৪২ তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (42nd BCS Preli Question Bank)

  42nd BCS – MCQ

দুইটি রাশির গুণফল তখন ধনাত্মক হবে, যখন দুইটি রাশির দুইটি ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক। যেমন: (x+1)(x+2) অথবা (x-9) (x-12). উপরোক্ত অসমতাটির ক্ষেত্রে, অসমতাটির মান একবার ধনাত্মক এবং একবার ঋণাত্মক ধরে নিম্নে উপস্থাপন করা হলো: \\[7px]

শর্ত-(1): \\[3px](x-5) \gt 0 \\[3px]\implies x \gt 5 \space এবং \\[3px](x+2) \gt 0 \\[3px]\implies x \gt -2 \\[9px]

শর্ত-(2): \\[3px](x-5) \lt 0 \\[3px]\implies x \lt 5 \space এবং \\[3px](x+2) \lt 0 \\[3px]\implies x \lt -2 \\[7px]

শর্ত-(1) এবং শর্ত-(2) থেকে ৪টি গাণিতিক সম্পর্ক পাওয়া যাচ্ছে। যথা: \\[3px]

I. x \gt 5 \\[3px]

II. x \gt -2 \\[3px]

III. x \lt 5 \\[3px]

IV. x \lt -2 \\[7px]

উপরের এই ৪টি গাণিতিক সম্পর্ক যাচাই বা শুদ্ধি পরীক্ষা করে নিতে হবে। যাচাই বা শুদ্ধি পরীক্ষা করার জন্য উক্ত সম্পর্ক অনুযায়ী, x এর যেকোন মান মূল ফাংশনে বসিয়ে তা যাচাই অথবা তার শুদ্ধি পরীক্ষা করে নিতে হবে। শুদ্ধি পরীক্ষার পর এই ৪টি গাণিতিক সম্পর্কের মধ্যে যে সম্পর্ক সমূহ মূল ফাংশনটিকে সিদ্ধ করে, উক্ত গাণিতিক সম্পর্কগুলোই হবে গ্রহণযোগ্য। \\[7px]

প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটি শুদ্ধি পরীক্ষা করে দেখানো হলো: \\[3px]

মূল ফাংশনটি হচ্ছে: x^2 - 3x - 10 \gt 0 \\[3px]

প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটি হচ্ছে: x \gt 5 \\[3px]

অর্থাৎ x এর এমন একটি মান যা +5 এর চেয়ে বড়। এখানে, x এর মান +5 এর চেয়ে বড় এমন যেকোন মান দিয়ে শুদ্ধি পরীক্ষাটি করা যাবে। এখানে, x এর মান 9 ধরে শুদ্ধি পরীক্ষাটি করা হলো। \\[5px]

উপরোক্ত শুদ্ধি পরীক্ষার মাধ্যমে লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, 44 যা 0 এর চেয়ে বড়। অর্থাৎ, প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটি x \gt 5 মূল ফাংশনটিকে সিদ্ধ করেছে। এভাবেই, বাকি ০৩টি গাণিতিক সম্পর্কের শুদ্ধি পরীক্ষা করে নিতে হবে। \\[7px]

সবগুলো গাণিতিক সম্পর্কের শুদ্ধি পরীক্ষা সম্পন্ন হলে দেখা যাবে, প্রথম এবং চতুর্থ গাণিতিক সম্পর্কটি মূল ফাংশনটিকে সিদ্ধ করেছে। \\[5px]

এখন, প্রথম গাণিতিক সম্পর্কটির ক্ষেত্রে বলা আছে, x এর মান +5 এর চেয়ে বড়। কিন্তু, এটি বলা নেই যে, +5 এর চেয়ে কত বড় হবে। তাই বলা যায়, x এর মান +5 থেকে অসীম বা Infinity \left( + \infty \right) । অর্থাৎ সীমাটি হবে \left(5, + \infty \right) \\[5px]

আবার, চতুর্থ গাণিতিক সম্পর্কটির ক্ষেত্রে বলা আছে, x এর মান -2 এর চেয়ে ছোট। কিন্তু, এটি বলা নেই যে, -2 এর চেয়ে কত ছোট হবে। তাই বলা যায়, x এর মান -2 থেকে অসীম বা Infinity \left( - \infty \right) [katex]। অর্থাৎ সীমাটি হবে [katex] \left(- \infty, -2 \right) \\[5px]

\left(5, + \infty \right) এবং \left(- \infty, -2 \right) এর সংযোগ বা Union \left(\cup \right) হবে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান। \\[5px]

\therefore সঠিক উত্তর: \left(- \infty, -2 \right) \cup \left(5, + \infty \right)

