ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ , স্কেলার গুণিতক ও ভেক্টর সমীকরণ(Addition, Subtraction, Scalar multiplication vectors)

(i) ভেক্টরের যোগ (Addition of vectors) :

a ও b দুইটি ভেক্টর। b  এর আদিবিন্দু a এর প্রান্তবিন্দু স্থাপন করলে, a এর আদিবিন্দু থেকে b এর প্রান্তবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ হলো ভেক্টর a  ও b এর যোগফল একে a+b দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

(ii) ভেক্টরের বিয়োগ (Subtraction of vectors): 

a ও b দুইটি ভেক্টর। b  এর আদিবিন্দু a এর প্রান্তবিন্দু স্থাপন করলে, b এর প্রান্তবিন্দু থেকে a এর প্রান্তবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ হলো ভেক্টর a  ও b এর বিয়োগফল একে a-b দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

(iii) ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক (Sclar multiple of vectors): 

কোনো ভেক্টর a কে একটি স্কেলার গুনিতক m দ্বারা গুন করলে গুনফল ma ও একটি ভেক্টর হয়।

ma ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য :- 

(i) ma এর মান =ma=ma ;  অর্থাৎ ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য হবে a ভেক্টরের মানের m গুন।

(ii) ma এর দিক a এর দিক  একই হবে যদি m ধনাত্মক হয় ma এর দিক a এর দিকের বিপরীত দিক হবে যদি m ঋনাত্মক হয় ।

(iii) যদি m=0 হয় তবে ma=0 হবে ।

(iv) ma ভেক্টর এবং a ভেক্টরের ধনাত্মক রেখা একই বা সমান্তরাল হয়।

 

ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের যোগফল ও স্কেলার গুনিতককে i , j , k এর মাধ্যমে প্রকাশ (Representation of vector addition and scalar multiple on terms of i , j , k in three dimensional space)

ধরি, a=a1i+a2j+a3k

b=b1i+b2j+b3k

a ও b এর লদ্ধি , a+b=a1+b1 i+a2+b2j+a3+b3 k

এবং a এর m গুণিতক , ma=ma1i+a2j+a3k

=ma1i+ma2j+ma3k

সমতলে ভেক্টরের অংশক (Components of vector in a plane)

মনে করি, a একটি ভেক্টর যার মূলবিন্দু (0,0)  এবং শীর্ষবিন্দু P(ax,ay) তাহলে OP=a হবে অবস্থান ভেক্টর।

আমরা জানি, ভেক্টরের মানের সাথে ঐ ভেক্টরের দিকে একটি একক ভেক্টর রাশি হয়। X- অক্ষের দিকে একক ভেক্টর i দ্বারা ax কে গুণ করলে ON=ax i একটি ভেক্টর রাশি হবে যার মান হবে ax এবং দিক হবে X- অক্ষের দিকে।

অনুরূপভাবে NP=ay j একটি ভেক্টর যার মান হলো ay এবং দিক হলো Y- অক্ষের দিকে এখানে j Y- অক্ষের দিকে একটি একক ভেক্টর।

 

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র থেকে পাই,

OP=ON+NP

বা, a=ax+ay

axi এবং ay j হলে a এর উপাংশ।

a ভেক্টরের মান a=ax2+ay2

 

ভেক্টরের কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ (Representaltion of vector in cartesian coordinates)

আয়তকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক Y- ব্যবস্থায় X,Y,Z অক্ষ বরারর একক ভেক্টরকে i,j,k দ্বারা নির্দেশ করে।

চিত্রে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x,y) হলে, OP=xi+yj একে OP=x y  বা, OP=(x,y) দ্বারা ও প্রকাশ করা হয়।

অনুরূপভাবে, ত্রিমাত্রিক জগতে xi+yj+zkভেক্টরকে x y z বা, x,y,z দ্বারাও প্রকাশ করা যায়।

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ (Vector equation of straight line)

(i) দেখাও যে, A(a) বিন্দুগামী এবং b ভেক্টরের এবং b ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ r=a+tb  যেখানে t একটি প্যারামিটার এবং আরো দেখাও যে, একে r-a×b=0 আকারেও প্রকাশ করা যায়।

প্রমাণ :

মনে করি, মূলবিন্দু O এবং OA=a। ধরি , A(a) বিন্দুগামী এবং b ভেক্টরের সমান্তরাল

সরলরেখার উপর P যেকোনো বিন্দু যার অবস্থান ভেক্টর OP=r

যেহেতু AP এবং b সমান্তরাল, ∴AP=tb যেখানে t একটি প্যারামিটার

OA+AP=OP বা, a+tb=r বা, r=a+tb

আবার, AP এবং b ভেক্টর সমান্তরাল বলে AP×b=0 বা, r-a×b=0

(ii) A(a) বিন্দুগামী এবং B(b) ও C(c) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলররেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।  

⟹ P(r) যেকোনো বিন্দু হলে,

∴ AP=r-a   ………(1)

আবার, BC=c-b  ………(2)

যেহেতু AP এবং BC সমান্তরাল

∴ AP=t BC

বা, r-a=t(c-b)

বা, r=a+t(c-b)

 

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণ

a=a1i+a2j+a3k , b=b1i+b2j+b3k , r=xi+yj+zk হলে r=a+tb সমীকরণ থেকে পাওয়া যায়,

xi+yj+zk=a1i+a2j+a3k+b1i+b2j+b3k

বা, x-a1i+y-a2j+z-a3k=t(b1i+b2j+b3k)

উভয়পক্ষ থেকে i,  j , k এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

বা, x-a1i=tb1, y-a2=tb2z-a3= tb3

বা, x-a1b1=y-a2b2=z-a3b3=t