৪১ তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (41st BCS Preli Question Bank)

আবার, \\[3px]

\angle {CAD} + \angle {ACD} + \angle {CDA} = 180 \degree [ \because \space ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সমান ১৮০ \degree ] \\[3px]

বা, \angle {CDA} = 180 \degree - \left( \angle {CAD} + \angle {ACD} \right) \\[3px]

বা, \angle {CDA} = 180 \degree - \left( 40 \degree + 30 \degree \right) \\[3px]

বা, \angle {CDA} = 180 \degree - 70 \degree \\[3px]

\therefore \angle {CDA} = 110 \degree \\[5px]

\therefore \space সঠিক উত্তর: 110 \degree

আবার, 4 জন মহিলা থেকে 2 জন মহিলা নিলে পাই, {^4}C_2 = \frac {4!} {2!(4-2)! } = \frac {4 \times 3 \times 2!} {2! \times 2!} = \frac {4 \times 3} { 2 \times 1} = \frac {12} {2} = 6 \\[7px]

সুতরাং, কমিটি গঠন করা যাবে = {^5}C_1 \times {^4}C_2 = 5 \times 6 = 30 \space \bm { \left[ Ans.\right] }

\therefore সঠিক উত্তর: 6x

বা, 5^x (1 + 8 +16) = 1 \\[3px]

বা, 5^x \times 25 = 1 \\[3px]

বা, 5^x = \frac {1} {25} \\[3px]

বা, 5^x = \frac {1} {5^2} \\[3px]

বা, 5^x = 5^{-2} [ \because \space \frac {1} {a^2} = a^{-2} ] \\[3px]

\therefore x = -2 [ \because \space a^x = a^y হলে, x = y ] \\[5px]

\therefore সঠিক উত্তর: x = 2 \\[11px]

এই গাণিতিক সমস্যাটি আরো এক পদ্ধতি সমাধান করা যায়, নিম্নে তা উপস্থাপন করা হলো: \\[5px]

প্রশ্নানুযায়ী, 5^x + 8 \times 5^x + 16 \times 5^x = 1 \\[3px]

বা, t + 8t + 16t = 1 [ \because \space ধরি, \space 5^x = t ] \\[3px]

বা, 25t = 1 \\[3px]

বা, t = \frac {1} {25} \\[3px]

বা, 5^x = \frac {1} {5^2} [ \because \space t এর মান বসিয়ে ] \\[5px]

বা, 5^x = 5^{-2} [ \because \space \frac {1} {a^2} = a^{-2} ] \\[5px]

\therefore x = -2 [ \because \space a^x = a^y হলে, x = y ] \\[7px]

\therefore সঠিক উত্তর: x = 2 “

ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.12 \\[3px]
ধারাটির সাধারন অনুপাত, r = \frac {0.0012} {0.12} = \frac {1} {100} \lt 1 \\[5px]

ধারাটি একটি গুণত্তর ধারা। কারণ, ধারাটির সাধারণ অনুপাত একই। \\[7px]

আমরা জানি, \\[3px]

\begin {aligned} \therefore ধারাটির \space অসীমতক \space সমষ্টি, S_\infty & = \frac {a} {1 - r} \\[3px]& = \frac {0.12} {1 - \frac {1} {100} } \\[3px]& = \frac { \frac {12} {100} } {\frac {100 - 1} {100}} \\[3px]& = \frac { \frac {12} {100} } {\frac {99} {100}} \\[3px]& = \frac {12} {100} \times \frac {100} {99} \\[3px]& = \frac {4} {33} \space \bm { \left[ Ans.\right] }\end {aligned}

= \sqrt {8(-1)} \times \sqrt {2(-1)} \\[5px]

= \sqrt {8 \times i^2} \times \sqrt {2 \times i^2} \space [ \because i^2 = -1 ] \\[5px]

= \sqrt {8} \times i \times \sqrt {2} \times i \\[5px]