\log_x \frac{1}{9} = -2 \\[3px]

এই গাণিতিক সমস্যাটি লগারিদমের \left(\log_x a = b \implies a = x^b \right) এই সূত্রটি ব্যবহার করে সমাধান করা যাবে। \\[5px]

এখন, \\[3px]

\log_x \frac{1}{9} = -2 \\[5px]

বা, \frac {1} {9} = x^{-2} [ \because \log_x a = b \implies a = x^b ] \\[5px]

বা, \frac {1} {3^2} = x^{-2} \\[5px]

বা, 3^{-2} [katex] = x[katex]^{-2}[katex] [katex] \\[5px]

বা, x^{-2} = 3^{-2} \\[3px]

সুতরাং, x = 3 \bm { \left[ Ans.\right] }

এক্ষেত্রে, হিসেব করে দেখা যাবে, ৫০ টাকা করে জোড় সংখ্যক টাকা প্রদান করা যাবে না। অর্থাৎ ৫০ টাকার নোট ২, ৪, ৬, ৮টি করে নোট প্রদান করা যাবে না। কারণ, যদি ৫০ টাকার ২ টি নোট প্রদান করা হয়, তখন বাকি থাকবে {৫১০ - (৫০ \times ২)} = (৫১০ - ১০০) = ৪১০ টাকা। এই ৪১০ টাকা যদি ২০ দিয়ে ভাগ করা হয় \left( \frac {৪১০} {২০} \right) তখন অবশিষ্ট থাকবে ১০ টাকা। আর, ১০ টাকাকে ২০ টাকার নোটের মাধ্যমে প্রদান করা সম্ভব নয়। \\[7px]

একইভাবে, ৫০ টাকার নোট ৪টি, ৬টি বা ৮টি করে প্রদান করা যায় না। আবার ৫০ টাকার নোট ১০টি করে প্রদান করা যাবে না। কেননা, (৫০ \times ১০) = ৫০০ টাকা হয়, তবে আর ২০ টাকা এবং ৫০ টাকার নোটের মাধ্যমে ৫১০ টাকা উক্ত ব্যক্তিটি নিতে পারবেন না এবং ১০ একটি জোড় সংখ্যা, যা সম্পূর্ণ প্রদান করলে উপরের ন্যায় ১০ টাকা অবশিষ্ট থাকবে, যা ২০ টাকার নোটের মাধ্যমে প্রদান করা সম্ভব নয়। তাই, ৫০ টাকার নোট শুধুমাত্র বিজোড় সংখ্যকভাবে দেওয়া যাবে। নিম্নের ছকটিতে হিসেব করে দেখানো হয়েছে কত প্রকারে শুধুমাত্র ৫০ টাকা এবং ২০ টাকার নোট ব্যবহার করে উক্ত ব্যক্তি ৫১০ টাকা নিতে পারবেন। \\[7px]

উপরের হিসেব থেকে লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, ০৫ প্রকারে উক্ত ব্যক্তিটির অনুরোধ রক্ষা করা সম্ভব।

n তম স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = \frac { n(n+1) } {2} = \frac { 49(49+1) } {2} = \frac { 49 \times 50 } {2} = 1225 \\[3px]

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় = \frac {1225} {49} = 25 \bm { \left[ Ans.\right] }\\[5px]

N.B: ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত মোট ৪৯টি সংখ্যা রয়েছে এবং ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত যোগফল ১২২৫। তাই, গড় নির্ণয়ের সময়, ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত যোগফল ১২২৫ এবং ১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত যে মোট ৪৯টি সংখ্যা রয়েছে তা দিয়ে ভাগ করা হয়েছে।

30 km পথ অতিক্রম করতে জয়নুলের রনির থেকে ২ ঘন্টা সময় বেশি লেগেছে। জয়নুল যদি তার গতি দ্বিগুণ করত তাহলে রনির থেকে ১ ঘন্টা সময় কম লাগত। \\[3px]

তবে, দুইটি সময়ের পার্থক্য = (2 + 1) ঘন্টা = 3 ঘন্টা \\[7px]

সময়ের পার্থক্য কীভাবে মোট ৩ঘন্টা হয়েছে, তা নিম্নের চিত্রটির মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো: \\[7px]

ধরি, জয়নুলের বেগ, v_1 = x kmh^{-1} \\[3px]
জয়নুলের বেগ দ্বিগুণ হলে, v_2 = 2x kmh^{-1} \\[9px]

আমরা জানি, সময়, t_1 = \frac {d} {v_1} = \frac {30} {x} ঘন্টা এবং \\[3px]

