ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোজিত ফল নির্ণয়, অংশায়নের সূত্রের সাহায্যে যোগজীকরণ

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোজিত ফল নির্ণয়

Determining the Combined Results of Trigonometric Functions

ধরন-৯ (Type – 9):

(a) \int \sin ^{n} x d x, \int \cos ^{n} x d x যেখানে, n∈N

প্রতিস্থাপন: (i) n বিজোড় হলে, \int \sin ^{n} x d x এর জন্য \cos x=z এবং \int \cos ^{n} x d x এর জন্য sinx = z ধরতে হয়।

(ii) n জোড় হলে, \sin ^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x) এবং \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos 2 x) সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

 

উদাহরণ-১২: \int \sin ^{5} x d x  নির্ণয় কর।

Example – 12: Determine \int \sin ^{5} x d x

সমাধান (Solution):

\int \sin ^{5} x d x=\int \sin ^{4} x \sin x d x=\int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2} \sin x d x

 

মনে করি, cosx=z \therefore-\sin x d x=d z \Rightarrow \sin x d x=-d z

\therefore \int \sin ^{5} x d x=\int\left(1-z^{2}\right)^{2}(-d z)

 

=-\int\left(1-2 z^{2}+z^{4}\right) d z

=-\left(z+2 \cdot \frac{z^{3}}{3}+\frac{z^{5}}{5}\right)+c

=-\cos x+\frac{2}{3} \cos ^{3} x-\frac{1}{5} \cos ^{5} x+c (Ans)

 

(b) \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x

প্রতিস্থাপন: (i) m, n∈N এবং উভয়ে বিজোড় হলে, m>n এর জন্য sinx= z এবং n>m এর জন্য cosx= z ধরতে হয়। m বিজোড় ও n জোড় হলে, cosx= z; n বিজোড় ও m জোড় হলে, sinx= z ধরতে হয়।

(ii) m, n∈N এবং উভয়ে জোড় হলে, \sin ^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x) এবং \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos 2 x) সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

(iii) m ও n উভয়ে ভগ্নাংশ হলে, এবং -(m+n) ∈ N ও জোড় হলে, লব ও হর উভয়কে \sec ^{-(m+n)} x দ্বারা গুণ করতে হয়।

 

উদাহরণ-১৩:\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x  নির্ণয় কর।

Example 13 – \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x

সমাধান (Solution):

\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x=\int \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} \sin x \cos x} d x

 

=\int \sin ^{-1 / 2} x \cos ^{-3 / 2} x d x

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\sec ^{2} x}\left(\sin ^{-1 / 2} x \cos ^{-3 / 2} x\right) d x \quad\left[\because-\left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)=2 \in \mathbb{N}\right]

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\sec ^{2} x \sin ^{1 / 2} x \cos ^{3 / 2} x} d x

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\frac{\sin ^{1 / 2} x}{\cos ^{1 / 2} x} \frac{\cos ^{3 / 2} x}{\cos ^{3 / 2} x}} d x

 

=\int \frac{d(\tan x)}{\sqrt{\tan x}}

 

=2 \sqrt{\tan x}+c    (Ans)

বিকল্প পদ্ধতিতে সমাধান (Alternate solution):

\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} d x=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\frac{\sin x}{\operatorname{cosx}} \cos ^{2} x} d x

 

=\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos ^{2} x} d x

 

=\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan x}} d x

 

=\int \frac{d(\tan x)}{\sqrt{\tan x}}

 

=2 \sqrt{\tan x}+c  (Ans)

 

ধরন-১০ (Type – 10):

\int \tan ^{n} x d x, \int \cot ^{n} x d x, যেখানে, n ∈ N

নিয়ম (Rule): \int \tan ^{n} x d x=\int \tan ^{n-2} x \tan ^{2} x d x

=\int \tan ^{n-2} x\left(\sec ^{2} x-1\right) d x

 

উদাহরণ-১৪: \int \tan ^{3} x d x নির্ণয় কর।

Example – 14: Determine \int \tan ^{3} x d x

সমাধান (Solution):

