মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগজীকরণ; নির্দিষ্ট যোগজ, এর সম্পর্কিত মূল উপপাদ্য, ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল
মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগজীকরণ (Integration of Rational Algebraic Fractions):
কোনো মূলদ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগজ নির্ণয় করার জন্য ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ করে প্রত্যেক অংশের জন্য যোজিত ফল নির্ণয় করতে হয়।
নিয়ম (Rule): \frac{a x^{2}+b x+c}{(x-a)(x-\beta)^{2}\left(p x^{2}+\gamma\right)} \equiv \frac{A}{x-\alpha}+\frac{B}{(x-\beta)^{2}}+\frac{C}{x-\beta}+\frac{D x+E}{p x^{2}+\gamma}
অভিজ্ঞতালব্ধ পদ্ধতি (Thumb Rule Method):
যদি কোনো ভগ্নাংশের হরের উৎপাদকসমূহ একঘাত হয় এবং কোনটিরই পুনরাবৃত্তি না হয়, তবে তার আংশিক ভগ্নাংশ অতি সহজে নিম্নের পদ্ধতিতে (অভিজ্ঞতালব্ধ পদ্ধতি) নির্ণয় করা যায়:
\frac{x+c}{(x-a)(x+b)}=\frac{a+c}{(x-a)(a+b)}+\frac{-b+c}{(-b-a)(x+b)},
\frac{x^{2}-c}{\left(x^{2}+a\right)\left(x^{2}-b\right)}=\frac{-a-c}{\left(x^{2}+a\right)(-a-b)}+\frac{b-c}{(b+a)\left(x^{2}-b\right)}
উদাহরণ-৬: \int \frac{x^{3}-2 x+3}{x^{2}+x-2} d x নির্ণয় কর।
(Example – 6: Determine \int \frac{x^{3}-2 x+3}{x^{2}+x-2} d x)
সমাধান (Solution):
\frac{x^{3}-2 x+3}{x^{2}+x-2}=\frac{x\left(x^{2}+x-2\right)-1\left(x^{2}+x-2\right)+x+1}{x^{2}+x-2}=\frac{x\left(x^{2}+x-2\right)}{x^{2}+x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+x-2}+\frac{x+1}{x^{2}+x-2}=x+1+\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}
=x+1+\frac{-2+1}{(x+2)(-2-1)}+\frac{1+1}{(1+2)(x-1)}=x+1+\frac{1}{3(x+2)}+\frac{2}{3(x-1)}
\therefore \int \frac{x^{3}-2 x+3}{x^{2}+x-2} d x=\int\left\{x+1+\frac{1}{3(x+2)}+\frac{2}{3(x-1)}\right\} d x
=\frac{x^{2}}{2}+x+\frac{1}{3} \ln |x+2|+\frac{2}{3} \ln |x-1|+c (Ans)
নির্দিষ্ট যোগজ (The Definite Integral):
যদি [a, b] বদ্ধ ব্যবধিতে f(x) ফাংশন সীমাবদ্ধ (Bounded) হয় এবং [a, b] ব্যবধিকে n সংখ্যক উপব্যবধি \delta_{r}=\left[x_{r-1}, x_{r}\right], r=1,2,3,4 \ldots \ldots n এ এরূপে বিভক্ত করা হয় যে, সর্বাপেক্ষা দীর্ঘ উপব্যবধি δ→0 হয় এবং \xi_{r} \in \delta_{r} এর জন্য \lim _{\delta \rightarrow 0} \sum f\left(\xi_{r}\right) \delta_{r} এর নির্দিষ্ট একটি মাত্র সসীম মান থাকে, তবে সেই মানকে নিম্নপ্রান্ত a হতে ঊর্ধ্বপ্রান্ত b পর্যন্ত f(x) এর নির্দিষ্ট যোগজ বলা হয় এবং উহাকে\int_{a}^{b} f(x) d x প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয়।
সুতরাং \lim _{\delta \rightarrow 0} \sum f\left(\xi_{r}\right) \delta_{r}=\int_{a}^{b} f(x) d x
নির্দিষ্ট যোগজের মান: যদি x কে চলরাশি ধরে [a, b] ব্যবধিতে f(x) ফাংশনের যোগজ F(x) হয় অর্থাৎ \int_{a}^{b} f(x) d x = F(x) হয় তবে F(b) – F(a) কে f(x) ফাংশনের নির্দিষ্ট যোগজের মান বলা হয় এবং একে \int_{a}^{b} f(x) d x প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয়। নির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয় করতে নিচের পদক্ষেপগুলি প্রয়োজন।
\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(a)-F(b), যেখানে ∫ f(x)dx = F(x)
নির্দিষ্ট যোগজ সম্পর্কিত মূল উপপাদ্য (Primary theorems related to definite Integral):
