গড় বেগ | Average Velocity

গড় বেগ (Average Velocity)

মনে করি, একটি চলমান বস্তুকণা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে u আদিবেগে এবং f সুষম ত্বরণে যাত্রা করে t সেকেন্ডে s দূরত্বে v বেগ অর্জন করে।

আমরা পাই, v=u+f t এবং s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}

\begin{aligned} \therefore \text { গড়বেগ } &=\frac{\text { মোট দূরত্ব }}{\text { মোট সময় }}=\frac{s}{t}=\frac{u t+\frac{1}{2} f t^{2}}{t}=u+\frac{1}{2} f t=\text { মধ্য সময়ে বেগ } \\ &=\frac{1}{2}(2 u+f t)=\frac{1}{2}\{u+(u+f t)\}=\frac{1}{2}(u+v)=\frac{1}{2} \text { (আদিবেগ + অন্তঃবেগ) } \end{aligned}

N.B.: s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}=\frac{2 u t+f t^{2}}{2}=\frac{u+(u+f t)}{2} \times t=\frac{u+v}{2} \times t 

\therefore সমত্বরণে চলমান যেকোনো বস্তুকণার নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব = গড়বেগ \times সময়

বস্তুকণার গতিপথের লেখচিত্র (Graph of the motion of a particle)

শূন্য ত্বরণ বা সমবেগে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র:

ত্বরণ শূন্য হলে আদিবেগ ও শেষ বেগ সমান হয় অর্থাৎ u = v হয়। তখন সময়ের সাপেক্ষে বেগ ধ্রুব থাকে। গতির দ্বিতীয় সূত্র থেকে পাই s = v t অর্থাৎ s বনাম t বা (s - t) লেখ একটি সরলরেখা যার ঢাল v

সুষম ত্বরণে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র:

সুষম ত্বরণের ক্ষেত্রে সময়ের সাপেক্ষে ত্বরণ ধ্রুব থাকে। গতির সূত্র থেকে পাই, v=u+f t এবং s=u t+\frac{1}{2} f t^{2} অর্থাৎ v বনাম t বা, (v-t) লেখ একটি সরলরেখা এবং s বনাম t বা (s-t) লেখ একটি পরাবৃত্ত।

অসম ত্বরণে গতিশীল বস্তুকণার লেখচিত্র:

কোনো গতিশীল কণা আদি অবস্থান থেকে f সুষম ত্বরণে t_{1} সময়ে s_{1}, শূন্যত্বরণে t_{2} সময়ে s_{2} এবং f সুষম মন্দনে t_{3} সময়ে s_{3} পথ অতিক্রম করে বেগ শূন্য হলে বস্তুকণার লেখ  

(i) v = u + f t এর লেখচিত্র: 

একটি চলমান বস্তুকণা u আদিবেগে যাত্রা করে f সুষম ত্বরণে t সময় চলে v বেগ প্রাপ্ত হলে, 

v=u+f t \ldots \text {...(1) }

u ও f ধ্রুবক বলে v এর মান t এর মানের উপর নির্ভরশীল। সুতরাং t স্বাধীন চলক এবং v অধীন চলক।

v=y, u=c, f=m এবং t=x ধরলে (1) নং সমীকরণ হতে পাই, y=m x+c ; যা কার্তেসীয় তলে একটি সরলরেখার সমীকরণ।

সুতরাং v=u+f t এর লেখচিত্র সরলরেখা হবে।

u=0 হলে, v=f t এর লেখচিত্র মূলবিন্দুগামী সরলরেখা। 

(ii) s=u t+\frac{1}{2} f t^{2} এর লেখচিত্র: 

u আদিবেগে যাত্রা করে f সুষম ত্বরণে একটি চলমান বস্তুকণা t সময়ে s দূরত্ব অতিক্রম করলে,

গতির সমীকরণ, s=u t+\frac{1}{2} f t^{2} \ldots \ldots (1)

u ও f ধ্রুবক বলে s, t এর একটি ফাংশন। u=a, \frac{1}{2} f=b, t=x, s=y ধরলে পাই y=a x+b x^{2}; যা কার্তেসীয় তলে পরাবৃত্তের সমীকরণ।

সুতরাং s=u t+\frac{1}{2} f t^{2} এর লেখচিত্র পরাবৃত্ত হবে।

আদিবেগ (u) শূন্য হলে  s=\frac{1}{2} f t^{2} এর লেখচিত্র মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্ত হবে।

