ত্রিমাত্রিক ভেক্টর বিভাজন (3D Vector Division)

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় (Three-Dimensional Coordinate system) ভেক্টরের প্রকাশ

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কোনো অবস্থান ভেক্টরকে নিম্নলিখিত উপায়ে লেখা যায় যা ত্রিমাত্রিক আয়তাকার বিস্তারের ভেক্টরের বিভাজন (Division of 3D rectangular expansion vectors) হিসেবে বিবেচিত হয়।

\overrightarrow{\mathrm{r}}=\hat{\mathrm{i}} \mathrm{x}+\hat{\mathrm{j} \mathrm{y}}+\hat{\mathrm{k} z}

এখানে P-এর অবস্থানাঙ্ক (x,y,z)।

ধরা যাক, পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX, OY ও OZ সরলরেখা তিনটি যথাক্রমে X, Y ও Z অক্ষ নির্দেশ করছে। OP রেখাটি এই অক্ষ ব্যবস্থায় r মানের একটি ভেক্টর রাশি \vec{r} নির্দেশ করছে।

আরও মনে করি \overrightarrow{\mathrm{op}} ভেক্টরের শীর্ষবিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (x,y,z) এবং ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে \hat{i},\hat{j},\hat{k}। PN রেখাটি হলো XY সমতলের উপর এবং NQ রেখাটি হলো OX-এর উপর লম্ব।

চিত্র হতে ভেক্টর যোগের নিয়ম অনুসারে পাই, 

\begin{array}{c} \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NP}} \\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QN}} \\ \therefore \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QN}}+\overrightarrow{\mathrm{NP}} \\ \text { কিন্তু } \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\mathrm{xi}, \overrightarrow{\mathrm{QN}}=\mathrm{y} \hat{\jmath} \\ \overrightarrow{\mathrm{NP}}=\mathrm{z} \hat{\mathrm{k}} \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{r}} \\ \therefore \overrightarrow{\mathrm{r}}=\hat{\mathrm{i}} \mathrm{x}+\hat{\mathrm{j}} \mathrm{y}+\hat{\mathrm{k} z} \end{array}

এখানে x,y,z  হলো যথাক্রমে X, Y ও Z অক্ষ বরাবর ভেক্টরের উপাংশের মান এবং হলাো ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অবস্থান ভেক্টর।

ভেক্টরের মান (The value of the vector)

\vec{r} বরাবর বা \vec{r}-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর রাশি,

\hat{\mathrm{r}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{r}}}{\mathrm{r}}=\frac{\hat{1} \mathrm{x}+\hat{\jmath} \mathrm{y}+\hat{\mathrm{k} z}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}}}

ব্যাসার্ধ ভেক্টর (Radius vector)

যে ভেক্টরের সাহায্যে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা যায়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। অবস্থান ভেক্টরকে ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলা হয়। কোনো বিন্দু P এর স্থানাঙ্ক (x,y,z) হলে, ব্যাসার্ধ ভেক্টর,\overrightarrow{\mathrm{r}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\hat{\mathrm{i} \mathrm{X}}+\hat{\mathrm{j} \mathrm{y}}+\hat{\mathrm{k} \mathrm{z}} \text { এবং এর মান } \mathrm{r}=\overrightarrow{|\mathrm{r}|}=\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}}

দিক কোসাইন (Direction Cosine)

ত্রিমাত্রিক কার্টেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ভেক্টর তিনটি ধনাত্মক অক্ষের সাথে যে তিনটি কোণ উৎপন্ন করে তাদের কোসাইনের (cos) এর মানকে দিক কোসাইন বলে। একটি ভেক্টর \vec{A}  যদি ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষের সাথে যথাক্রমে \alpha, \gamma, \beta এবং Y কোণ উৎপন্ন করে তাহলে \cos \alpha, \cos \betaএবং \cos \gammaকে দিক কোসাইন বলা হয়।