Bank Jobs | সরল সমীকরণ, সূচক ও লগারিদম

সরল সমীকরণ

যে সমীকরণে এক ঘাত বিশিষ্ট একটি মাত্র অজ্ঞাত বীজগণিতীয় প্রতীক থাকে তাকে সরল সমীকরণ বলে। যেমন: 2(5x – 14) = 21 

উপকারী কৌশল 

১। সংখ্যা ধরার সময় ছোট সংখ্যা বা x ধরে ম্যাথ করুন। 

যেমন: কোনো একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩ গুণ। প্রথম সংখ্যাটি ৬ ধরলে পরেরটি ২ ধরুন কিংবা প্রথম সংখ্যাটি 3x ধরলে পরের সংখ্যাটি x ধরুন।  

২। যথাসম্ভব ভগ্নাংশ এড়িয়ে চলুন। 

যেমন: একটি সংখ্যা আরেকটি সংখ্যার অর্ধেক। এখানে বড় সংখ্যাকে x এবং ছোট সংখ্যাকে x/2 না ধরে বড় সংখ্যাকে 2x ও ছোট সংখ্যাকে x ধরুন। 

৩। একটি গাণিতিক সমস্যাকে সমীকরণ বানাতে সব সময় দুই পাশের মান সমান বানান।   

সমস্যা ১. x এর মান কত হলে a(x-a) = b(x-b) হবে? 

• 1 
• a – b 
• b – a 
• a + b  

সমাধান:

ax – a^2 = bx – b^2 \\
\Rightarrow ax – bx = a^2 – b^2 \\
\Rightarrow x (a – b) = (a+b) (a-b) \\
\therefore x = (a+b) 

সমস্যা ২. \frac{x}{3}+1=\frac{x}{4}+1 তবে x এর মান কত? 

• 3 
• 2
• 1
• 0

সমাধান:

\frac{x}{3} + 1= \frac{x}{4} + 1\\
 \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{x}{4} +1 -1\\
 \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{x}{4}\\
 \Rightarrow \frac{x}{3} – \frac{x}{4} = 0\\
 \Rightarrow \frac{(4x – 3x)}{12} = 0\\
\therefore x=0 

সমস্যা ৩। দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্ক থেকে ৫ বড়। সংখ্যাটি থেকে অংকদ্বয়ের সমষ্টির ৫ গুণ বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

• 61 
• 94
• 72
• 83 

সমাধান: ধরি একক স্থানীয় সংখ্যা x 

দশক স্থানীয় সংখ্যা x+5 

সংখ্যাটি 10(x+5) + x = 11x + 50 

অংকদ্বয়ের সমষ্টির ৫ গুণ = 5(x+x+5) = 5(2x+5) 

প্রশ্নমতে, 11x +50 - 5(2x+5)= 10x + (x+5)

সুতরাং সংখ্যাটি ৭২ 

সমস্যা ৪। একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/3 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি ১০০ হলে বড় সংখ্যাটির মান কত? 

• 55 
• 70
• 65
• 60

সমাধান: বড় সংখ্যাটি 3x এবং ছোট সংখ্যাটি 2x. 

সমষ্টি 5x=100. 

তাহলে x= 100/5=20. 

তাহলে বড় সংখ্যাটি 20 * 3 = 60 

দ্বিঘাত সমীকরণ

মনে করি, ax^2+bx+c=0 একটি এক চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণটি সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যায়।

x= -b \pm \frac{\sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}

b^2-4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বলে। কারণ এটি মূলদ্বয়ের প্রকৃতি ও ধরণ নির্ণয় করে।

নিশ্চায়কের অবস্থা ভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি ও ধরন

ক) b²- 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে 

খ) b²- 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

গ) b²- 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে; এবং 

ঘ) b²- 4ac < 0 হলে সমীকরণটি কোনো বাস্তব মূল নেই।

• If x=1+\sqrt{2} and y=1-\sqrt{2}, find the value of (x^2+y^2).

Ans: 

x^2 + y^2 = (x+y)^2  - 2xy \\
= ((1+√2) + (1- √2))^2  - 2(1+√2)(1- √2)\\
= 2^2 - 2(1 - 2) \\
= 4 + 2 = 6 

• If a + b+ c = 12, a + b = 4, and a + c = 7, what is the value of a²?

Ans:

a+b+c = 12 , a+b=4 \\
So,\; c = 12 - 4= 8 \\
if, \; c=4 \;then, \\
a+c =7\\
So,\; a= 7 - 8 = -1 \\
\therefore a^2 = 1 

• If the value of \frac{x}{z} is 1 more than \frac{y}{z}, then y =?