= \sqrt {16} \times i^2 \\[5px]

= 4 \times (-1) [ \because i^2 = -1 ] \\[5px]

= -4 \bm { \left[ Ans.\right] }

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য “অসমতার” নিম্নের সুত্রটি প্রয়োগ করে খুব সহজেই সমাধান করা যাবে। \\[5px]

প্রশ্নানুযায়ী, | x – 2 | \lt 3 \\[5px]

এখন, | x – 2 | \lt 3 কে উপরোক্ত সূত্র প্রয়োগ করে পাই, \\[5px]

-3 \lt x – 2 \lt 3 \\[3px]

বা, -3 + 2 \lt x – 2 + 2 \lt 3 + 2 [ \because \space উভয়পক্ষে 2 যোগ করে ] \\[3px]

বা, -1 \lt x \lt 5 \\[3px]

বা, -3 \lt 3x \lt 15 [ \because \space উভয়পক্ষে 3 গুণ করে ] \\[3px]

বা, -3 + 5 \lt 3x + 5 \lt 15 + 5 [ \because \space উভয়পক্ষে 2 যোগ করে ] \\[3px]

বা, 2 \lt 3x + 5 \lt 20 \\[5px]

2 \lt 3x + 5 \lt 20 কে m \lt 3x + 5 \lt n এর সাথে তুলনা করে পাই, m = 2 এবং n = 20 \\[3px]

সুতরাং এই গাণিতিক সমস্যাটির সঠিক উত্তর: m = 2, n = 20

এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ, W_1 = b \\[3px]

তবে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A_1 = L_1 \times W_1 = ab বর্গ একক \\[3px]

এখন, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 5% বৃদ্ধি করলে, আয়তক্ষেত্রটির নতুন দৈর্ঘ্য, L_2 = a + a এর 5% \\[3px]

বা, L_2 = a + a \times \frac {5} {100} \\[3px]

বা, L_2 = a + \frac {5a} {100} \\[3px]

বা, L_2 = \frac {100a + 5a} {100} \\[3px]

\therefore L_2 = \frac {105a} {100} \\[3px]

এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থের যেহুতু কোনো পরিবর্তন হয় নি, সেহুতু W_1 = W_2 = b \\[3px]

তবে, নতুন আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A_2 = L_2\times W_2 = \frac {105a} {100} \times b বর্গ একক \\[3px]

বা, A_2 = \frac {105ab} {100} বর্গ একক \\[3px]

\therefore A_2 = 105ab% বর্গ একক \\[5px]

পূর্বের আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A_1 শতকরা = ab বা, 100 বর্গ একক এবং নতুন আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল, A_2 শতকরা = 105ab বা, 105 বর্গ একক \\[5px]

\therefore শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = \left( A_2 - A_1 \right) বর্গ একক = (105 – 100) বর্গ একক = 5 বর্গ একক \\[5px]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: 5%

৯০ টাকায় চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে ১০ টাকা \\[5px]

\therefore ১ টাকায় চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে \frac {১০} {৯০} টাকা \\[5px]

\therefore ১০০ টাকায় চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে \frac {১০ \times ১০০} {৯০} টাকা = \frac {১০০} {৯} টাকা = ১১ \frac {১} {৯} টাকা \\[7px]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ১১ \frac {১} {৯} %

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রের মান হচ্ছে 360 \degree । তবে বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের প্রত্যেক কোণের মান হবে = \frac {360 \degree} {3} = 120 \degree \\[3px]

আমরা জানি, \\[3px]

ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্য a, b এবং মধ্যবর্তী কোণ \theta হলে, ক্ষেত্রফল = \frac {1} {2} ab \sin \theta বর্গ একক। \\[5px]

এখন, a = 6cm, b = 6cm এবং \theta = 120 \degree হলে, \\[5px]