বেগ দ্বিগুণ করলে সময়, t_2 = \frac {d} {v_2} = \frac {30} {2x} ঘন্টা \\[3px]

প্রশ্নমতে, \\[3px]

t_1 - t_2 = 3 \\[5px]

বা, \frac {30} {x} - \frac {30} {2x} = 3 \\[5px]

বা, \frac {60 - 30} {2x} = 3 \\[5px]

বা, 6x = 30 \\[5px]

বা, x = \frac {30} {6} \\[5px]

\therefore x = 5 kmh^{-1} \\[5px]

সুতরাং জয়নুলের গতি ছিলো, ৫ কি.মি/ঘন্টা \bm { \left[ Ans.\right] }

বৃত্তের ব্যাস = 2 \times ব্যাসার্ধ = 2 \times x = 2x \\[3px]

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = \pi \times (ব্যাসার্ধ)^২ = \pi x^2 \\[7px]

প্রশ্নানুযায়ী, বৃত্তের ব্যাস 4 গুণ করা হলে, ব্যাস টি হবে = ব্যাস \times 4 = 2x \times 4 = 8x \\[3px]

বৃত্তের ব্যাস 4গুণ বা 8x হলে ব্যাসার্ধ = \frac {ব্যাস} {2} = \frac {8x} {2} = 4x \\[3px]

এখন, বৃত্তটির নতুন ক্ষেত্রফল = \pi \times (ব্যাসার্ধ)^২ = \pi \times (4x)^2 = \pi \times 16x^2 = 16 \pi x^2 \\[7px]

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = \frac {16 \pi x^2} {\pi x^2} = 16 \\[5px]

সুতরাং বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে ১৬ গুণ।

আমরা জানি, \\[3px]

\sec^2 A - \tan^2 A = 1 \\[3px]

বা, \left(\sec A + \tan A \right) \left( \sec A - \tan A \right) = 1 [ \because a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) ] \\[5px]

বা, \sec A - \tan A = \frac {1} {\sec A + \tan A} \\[7px]

বা, \sec A - \tan A = \frac {1} { \frac {5} {2} } [ \because \sec A + \tan A = \frac {5} {2} এর মান বসিয়ে ] \\[5px]

বা, \sec A - \tan A = 1 \times \frac {2} {5} \\[5px]

সুতরাং, \sec A - \tan A = \frac {2} {5} \bm { \left[ Ans.\right] }

৩টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ১ টাকা \\[3px]

\therefore ৩টি আমলকির ক্রয়মূল্য = \frac {১} {৩} [katex] টাকা [katex] \\[5px]

আবার, \\[3px]

৫টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ১ টাকা \\[3px]

\therefore ১টি আমলকির ক্রয়মূল্য = \frac {১} {৫} টাকা \\[5px]

(১+১) = ২টি আমলকির ক্রয়মূল্য = \frac {১} {৩} + \frac {১} {৫} টাকা = \frac {৫+৩} {১৫} টাকা = \frac {৮} {১৫} টাকা \\[7px]

এখন, \\[3px]

৪টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা \\[3px]

\therefore ১টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = \frac {১} {৪} টাকা \\[3px]

\therefore ২টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = \frac {১\times ২} {৪} টাকা = \frac {১} {২} টাকা \\[7px]

উপরোক্ত গাণিতিক আলোচনাটি থেকে বুঝা যাচ্ছে, \\[7px]

২টি আমলকির ক্রয়মূল্য \gt ২টি আমলকির বিক্রয়মূল্য। অর্থাৎ \frac {৮} {১৫} \gt \frac {১} {২} \\[3px]

যেহুতু ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের থেকে বেশি, সেহুতু ব্যক্তিটির ক্ষতি হয়েছে। \\[5px]

\therefore ক্ষতি = \frac {৮} {১৫} - \frac {১} {২} টাকা = \frac {১৬-১৫} {৩০} টাকা = \frac {১} {৩০} টাকা \\[7px]

এখন, \\[3px]

\frac {৮} {১৫} টাকায় ক্ষতি হয় = \frac {১} {৩০} টাকা \\[3px]

\therefore ১ টাকায় ক্ষতি হয় = \frac {১} {৩০} \times \frac {১৫} {৮} টাকা \\[3px]

\therefore ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = \frac {১ \times ১৫ \times ১০০} {৩০ \times ৮} টাকা = ৬.২৫ টাকা \\[7px]

\therefore ঐ ব্যক্তিটির ক্ষতি হয়েছে = ৬.২৫% \bm { \left[ Ans.\right] }

মোবাইল ফোনের মাসিক বিল এসেছে = ৪২০ টাকা \\[5px]