অনির্দিষ্ট যোগজ মূলত নির্দিষ্ট যোগজ \int_{a}^{b} f(x) d x যার ঊর্ধ্বপ্রান্ত চলরাশি। f(x) অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হলে F(x) =\int_{a}^{b} f(x) d x অন্তরীকরণযোগ্য এবং F‘(x) = f(x).G(x) যদি f(x) এর যেকোনো প্রতিঅন্তরজ হয়, তবে \int_{a}^{b} f(x) d x=G(b)-G(a); এই ফল নির্দিষ্ট যোগজ সম্পর্কিত মূল উপপাদ্য নামে পরিচিত। এর যেকোনো দুইটি প্রতিঅন্তরজের পার্থক্য ধ্রুব ফাংশন বিধায়, একদিকে G(b) – G(a) এর মান প্রতিঅন্তরজের চয়নের উপর নির্ভর করে না; অন্যদিকে G(x) যদি f(x) এর যেকোনো প্রতিঅন্তরজ হয় তবে G(x) = f(x) + c, যেখানে c ধ্রুবকসংখ্যা।
\int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)+c]_{a}^{b}=\{F(b)+c\}-\{F(a)+c\}=F(b)+c-F(a)-c=F(b)-F(a)এর ফলে নির্দিষ্ট যোগজ প্রসঙ্গে প্রতিঅন্তরজ এবং নির্দিষ্ট যোগজ সমার্থক বলে বিবেচনা করা যায়। তাই ক্যালকুলাসে অনির্দিষ্ট যোগজ বলতে প্রতিঅন্তরজকেই বুঝানো হয়।
দ্রষ্টব্য: নির্দিষ্ট যোগজে যোগজীকরণের ধ্রুবক থাকে না।
নির্দিষ্ট যোগজের কিছু ধর্ম (Few laws of definite Integral theorem):
- \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(z) d z
- \text { 2. } \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x
- \int_{0}^{a} f(x) d x=\int_{0}^{a} f(a-x) d x
উদাহরণ-১: \int_{0}^{\pi / 4} \frac{1}{1+\sin x} d x এর মান নির্ণয় কর।
(Example – 1: \int_{0}^{\pi / 4} \frac{1}{1+\sin x} d x determine its value)
সমাধান (Solution):
\int_{0}^{\pi / 4} \frac{1}{1+\sin x} d x=\int_{0}^{\pi / 4} \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x=\int_{0}^{\pi / 4} \frac{1-\sin x}{1-\sin ^{2} x} d x
=\int_{0}^{\pi / 4} \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x
=\int_{0}^{\pi / 4}\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}\right) d x
=\int_{0}^{\pi / 4}\left(\sec ^{2}-\sec x \tan x\right) d x
=[\tan x-\sec x]_{0}^{\pi / 4}
=\left(\tan \frac{\pi}{4}-\sec \frac{\pi}{4}\right)-(\tan 0-\sec 0)
=(1-\sqrt{2})-(0-1)
=2-\sqrt{2}
উদাহরণ-২: \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x \sqrt{\sin x} d x এর মান নির্ণয় কর।
(Example – 2: \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x \sqrt{\sin x} d x determine its value)
সমাধান (Solution):
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x \sqrt{\sin x} d x=\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x \cos x \sqrt{\sin x} d x
=\int_{0}^{\pi / 2}\left(1-\sin ^{2} x\right) \sqrt{\sin x} \cos x d x
ধরি, \sin x=z \therefore \cos x d x=d z
x=0 হলে, z=\sin 0=0 ; x=\frac{\pi}{2} হলে, z=\sin \frac{\pi}{2}=1\therefore \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x \sqrt{\sin x} d x=\int_{0}^{1}\left(1-z^{2}\right) \sqrt{z} d z
=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{z}-z^{5 / 2}\right) d z
=\left[\frac{z^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{z^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}\right]_{0}^{1}
=\left[\frac{2 z^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2 z^{\frac{7}{2}}}{7}\right]_{0}^{1}
=\left[\frac{2(1)^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2(1)^{\frac{7}{2}}}{7}\right]-0
=\frac{2}{3}-\frac{2}{7}=\frac{8}{21}
নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল (Determining area using definite integral)
(a, b) ব্যবধিতে y = f(x) ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হলে y = f(x), x-অক্ষ এবং x = a ও x = b কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \int_{a}^{b} f(x) d x