\int \tan ^{3} x d x=\int \tan x \tan ^{2} x d x 

=\int \tan x\left(\sec ^{2} x-1\right) d x

=\int \tan x \sec ^{2} x d x-\int \tan x d x

=\int \tan x d(\tan x)-\int \tan x d x

=\frac{(\tan x)^{2}}{2}-(-\ln |\cos x|)+c  

=\frac{\tan ^{2} x}{2}+\ln |\cos x|+c  (Ans)

 

ধরন-১১ (Type – 11):

(a)\int \frac{d x}{a+b \cos x+c \sin x}, \int \frac{d x}{a+b \cos x}, \int \frac{d x}{a+b \sin x}

নিয়ম (Rule): \sin x=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} এবং \cos x=\frac{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

(b) \int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}, \int \frac{d x}{(a \sin x+b \cos x)^{n}}

নিয়ম (Rule): a=r \cos \theta এবং b=r \sin \theta ধরতে হয়।

(c) \int \frac{c \cos x d x}{a \sin x+b \cos x}, \int \frac{c \sin x d x}{a \sin x+b \cos x}, \int \frac{c \sin x+d \cos x}{a \sin x+b \cos x} d x

নিয়ম (Rule): লবকে l (হর) +m \frac{d}{d x} (হর) এর মাধ্যমে প্রতিস্থাপন করতে হয়।

(d) \int \frac{p \sin x+q \cos x+r}{a \sin x+b \cos x+c} d x

নিয়ম (Rule): লবকে l (হর) +m \frac{d}{d x} (হর) +n এর মাধ্যমে প্রতিস্থাপন করতে হয়।

(e) \int \frac{d x}{\sin ^{m} x \cos ^{n} x}

নিয়ম (Rule): d x=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right) d x লিখতে হয়।

 

উদাহরণ-১৫: \int \frac{1}{1+\tan x} d x নির্ণয় কর।

Example – 15: Determine \int \frac{1}{1+\tan x} d x

সমাধান (Solution):

\int \frac{1}{1+\tan x} d x=\int \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} d x=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x

=\int \frac{1}{2} \cdot \frac{(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x} d x

=\frac{1}{2}\left[\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x+\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x\right]

=\frac{1}{2}\left[\int d x+\int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\right] 

=\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c  (Ans)

বিকল্প পদ্ধতিতে সমাধান (Alternate Solution):

\int \frac{1}{1+\tan x} d x=\frac{1}{2} \int \frac{(1+\tan x)+(1-\tan x)}{1+\tan x} d x

 

=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right] d x

=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{1-\frac{\sin x}{\operatorname{cosx}}}{1+\frac{\sin x}{\operatorname{cosx}}}\right] d x

=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right] d x

=\frac{1}{2}\left[\int d x+\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x\right]

=\frac{1}{2}\left[\int d x+\int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\right]

=\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c (Ans)

 

ধরন-১২ (Type – 12):

(a) \int \frac{c \sin 2 x d x}{a \cos ^{2} x+b \sin ^{2} x}

নিয়ম (Rule): z=a \cos ^{2} x+b \sin ^{2} x ধরতে হয়।

(b) \int \frac{d x}{a \cos ^{2} x+b \sin ^{2} x}, \int \frac{d x}{a+b \sin ^{2} x}, \int \frac{d x}{a+b \cos ^{2} x}

নিয়ম (Rule): লব ও হর উভয়কে \cos ^{2} x দ্বারা ভাগ করতে হয়।

 

উদাহরণ-১৬: \int \frac{d \theta}{1+3 \cos ^{2} \theta} নির্ণয় কর।

Example – 16: Determine \int \frac{d \theta}{1+3 \cos ^{2} \theta}

সমাধান (Solution):

\int \frac{d \theta}{1+3 \cos ^{2} \theta}=\int \frac{\sec ^{2} \theta d \theta}{\sec ^{2} \theta\left(1+3 \cos ^{2} \theta\right)}

 

=\int \frac{\sec ^{2} \theta d \theta}{\sec ^{2} \theta+3}

=\int \frac{\sec ^{2} \theta d \theta}{1+\tan ^{2} \theta+3} 

=\int \frac{d(\tan \theta)}{2^{2}+(\tan \theta)^{2}}

=\frac{1}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{2}\right)+c (Ans)

 