১ বছর পর ১০% বৃদ্ধি পেয়ে বিল হবে (১০০ + ১০)% = ১১০% \\[3px]
আবার, ৬ মাস পর ২০% বৃদ্ধি পেয়ে বিল হবে (১০০ + ২০)% = ১২০% \\[7px]

\therefore যদি, ১ বছর পর ১০% বৃদ্ধি পায় এবং আরো ৬ মাস পর ২০% বৃদ্ধি পায়, \\[5px]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ৫৫৪.৪০ টাকা।

চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরে ৮০০০ লিটার \\[3px]

অর্থাৎ আয়তন = ৮০০০ লিটার = \frac{৮০০০} {১০০০} ঘনমিটার = ৮ ঘনমিটার [ \because \space ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার ] \\[5px]

আমরা জানি, \\[3px]

আয়তন = দৈর্ঘ্য \times প্রস্থ \times গভীরতা \\[5px]

\implies দৈর্ঘ্য \times প্রস্থ \times গভীরতা = আয়তন \\[5px]

\implies গভীরতা = \frac{আয়তন} {দৈর্ঘ্য \times প্রস্থ} = \frac{৮} {২.৫৬ \times ১.২৫} = \frac{৮ \times ১০০ \times ১০০} {২৫৬ \times ১২৫} = ২.৫ মিটার \bm { \left[ Ans.\right] } \\[7px]

বি.দ্র: \\[5px]

\frac{৮ \times ১০০ \times ১০০} {২৫৬ \times ১২৫} এখানে, ২টি ১০০ দিয়ে গুণ করা হয়েছে। কারণ, ২.৫৬ এবং ১.২৫ দশমিক সংখ্যাটির দশমিকের জন্য ১ এবং দশমিকের পর ২টি অংক (.৫৬ এবং .২৫) রয়েছে, তাই, ২টি শূন্য বসেছে।

২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a \\[3px]

এবং বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 4a [ \because \space বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a ] \\[3px]

প্রশ্নানুযায়ী, ২য় বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা হচ্ছে, ১ম বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান। অর্থাৎ ১ম বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 4a \\[5px]

প্রথম বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = \sqrt{2} \times 4a [ \because বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = \sqrt{2}\times এক বাহুর দৈর্ঘ্য] \\[5px]

দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = \sqrt{2} a \\[5px]

এখন, \\[3px]

বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = \frac { \sqrt{2} \times 4a } { \sqrt{2}a } = \frac {4} {1} = 4 : 1 \bm { \left[ Ans.\right] }

প্রথম ক্ষেত্রে, \\[3px]

15 থেকে 21 এর পার্থক্য 6; অর্থাৎ, 15 + 6 = 21; \\[3px]

21 থেকে 28 এর পার্থক্য 7; অর্থাৎ 21 + 7 = 28; \\[3px]

তবে, 28 থেকে পরবর্তী সংখ্যাটির পার্থক্য হবে 8; অর্থাৎ 28 + 8 = 36; \\[7px]

উপরের ধারাটি থেকে আরো একটি বিষয় লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, \\[3px]

15 রয়েছে লব বা ভগ্নাংশের উপরে, \\[3px]

21 রয়েছে হর বা ভগ্নাংশের নিচে, \\[3px]

আবার, 28 রয়েছে লব বা ভগ্নাংশের উপরে, \\[3px]

তবে, 36 বসবে হর বা ভগ্নাংশের নিচে। \\[7px]

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \\[3px]

প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় বর্ণ বা Alphabet সমূহ যথাক্রমে A, G এবং N; \\[3px]

A থেকে G এর পার্থক্য 5; অর্থাৎ, A থেকে ৬ষ্ঠ বর্ণ বা Alphabet টি হচ্ছে G; \\[3px]

G থেকে N এর পার্থক্য 6; অর্থাৎ G থেকে ৭ম বর্ণ বা Alphabet টি হচ্ছে N; \\[3px]

তবে, N থেকে পরবর্তী বর্ণ বা Alphabet টির পার্থক্য হবে 7 এবং N থেকে ৮ম বর্ণ বা Alphabet টি হবে কাঙ্ক্ষিত Alphabet টি। N থেকে ৮ম বর্ণ বা Alphabet টি হচ্ছে V; \\[7px]

উপরের প্রথম ক্ষেত্রের সংখ্যার মতো, উপরের ধারাটি থেকে আরো একটি বিষয় লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, \\[3px]

A রয়েছে হর বা ভগ্নাংশের নিচে, \\[3px]

G রয়েছে লব বা ভগ্নাংশের উপরে, \\[3px]