 

(iii) v^{2}=u^{2}+2 f s এর লেখচিত্র: 

u আদিবেগে যাত্রা করে f সুষম ত্বরণে একটি চলমান বস্তুকণা s দূরত্ব অতিক্রম করে v বেগ প্রাপ্ত হলে গতির সমীকরণ, v^{2}=u^{2}+2 f s । u ও f ধ্রুবক বলে v, s এর একটি ফাংশন ।

u^{2}=a, 2 f=b, s=x ধরলে, y^{2}=a+b x^{2}; যা কার্তেসীয় তলে পরাবৃত্তের সমীকরণ। সুতরাং v^{2}=u^{2}+2 f s এর লেখচিত্র পরাবৃত্ত হবে।

লেখচিত্র হতে বস্তুকণার বেগ ও ত্বরণ (Velocity and acceleration of particles from graphs)

দূরত্ব-সময় লেখচিত্র (Distance – time Graphs) হতে বেগ নির্ণয়:

(i) দূরত্ব-সময় লেখচিত্র (সমবেগের ক্ষেত্রে):

সারণি: দূরত্ব-সময়

সময়	দূরত্ব
0	0
3	6
6	12
9	18

 

সমবেগে গতিশীল বস্তু একই সময়ে একই দূরত্ব অতিক্রম করবে। সুতরাং সময় সাপেক্ষে দূরত্বের লেখচিত্র মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা OP হয়।

O P \text { রেখার ঢাল }=\frac{18-0}{9-0}=2 \mathrm{~km} / \min =\text { বেগ। }

(ii) অবস্থান-সময় লেখচিত্র (অসম বেগের ক্ষেত্রে):

অসম বেগে গতিশীল বস্তু একই সময়ে একই দূরত্ব অতিক্রম করে না। অবস্থান (s) ও সময় (t) লেখচিত্রে বস্তুর গতিপথ s=f(t) একটি বক্ররেখা হয়। যেকোনো সময়ের বেগ নির্ণয়ে s=f(t) এর ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল নিলে বেগ পাওয়া যায়।

এরূপ বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল বিভিন্ন বা সময়ে ভিন্ন ভিন্ন হয়। এই ঢালের মান ঐ সময়ে অসম বেগের মান নির্দেশ করে।

\text { চিত্র অনযায়ী, } P \text { বিন্দুতে বেগ }=\frac{A B}{C B}

বেগ সময় লেখচিত্র (Velocity-time Graphs) হতে বেগ, ত্বরণ ও অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়

চিত্র-১ এ v=u+f t এর লেখচিত্রে A B সরলরেখা। A B, v-অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে। B হতে অঙ্কিত লম্ব t অক্ষকে D বিন্দুতে এবং A হতে অঙ্কিত লম্ব B D কে C বিন্দুতে ছেদ করে।

∴ বস্তুকণাটির আদিবেগ u=O A, সময় t=O D,  t সময় পর বেগ v=B C , ত্বরণ f=\frac{B C}{A C} 

এখন, O A B D ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

=\frac{1}{2}(A O+B D) \times O D=\frac{1}{2}(A O+C D+B C) \times O D

=\frac{1}{2}(u+u+f . A C) \times t=\frac{1}{2}(2 u+f: t) \times t =u t+\frac{1}{2} f t^{2}=s

\therefore t সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}=O A B D ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল।

চিত্র-২ হতে পাই,

সমত্বরণের ক্ষেত্রে: ত্বরণ =OA রেখার ঢাল =\frac{30}{20}=\frac{3}{2} \mathrm{~ms}^{-2}

সমবেগের ক্ষেত্রে: ত্বরণ =A B রেখার ঢাল =0

সমমন্দনের ক্ষেত্রে: ত্বরণ =B C রেখার ঢাল =\frac{-10}{10}=-1 \mathrm{~ms}^{-2}

অসমত্বরণের ক্ষেত্রে: P বিন্দুতে ত্বরণ =\frac{20}{30}=\frac{2}{3} \mathrm{~ms}^{-2}

অসম মন্দনের ক্ষেত্রে: Q বিন্দুতে ত্বরণ =\frac{-20}{30}=-\frac{2}{3} m s^{-2}