((( \lt ))) ৮৮; ((( \space \space \space ))) ((( \frac {৬} {১১} \lt \frac {৮} {১৪} ))) ((( \\[3px] )))

((( \frac {৮} {১৪} \times \frac {৩} {৫} ))) = ৪০ ((( \lt ))) ৪২; ((( \space \space \space ))) ((( \frac {৮} {১৪} \lt \frac {৩} {৫} ))) ((( \\[3px] )))

((( \frac {৩} {৫} \times \frac {৫} {৮} ))) = ২৪ ((( \lt ))) ২৫; ((( \space \space \space ))) ((( \frac {৩} {৫} \lt \frac {৫} {৮} ))) ((( \\[3px] )))

উপরোক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায়, বড় ভগ্নাংশটি: ((( \frac {৫} {৮} \space \bm { \left[ Ans.\right] } )))”

((( ^{n}C_{12} = \space ^{n}C_{6} \\[3px]</p> <p>\implies ^{n}C_{12} = \space ^{n}C_{n-6} \space [ \because \space ^{n}C_{r} = \space ^{n}C_{n-r} ] \\[3px] )))

বা, 12 = n – 6 ((( \\[3px] )))

বা, n = 12 + 6 ((( \\[3px] )))

((( \therefore ))) n = 18 ((( \bm { \left[ Ans.\right] } )))”

৪৭ = ১ ((( \times ))) ৪৭ ((( \\[3px] )))

বাকি সকল অপশন সমূহ ১ এবং উক্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করার পর অন্য সংখ্যা দিয়েও ভাগ করা যায়। যথা: ((( \\[5px] )))

৮৭ = ১ ((( \times ))) ৮৭ = ১ ((( \times ))) ৩ ((( \times ))) ২৯ ((( \\[3px] )))

৯১ = ১ ((( \times ))) ৯১ = ১ ((( \times ))) ৭ ((( \times ))) ১৩ ((( \\[3px] )))

১৪৩ = ১ ((( \times ))) ১৪৩ = ১ ((( \times ))) ১১ ((( \times ))) ১৩ ((( \\[7px] )))

সুতরাং মৌলিক সংখ্যাটি: ৪৭”