মনে করি, x = a ও x = b বিন্দুর কোটি যথাক্রমে AB ও DC, y = f(x) বক্ররেখাকে A ও D বিন্দুতে ছেদ করে। ABCD দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, AD বক্ররেখার উপর P(x, y) এবং Q(x+\delta x, y+\delta y) দুইটি নিকটবর্তী বিন্দু। অর্থাৎ \delta x \rightarrow 0 হলে, \delta y \rightarrow 0. x-অক্ষের উপর PM ও QN লম্ব টানি।
QN এর উপর PR এবং MP এর বর্ধিতাংশের উপর QS লম্ব টানি।
\therefore O M=x, O N=x+\delta x, P M=y, Q N=y+\delta yসুতরাং, M N=(x+\delta x)-x=\delta x
চিত্র হতে পাই, MNRP আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = y \delta x এবং MNQS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =(y+\delta y) \delta x
ABMP এবং ABNQ এর ক্ষেত্রফল যথাক্রমে A এবং A+\delta A হলে, PMNQ এর ক্ষেত্রফল =\delta A
স্পষ্টত, ক্ষেত্র \delta A ক্ষেত্র yδx এর অপেক্ষা বৃহত্তর কিন্তু ক্ষেত্র (y+δy)δx অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
অর্থাৎ, y \delta x<\delta A<(y+\delta y) \delta x
\Rightarrow y<\frac{\delta A}{\delta x}<y+\delta y \quad \therefore \lim _{\delta y \rightarrow 0} y<\lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta A}{\delta x}<\lim _{\delta y \rightarrow 0}(y+\delta y) \Rightarrow y<\frac{d A}{d x}<y
\therefore \frac{d A}{d x}=y \Rightarrow d A=y d x
যোগজীকরণ করে পাই, A=\int y d x=\int F(x)+c (ধরি)
x = a হলে, A = 0 ∴ 0=F(a)+c \Rightarrow c=-F(a)
x = b হলে, A = ABCD দ্বারা অবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
∴ABCD দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =F(b)+c=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b} y d x
অতএব, নির্দিষ্ট যোগজ \int_{a}^{b} y d x=\int_{a}^{b} f(x) d x, y=f(x) বক্ররেখা, x-অক্ষ এবং x = a ও x = b নির্দিষ্ট কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।
অনুসিদ্ধান্ত: অনুরূপভাবে দেখানো যায়, \int_{c}^{d} x d y নির্দিষ্ট যোগজটি একটি বক্ররেখা, y-অক্ষ এবং দুইটি ভূজ y = c ও y = d দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।
দুইটি বক্ররেখা এবং দুইটি কোটি দ্বারা আবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =
y_{1}=f_{1}(x) 3 y_{2}=f_{2}(x) বক্ররেখা এবং x = a ও x = b কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
=\int_{a}^{b}\left(y_{1}-y_{2}\right) d x=\int_{a}^{b}\left\{f_{1}(x)-f_{2}(x)\right\} d x
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে, ABCD এর ক্ষেত্রফল = DMNC এর ক্ষেত্রফল – AMNB এর ক্ষেত্রফল =\int_{a}^{b} f_{1}(x) d x-\int_{a}^{b} f_{2}(x) d x, যেখানে DC ও AB বক্ররেখা দুটির সমীকরণ যথাক্রমে
y_{1}=f\left(x_{1}\right) \text { \& } y_{2}=f\left(x_{2}\right) \text { এবং } O M=a \text { \& } \text { ON }=b
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল =\int_{a}^{b}\left(y_{1}-y_{2}\right) d x=\int_{a}^{b}\left\{f_{1}(x)-f_{2}(x)\right\} d x
উদাহরণ-১: x^{2}+y^{2}=16 বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (Area of circle)
সমাধান:
x^{2}+y^{2}=4^{2} বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু ও ব্যাসার্ধ 4।
x^{2}+y^{2}=16 \Rightarrow y^{2}=16-x^{2} \Rightarrow y=\pm \sqrt{16-x^{2}}ক্ষেত্র OAB এর ক্ষেত্রফল =y=\sqrt{16-x^{2}} বক্ররেখা, x-অক্ষ এবং x = 0 ও x = 4 কোটি দুইটি দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \int_{0}^{4} y d x