Ans: 

 \frac{x}{z} -1 = \frac{y}{z} \\
\Rightarrow \frac{x}{z} - \frac{y}{z} = 1\\
 \Rightarrow \frac{(x-y)}{z} = 1 \\
\Rightarrow x-y=z\\
\therefore y=x-z

• যদি x(2x+1)=0 এবং (x+12)(2x-3)=0 হয়, তা হলে x এর মান কত হবে?

Ans: 

x(2x + 1) = 0\\
\Rightarrow 2x^2 + x = 0 \\
\Rightarrow 2x+1 = 0 (উভয়\; পক্ষে\; x \;দ্বারা\; ভাগ\; করে)\\
\therefore  x = -\frac{1}{2}\\
এখন,\; ( x+12) (2x-3) = 0\\
x+12 = 0 \;হলে,\\
 x=-12\\
(2x-3)= 0 \;হলে,\\
2x=3\\
\therefore x=\frac{3}{2}

সরল সহসমীকরণ  

সরল সহসমীকরণ বলতে দুই চলকবিশিষ্ট সমীকরণকে বোঝায়, যখন তাদের একত্রে উপস্থাপন করা হয় এবং চলক দুইটি একই বৈশিষ্ট্যের হয়। আবার এরূপ দুইটি সমীকরণকে একত্রে সরল সমীকরণ জোটও বলে।

সরল সমীকরণ সাধারণত দুটি পদ্ধতি থেকে বেশি প্রশ্ন আসে। 

১। প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

২। অপনয়ন পদ্ধতি

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি: একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করে প্রাপ্ত মান অপর সমীকরণে বসালে এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণ পাওয়া যায়। সমীকরণটি সমাধানের মাধ্যমে চলকটির মান পাওয়া যায়। 

অপনয়ন পদ্ধতি: একটি সমীকরণকে বা উভয় সমীকরণকে এরূপ সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে যেন গুণনের পর উভয় সমীকরণের যেকোনো একটি চলকের সহগের পরমমান সমান হয়। এরপর প্রয়োজনমত সমীকরণকে যোগ বা বিয়োগ করলে সহগ সমানকৃত চলকটি অপনীত বা অপসারিত হয়। 

সমস্যা ৭। যদি x + 5y = 16 এবং x = -3y হয় তবে y = কত?

• -24
• 2
• 8
• -2

সমাধান: -3y+5y=16\\ \Rightarrow 2y=16\\ \therefore y=8

সূচক

• সাধারণত সূচককে power বা শক্তি বলা হয়। যেমন: a^n এ n হলো a এর সূচক এবং এখানে a হচ্ছে ভিত্তি।
• দুটি রাশি গুণ আকারে থাকলে এবং তাদের ভিত্তি একই হলে তাদের power বা শক্তির যোগ হয়।
• সূচকের মাধ্যমে বড় সংখ্যাগুলোকে সহজে প্রকাশ করা যায়।
• আবার সূচকের মাধ্যমেই যেকোনো সংখ্যার বৈজ্ঞানিক রুপ বা আদর্শ রূপ প্রকাশ করা যায়।

কোনো একটি রাশিতে একই উৎপাদক যত বার গুণ আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়। যেমন: 2\times 2\times 2\times 2=2^4

• একই ভিত্তির কতকগুলো রাশি বা সংখ্যা গুণ আকারে থাকলে সবগুলো ভিত্তি থেকে একটি ভিত্তি নিতে হবে এবং এই ভিত্তির সূচক হবে রাশিগুলোর power এর যোগফল। যেমন: a^2 \times a^3 \times a^5=a^{(2+3+5)}=a^{10}
• এই ভিত্তির কতকগুলো রাশি বা সংখ্যা ভাগ আকারে থাকলে সবগুলো ভিত্তি থেকে একটি ভিত্তি নিতে হবে এবং এই ভিত্তির সূচক হবে প্রথম রাশির power থেকে পরের রাশিগুলোর power এর বিয়োগফল। যেমন: \frac{a^5}{a^3}=a^{5-3}=a^2
• ভিত্তি ভিন্ন ভিন্ন হলে এবং সূচক যদি একই হয় তাহলে সবগুলো ভিত্তির গুণফলের ঐ একই power হবে।
• যেকোনো ভিত্তির সূচক বা power ঋণাত্মক হলে ঐ ভিত্তিকে 1 এর নিচে লিখতে হয় এবং power হয় ধনাত্মক। যেমন: a^{-2}=\frac{1}{a^2}