\begin {aligned} ক্ষেত্রফল & = \frac {1} {2} ab \sin \theta \\[5px]& = \frac {1} {2} \times 6 \times 6 \times \sin 120 \degree \\[5px]& = 18 \times \sin \left( 1 \times 90 \degree + 30 \degree \right) \\[1px]& = 18 \times \cos 30 \degree \\& = 18 \times \frac {\sqrt {3}} {2} \\[2px]&= 9 \sqrt {3} \space বর্গ \space সে.মি. \end {aligned} \\[3px]

এখন, বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজটির ভিতরের বা অন্তঃস্থ একটির ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হচ্ছে 9 \sqrt {3} বর্গ একক। বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজটির ভিতরের বা অন্তঃস্থ ৩টি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হচ্ছে = \left( 3 \times 9 \sqrt {3} \right) বর্গ সে.মি.= 27\sqrt {3} বর্গ সে.মি.। \\[5px]

সুতরাং, বৃত্তস্থ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 27 \sqrt {3} বর্গ সে.মি.। \bm { \left[ Ans.\right] }

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য ভগ্নাংশ সমূহের মধ্যে তুলনা করতে হবে। \\[3px]

\frac {5} {12} \times \frac {6} {13} = 65 \lt 72; \space \space \space \frac {5} {12} \lt \frac {6} {13} \\[3px]

\frac {6} {13} \times \frac {11} {24} = 144 \gt 143; \space \space \space \frac {6} {13} \gt \frac {11} {24} \\[3px]

\frac {6} {13} \times \frac {3} {8} = 48 \gt 39; \space \space \space \frac {6} {13} \gt \frac {3} {8} \\[3px]

উপরোক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায়, বড় ভগ্নাংশটি: \frac {6} {13} \space \bm { \left[ Ans.\right] }

এখন, \\[3px]

সঠিক উত্তর: \frac {25} {144}

মূলধন, P = ৮০০ টাঁকা \\[3px]

মুনাফার হার, r = ১০% = \frac{১০} {১০০} \\[3px]

সময়, n = ২ বছর \\[3px]

চক্রবৃদ্ধির মূলধন, C = ? \\[5px]

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধির মূলধন, C = P(1 + r) ^n = ৮০০ \left(১ + \frac{১০} {১০০} \right)^২ = ৮০০ \left( \frac{১০০+১০} {১০০} \right)^২ = ৮০০ \times \frac {১১০} {১০০} \times \frac {১১০} {১০০} = ৯৬৮ \\[5px]

সুতরাং, চক্রবৃদ্ধির মূলধন = ৯৬৮ টাঁকা \bm { \left[ Ans.\right] }

= \log_2 \log_{\sqrt{e}} { \left(\sqrt{e} \right)^4} \\[3px]

= \log_2 4 \log_{\sqrt{e}} {\sqrt{e}} [ \because \space \log_a {a^2} = 2 \log_a {a} ] \\[3px]

= \log_2 4 \times 1 [ \because \space \log_a {a} = 1 ] \\[3px]

= \log_2 {4} \\[3px]

= \log_2 {2^2} \\[3px]

= 2 \log_2 {2} [ \because \space \log_a {a^2} = 2 \log_a {a} ] \\[3px]

= 2 \times 1 [ \because \space \log_a {a} = 1 ] \\[3px]

= 2 \bm { \left[ Ans.\right] }

আবার, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যা রয়েছে ২০টি। কারণ, ২১ নিলে ২১^২=৪৪১ যা ৪৪০ এর চেয়ে বেশি। তাই, ২০^২ = ৪০০। \\[7px]

\therefore সংখ্যাটি বর্গ বা পূর্ণবর্গ হওয়ার সম্ভাবনা = \frac {অনুকুল \space ফলাফল} {মোট \space ফলাফল} = \frac {২০} {৪৪০} = \frac {১} {২২} \\[7px]

\therefore সঠিক উত্তর: \frac {১} {২২}