আবার, N রয়েছে হর বা ভগ্নাংশের নিচে, \\[3px]

তবে, V বসবে লব বা ভগ্নাংশের উপরে। \\[7px]

উপরোক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায়, সঠিক উত্তর: \frac {V} {36} \space \bm { \left[ Ans.\right] }

I. P \left( \frac {A} {B} \right) = P(A) \\[3px]
II. P \left( \frac {B} {A} \right) = P(B) \\[7px]

A ও B স্বাধীন না হলে, \\[3px]

I. P \left( \frac {A} {B} \right) = \frac { P \left( A \cap B \right) } { P(B) } \\[3px]

II. P \left( \frac {A} {B} \right) = \frac { P \left( B \cap A \right) } { P(A) } \\[7px]

প্রশ্নে যদি এরকম "স্বাধীন" অথবা "স্বাধীন নয়" বলা হয়। তখন, উপরের সূত্র সমূহ ব্যবহার করে খুব সহজেই এরকম গাণিতিক সমস্যাবলি সমাধান করা যাবে। \\[5px]

দেওয়া আছে, P(A) = \frac {1} {3} ; P(B) = \frac {2} {3} ; A ও B স্বাধীন বলা রয়েছে। \\[3px]

প্রশ্নানুযায়ী, \\[3px]

P \left( \frac {B} {A} \right) = P(B) = \frac {2} {3} \bm { \left[ Ans.\right] }

$ \\[9px] $

উপরোক্ত ধাপগুলো সম্পন্ন করার পর দেখা যাচ্ছে, চিত্রটি একটি আয়তক্ষেত্রের আকৃতি ধারণ করেছে। সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে:

উপরোক্ত ধারাটি দেখে বোঝা যাচ্ছে, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। কারণ, ধারাটির সাধারণ অন্তর একই। \\[3px]

ধারাটির প্রথম পদ, a = 5 \\[3px]
ধারাটির সাধারন অন্তর, d = (8-5) = 3 \\[7px]

ধরি, \\[3px]

ধারাটির n তম পদ = 302 \\[3px]

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d \\[3px]

বা, a + (n - 1)d = n তম পদ \\[3px]

বা, (n - 1)d = n তম পদ - a \\[3px]

বা, n - 1 = \frac{n \space তম \space পদ - a} {d} \\[3px]

বা, n - 1 = \frac{302 - 5} {3} \\[3px]

বা, n - 1 = \frac{297} {3} \\[3px]

বা, n - 1 = 99 \\[3px]

বা, n = 99 + 1 \\[3px]

\therefore n = 100 \\[3px]

সুতরাং 5+8+11+14+..... ধারাটির 100 তম পদ 302. \bm { \left[ Ans.\right] }

ধারাটি ৩, ৯, ২৭, ৮১, ... বা ৩^১, ৩^২, ৩^৩, ৩^৪, ... এভাবে অগ্রসর হচ্ছে। \\[3px]

যেখানে, \\[3px]
৩^১ = ৩, \\[3px]
৩^২ = ৯, \\[3px]
৩^৩ = ২৭, \\[3px]
৩^৪ = ৮১। \\[3px]

এই যুক্তি থেকে বলা যায়, ৮১ বা ৩^৪ এর পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ৩^৫ = ২৪৩ \\[7px]

এই প্রশ্নটি আরো একটি যুক্তি প্রয়োগ করে বা যুক্তির সাহায্যে সমাধান করা যায়। তা হলো ধারাটির প্রতিটি পদের সাথে ৩ গুণ করলে পরের পদ পাওয়া যায়। যেমন: \\[5px]

ধারাটির ১ম পদ = ৩; ৩ এর সাথে ৩ গুণ করলে পাওয়া যাবে ৩ \times ৩ = ৯, যা ধারাটির ২য় পদ। \\[3px]

ধারাটির ২য় পদ = ৯; ৯ এর সাথে ৩ গুণ করলে পাওয়া যাবে ৯ \times ৩ = ২৭, যা ধারাটির ৩য় পদ। \\[3px]

ধারাটির ৩য় পদ = ২৭; ২৭ এর সাথে ৩ গুণ করলে পাওয়া যাবে ২৭ \times ৩ = ৮১, যা ধারাটির ৪র্থ পদ। \\[3px]

ধারাটির ৪র্থ পদ = ৮১; ৮১ এর সাথে ৩ গুণ করলে পাওয়া যাবে ৮১ \times ৩ = ২৪৩, যা ধারাটির ৫ম পদ। \\[5px]

\therefore সঠিক উত্তর: ২৪৩ \bm { \left[ Ans.\right] }