=\int_{0}^{4} \sqrt{16-x^{2}} d x
=\int_{0}^{4} \sqrt{4^{2}-x^{2}} d x
=\left[\frac{x \sqrt{4^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{4^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{4}\right]_{0}^{4}
=\left[\frac{4 \sqrt{4^{2}-4^{2}}}{2}+\frac{4^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{4}{4}\right]-\left[\frac{0 \sqrt{4^{2}-0^{2}}}{2}+\frac{4^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{0}{4}\right]
=\frac{16}{2} \sin ^{-1} 1
=8 \cdot \frac{\pi}{2}
= 4π
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 4 × ক্ষেত্র OAB এর ক্ষেত্রফল = 4 × 4π = 16π বর্গ একক। (Ans)
উদাহরণ-২: \frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (Elliptical Area)
সমাধান (Solution):
\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1 উপবৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক 3 একক।
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{9} \Rightarrow y^{2}=\frac{4}{9}\left(9-x^{2}\right)
\Rightarrow y=\pm \frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}}
∴ ক্ষেত্র OAB এর ক্ষেত্রফল =y=\frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}} বক্ররেখা, x-অক্ষ এবং x = 0 ও x = 3 কোটিদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \int_{0}^{3} y d x
=\int_{0}^{3} \frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}} d x
=\frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{3^{2}-x^{2}} d x
=\frac{2}{3}\left[\frac{x \sqrt{3^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{3^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{3}\right]_{0}^{3}
=\frac{2}{3}\left[\frac{3 \sqrt{3^{2}-3^{2}}}{2}+\frac{3^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{3}\right]-\frac{2}{3}\left[\frac{0 \sqrt{3^{2}-0^{2}}}{2}+\frac{3^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{0}{3}\right]
=\frac{2}{3}\left\{\frac{9}{2} \sin ^{-1} 1\right\}=\frac{2}{3} \times \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}
∴ প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল = 4 × ক্ষেত্র OAB এর ক্ষেত্রফল
= 4 \times \frac{3 \pi}{2}বর্গ একক
= 6 \pi বর্গ একক
উদাহরণ-৩: দেখাও যে, y^{2}=4 a x এবং x^{2}=4 a y পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \frac{16}{3} a^{2}
সমাধান (Solution):
x^{2}=4 a y \Rightarrow y=\frac{x^{2}}{4 a} হতে, y এর মান y^{2}=4 a x এই সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\left(\frac{x^{2}}{4 a}\right)^{2}=4 a x
\Rightarrow x^{4}=64 a^{3} x
\Rightarrow x\left(x^{3}-64 a^{3}\right)=0
\Rightarrow x=0,4 a
এখানে, x এর সীমা 0 থেকে 4a এবং y_{1}=2 \sqrt{a} \sqrt{x}, y_{2}=\frac{1}{4 a} x^{2}
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = \int_{0}^{1}\left(y_{1}-y_{2}\right) d x
= \int_{0}^{4 a}\left(2 \sqrt{a} \sqrt{x}-\frac{1}{4 a} x^{2}\right) d x
=\left[2 \sqrt{a} \frac{2}{3} x^{3 / 2}-\frac{1}{4 a} \cdot \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4 a}
=2 \sqrt{a} \frac{2}{3}(4 a)^{3 / 2}-\frac{1}{12 a}(4 a)^{3}
=\frac{4 \sqrt{a}}{3} \times 8 a \sqrt{a}-\frac{1}{12 a} \cdot 64 a^{3}
=\frac{32}{3} a^{2}-\frac{16}{3} a^{2}
=\frac{32-16}{3} a^{2}
=\frac{16}{3} a^{2} বর্গ একক (দেখানো হলো)