অংশায়নের সূত্রের সাহায্যে যোগজীকরণ (Integration by parts):

u ও v উভয়ে অন্তরীকরণযোগ্য x এর দুইটি ফাংশন হলে, এ বিশেষ পদ্ধতিতে \int u v d x নির্ণয় করা যায়। uw কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, \frac{d}{d x}(u w)=u \frac{d w}{d x}+w \frac{d u}{d x}

ইহাকে x এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই,

u w=\int u \frac{d w}{d x} d x+\int w \frac{d u}{d x} d x

\Rightarrow \int u \frac{d w}{d x} d x=u w-\int w \frac{d u}{d x} d x \ldots \ldots \text { (i) }

মনে করি, \frac{d w}{d x}=v \quad \therefore w=\int v d x

(i) থেকে পাই, \int u v d x=u \int v d x-\int\left\{\frac{d u}{d x} \int v d x\right\} d x

সুতরাং, দুইটি ফাংশনের গুণফলের যোগজ = প্রথম ফাংশন x দ্বিতীয় ফাংশনের যোগজ -(প্রথম ফাংশনের অন্তরক সহগ দ্বিতীয় ফাংশনের যোগজ) এর যোগজ।

 

uv ধরার কৌশল (Tricks to find uv):

(i) ‘LIATE’ শব্দটি দ্বারা সহজেই কোনটি u ও কোনটি v হবে তা নির্ণয় করা যায়। L(Logarithmic), I(Inverse), A(Algebraic), T(Trigonometric), E(Exponential) ক্রমানুযায়ী যেটি আগে সেটিকে u এবং যেটি পরে সেটিকে v ধরতে হবে। 

(ii) সাধারণত বীজগাণিতিক ফাংশনকে\left(x^{n}\right) প্রথম ফাংশন ধরতে হয়।

(iii) \int \ln x d x, \int \sin ^{-1} x d x ইত্যাদি আকারের যোগজের যোগজীকরণের জন্য 1 কে দ্বিতীয় ফাংশন হিসাবে গণ্য করা হয়।

 

একটি বিশেষ সূত্র (Special Formula): \int e^{a x}\left\{a f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{a x} f(x)+c \text { i. e. }

                                                                \int e^{a x}[a f(x)+D\{f(x)\}] d x=e^{a x} f(x)+c

প্রমাণ (Proof): \frac{d}{d x}\left\{e^{a x} f(x)\right\}=f(x) \frac{d}{d x}\left(e^{a x}\right)+e^{a x} \frac{d}{d x} f(x)=f(x) \cdot a e^{a x}+e^{a x} D\{f(x)\} \quad\left[\because D=\frac{d}{d x}\right]

\therefore \int e^{a x}[a f(x)+D\{f(x)\}] d x=e^{a x} f(x)+c . \text { i. e., }

\int e^{a x}\left\{a f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{a x} f(x)+c

a=1 \text { হলে, } \int e^{x}\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{x} f(x)+c

 

উদাহরণ-১: \int x^{3} \sin 2 x d x নির্ণয় কর।

Example – 1: Determine \int x^{3} \sin 2 x d x

সমাধান (Solution):

\int x^{3} \sin 2 x d x=x^{3} \int \sin 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \int \sin 2 x d x\right\} d x

=x^{3}\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)-\int 3 x^{2}\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right) d x

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{2}\left[x^{2} \int \cos 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \int \cos 2 x d x\right\} d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{2}\left[x^{2} \cdot \frac{\sin 2 x}{2}-\int 2 x\left(\frac{\sin 2 x}{2}\right) d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x-\frac{3}{2}\left[x \int \sin 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(x) \int \sin 2 x d x\right\} d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x-\frac{3}{2}\left[x\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)-\int\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right) d x\right]

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x+\frac{3}{4}\left[x \cos 2 x-\frac{\sin 2 x}{2}\right]+c

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x+\frac{3}{4} x \cos 2 x-\frac{3}{8} \sin 2 x+c (Ans)

বিকল্প পদ্ধতিতে সমাধান (Alternate Solution):

\int x^{3} \sin 2 x d x

=x^{3}\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)-\left(3 x^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2 x}{2}\right)+(6 x)\left(-\frac{1}{4} \cdot \frac{-\cos 2 x}{2}\right)-6\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{\sin 2 x}{2}\right)+c