সূচকের সূত্র

সূত্র-১ (গুণের): a^m \times a^n=a^{m+n}

সূত্র-২ (ভাগের): \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

সূত্র-৩ (গুণের ঘাত): (ab)^n=a^n \times b^n

সূত্র-৪ (ভাগের ঘাত): (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}

সূত্র-৫ (ঘাতের ঘাত): (a^m)^n=a^{mn}

সূত্র-৬: a^0=1

সূত্র-৭: a^{-1}=\frac{1}{a}

সূত্র-৮: a^{-n}=\frac{1}{a^n}

সূত্র ৯: \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}

সূচক সমীকরণ

এ সমীকরণে অজ্ঞাত চলক সূচকরূপে থাকে। যেমন: 𝟐^𝒙= 𝟖;  𝟏𝟔^𝒙=𝟒^(𝒙+𝟐) ইত্যাদি।

সমস্যা-০৫:  3(27^𝑥) = 9^(𝑥+4)  এর সমাধান কর। 

3(3^{3x}) = 3^{2(x+4)}\\
\Rightarrow 3^{1+3x}=2(x+4)\\
\Rightarrow 3x+1=2(x+4)\\
\Rightarrow 3x-2x=4-1\\
\therefore x=3

সমস্যা ৬।  x^2+px+6=0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান এবং p>0 তবে p এর মান কত?   

• √48  
• 0
• √6 
• √24  

সমাধান:

যদি, b² – 4ac = 0 হয় তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে, তাই এখানে, a=1, b=p, c=6 তাহলে, 

লগারিদম 

• লগারিদম (Logarithm) ব্যবহার করা হয় সূচকীয় রাশির মান বের করার জন্য। সাধারণ লগারিদমকে সংক্ষেপে লগ (log) বলা হয়।
• বড় বড় রাশির গুণ, ভাগ ইত্যাদি সংক্ষেপে সহজে করতে লগারিদম ব্যবহার করা হয়। যেমন: আমরা জানি, {3^2} = 9, এই গাণিতিক উক্তিটিকে লগারিদমের সাহায্যে লিখা হয় log 3 9 = 2 এখানে 3 হচ্ছে লগের বেস।
• লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া।

লগারিদমের সূত্রাবলী  

সূত্র-১\; (শূণ্য\; ও\; এক\; লগ): a > 0 \;এবং\; a ≠ 1 \;হলে,\; \log_a 1= 0,\; \log_a a= 1\\
সূত্র-২\; (গুণফলের\; লগ): \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\\
সূত্র-৩\; (ভাগের\; সূত্র): \log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N\\
সূত্র-৪\; (ঘাতের\; লগ): \log_a {M^r} = r \log_a M 

• If a^x=b, b^y=c, c^z=a then the value of xyz =? 

Ans:

a^x=b  → (i)\\
b^y=c  → (ii)\\
c^z=a  → (iii)\\
Using\; (i)\; and\; (ii),\; we\; can\; write\\
a^{xy}=c  → (iv)\\
Using\; (iii)\; and\; (iv),\; we\; get\; \\
a^{xyz}=a^1  [Since,\;  a^1=a ]\\
\therefore  xyz=1

• If \Big(\frac{a}{b} \Big)^{(x-1)}=\Big(\frac{b}{a} \Big)^{(x-3)} then what is the value of x? 

Ans:

\Big(\frac{a}{b}\Big)^{(x-1)} = \Big(\frac{a}{b}\Big)^{-(x-3)}\\
 Then,\; x-1 = - (x-3)\\
 \Rightarrow x-1 = 3 - x \\
\Rightarrow 2x = 4 \\
\therefore x=2

• 2^{n-1}+2^{n+1}=320 হলে n এর মান কত? 

Ans: 

2 ^n (2^{-1} +2^1 )= 320\\
\Rightarrow 2^n \Big( \frac{1}{2} + 2\Big) = 320\\
\Rightarrow 2^n \Big( \frac{5}{2}\Big)=320\\
\Rightarrow 2^n = 320\times \frac{2}{5}\\
\Rightarrow 2^n=642\\
\Rightarrow 2^n=128\\
\Rightarrow 2^n=2^7\\
\therefore n=7

• \frac{\log 36}{\log 6} 

Ans: 

\frac{\log 6^2}{\log 6}\\
\Rightarrow \frac{2\log 6}{\log 6}=2