=-\frac{1}{2} x^{3} \cos 2 x+\frac{3}{4} x^{2} \sin 2 x+\frac{3}{4} x \cos 2 x-\frac{3}{8} \sin 2 x+c  (Ans)

দ্রষ্টব্য (Note): প্রথম পদের পরবর্তী পদ থেকে বীজগাণিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রমিক অন্তরক সহগ ও প্রথম পদ থেকে ত্রিকেণোমিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রমিক যোগজ ও প্রথম পদ থেকে চিহ্নের পরিবর্তন। এ পদ্ধতি পর্যায়ক্রমিক অংশায়ন যোগজীকরণ “Successive integration by parts”.

 

উদাহরণ-২: \int x \cos ^{2} x d x নির্ণয় কর।

Example – 2: Determine \int x \cos ^{2} x d x 

সমাধান (Solution):

\int x \cos ^{2} x d x=\int \frac{1}{2} x(1+\cos 2 x) d x

 

=\frac{1}{2}\left[\int x d x+\int x \cos 2 x d x\right]

=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+x \int \cos 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(x) \int \cos 2 x d x\right\} d x\right.]

=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+x \frac{\sin 2 x}{2}-\int 1 \cdot \frac{\sin 2 x}{2} d x\right.]

=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{x \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{-\cos 2 x}{2}\right)\right]+c

=\frac{1}{4}\left[x^{4}+x \sin 2 x+\frac{1}{2} \cos 2 x\right]+c   (Ans)

 

উদাহরণ-৩: \int \ln x d x, x>0 নির্ণয় কর।

Example – 3: Determine \int \ln x d x, x>0

সমাধান (Solution):

\int \ln x d x=\ln x \int d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\ln x) \int d x\right\} d x

 

=\ln x \cdot x-\int\left\{\frac{1}{x} \cdot x\right\} d x

=x \ln x-\int d x

=x \ln x-x+c   (Ans)

 

উদাহরণ-৪:\int e^{x} \sin 2 x d x নির্ণয় কর।

Example – 4: Determine \int e^{x} \sin 2 x d x

সমাধান (Solution):

ধরি, I=\int e^{x} \sin 2 x d x=\sin 2 x \int e^{x} d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\sin 2 x) \int e^{x} d x\right\} d x

=\sin 2 x \cdot e^{x}-\int 2 \cos 2 x \cdot e^{x} d x

=e^{x} \sin 2 x-2\left[\cos 2 x \int e^{x} d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\cos 2 x) \int e^{x} d x\right\} d x\right.

=e^{x} \sin 2 x-2\left[\cos 2 x \cdot e^{x}-\int\left\{-2 \sin 2 x \cdot e^{x}\right\} d x\right.

=e^{x} \sin 2 x-2 e^{x} \cos 2 x-4 \int e^{x} \sin 2 x d x

\Rightarrow I=e^{x} \sin 2 x-2 e^{x} \cos 2 x-4 I+c

\Rightarrow 5 I=e^{x}(\sin 2 x-2 \cos 2 x)+c

\Rightarrow I=\frac{1}{5} e^{x}(\sin 2 x-2 \cos 2 x)+c

\therefore \int e^{x} \sin 2 x d x=\frac{1}{5} e^{x}(\sin 2 x-2 \cos 2 x)+c   (Ans)

 

বি.দ্র. (Note): \int e^{a x} \cos b x d x=\frac{e^{a x}}{a^{2}+b^{2}}(a \cos b x+b \sin b x)

                      \int e^{a x} \sin b x d x=\frac{e^{a x}}{a^{2}+b^{2}}(a \sin b x-b c \cos b x)

 

উদাহরণ-৫: \int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x নির্ণয় কর।

Example – 5: Determine \int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x

সমাধান (Solution):

\int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x=\int e^{x} \frac{(x+1)-1}{(x+1)^{2}} d x

 

=\int e^{x}\left\{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right\} d x

ধরি, f(x)=\frac{1}{x+1} \quad \therefore f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x+1)^{2}}

\therefore \int \frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}} d x=\int e^{x}\left\{f(x)+f^{\prime}(x)\right\} d x=e^{x} f(x)+c

 

=\frac{e^{x}}{x+1}+c    (Ans)