বোর পরমাণু মডেল (Bohr’s Atomic Model)

1913 খ্রিষ্টাব্দে ডেনমার্কের পদার্থবিজ্ঞানী নীলস বোর পরমাণুর রেখাবর্ণালি ব্যাখ্যার জন্য রাদারফোর্ডের পরমাণু মডেলের ক্রটিসমূহ সংশোধন করে তার সঙ্গে ম্যাক্স প্ল্যাঙ্কের কোয়ান্টাম মতবাদ যুক্ত করে একটি পরমাণু মডেলের অবতারণা করেন। তার নাম অনুসারে একে বোর পরমাণু মডেল (Bohr Atomic Model) বলা হয়। এ মডেলটি কয়েকটি স্বীকার্যের উপর প্রতিষ্ঠিত।

বোর মডেলের (Bohr’s Model) স্বীকার্যসমূহ :

১। শক্তিস্তর সম্পর্কিত মতবাদ: নিউক্লিয়াসের চারদিকে কতকগুলো স্থির শক্তির বৃত্তাকার পথ আছে। এ পথগুলোতেই ইলেকট্রন সর্বদা নিউক্লিয়াসের চারদিকে আবর্তন করে। এগুলোকে ইলেকট্রনের কক্ষপথ বা প্রধান শক্তিস্তর বা অরবিট বলে। যে কক্ষপথে আবর্তনকালে ইলেকট্রন কোনো শক্তি শোষণ করে না বা বিকিরণ করে না তা হবে ঐ ইলেকট্রনের জন্য স্থির কক্ষপথ । নিউক্লিয়াস থেকে ক্রমান্বয়ে দূরবর্তী শক্তিস্তরসমূহকে ১ম, ২য়, ৩য় ইত্যাদি শক্তিস্তর বলে। শক্তিস্তর সূচক এ সংখ্যাগুলোকে প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা বলে (n = 1, 2, 3, ….)। যে শক্তিস্তর নিউক্লিয়াস থেকে যত বেশি দূরে তার শক্তি তত অধিক এবং e^{-} এর শক্তি বেশী।

২। কৌণিক ভরবেগ সম্পর্কিত মতবাদ: প্রতিটি স্তরে পরিভ্রমণরত ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগ নির্দিষ্ট এবং তা \frac{h}{2\pi} এর অখন্ড গুণিতক।

কৌণিক ভরবেগ, mvr=\frac{nh}{2\pi}

এখানে, m = ইলেক্ট্রনের ভর,

v = বৃত্তাকার পথে ইলেক্ট্রনের রৈখিক বেগ,

r = বৃত্তাকার কক্ষপথের ব্যাসার্ধ,

h = প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক = 6.626 \times 10^{-27} erg sec বা  6.626\times 10^{-34} Js এবং n = 1, 2, 3, …ইত্যাদি পূর্ণ সংখ্যা। একে প্রধান শক্তিস্তর বলে।

৩। বর্ণালী সম্পর্কিত মতবাদ :

ইলেকট্রন এক শক্তিস্তর থেকে অন্য শক্তিস্তরে স্থানান্তরের সময় নির্দিষ্ট পরিমাণ শক্তি শোষণ বা বিকিরণ করে। উচ্চ শক্তির কোনো কক্ষপথ থেকে ইলেকট্রন নিম্ন শক্তির কোনো একটি কক্ষপথে স্থানান্তরের সময় শক্তি বিকিরণ করে। আবার নিম্ন শক্তির কোনো কক্ষপথে পরিক্রমণকালে শক্তি শোষণ করে উচ্চ শক্তির একটি কক্ষপথে উপনীত হতে পারে। যদি নিম্নশক্তির কক্ষপথের শক্তি E_1 এবং উচ্চ শক্তির কক্ষপথের শক্তি E_2 হয় তাহলে বিকিরিত বা শোষিত শক্তিকে (\Delta E) নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়-

E_2-E_1=\Delta E=h\nu

এখানে, \Delta E = দুটি শক্তিস্তরে ইলেক্ট্রনের শক্তির পার্থক্য।

h = প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক।

\nu = বিকিরত তড়িৎ চুম্বকীয় রশ্মির ফ্রিকোয়েন্সি

অর্থাৎ, বিকিরিত শক্তি একটি বিদ্যুৎ চুম্বকীয় বিকিরণ হিসেবে নির্গত হয় যার কম্পাঙ্ক দ্বারা নির্দেশ করা হয়। আবার,

\Delta E=h\nu

বা, \delta E=h.\frac{c}{\lambda}

বা, \lambda = \frac{hc}{\Delta E}

অর্থাৎ এ সম্পর্কের মাধ্যমে বিকিরিত রশ্মির তরঙ্গদৈর্ঘ্য নির্ণয় করে তা কোন বর্ণের হবে সে সম্পর্কে ধারণা পাওয়া যায়।

বোর পরমাণু মডেলের (Bohr Atomic Model) সীমাবদ্ধতা:

১। বোর পরমাণু মডেল(Bohr Atomic Model) শুধুমাত্র এক ইলেকট্রন বিশিষ্ট পরমাণু ও হাইড্রোজেন সদৃশ এক ইলেক্ট্রনবিশিষ্ট (He^{+}, Li^{2+}, Be^{3+}) আয়ন সমূহের বর্ণালির ব্যাখ্যা করতে পারলেও বহু ইলেকট্রন বিশিষ্ট পরমাণুর বর্ণালি ব্যাখ্যা করতে পারে না।

২। বোরের মতবাদ অনুসারে পরমাণু হলো দ্বিমাত্রিক। তাই বোরের পরমাণু মডেলের (Bohr Atomic Model) চিত্র থেকে পরমাণুর প্রকৃত ত্রিমাত্রিক কাঠামো সম্পর্কে কোনো ধারণা পাওয়া যায় না।

৩। চৌম্বক ক্ষেত্রের প্রভাবে (জিম্যান প্রভাব, Zeeman Effect) অথবা তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রভাবে (স্টার্ক প্রভাব, Stark Effect) বর্ণালি রেখাসমূহ বিভাজিত হয়ে আরও সূক্ষ্ম রেখায় পরিণত হয়। বোরের তত্ত্ব বর্ণালি রেখার বিভাজন সম্পর্কে কোনো ব্যাখ্যা দিতে পারে না।

1. জীম্যান ফলাফল : বাহ্যিক চৌম্বক ক্ষেত্রের প্রভাবে প্রতিটি পারমাণবিক বর্ণালি রেখা একাধিক রেখায় বিভক্ত হয়ে পড়ে।
2. স্টার্ক ফলাফল : পারমাণবিক বর্ণালির উপর বাহ্যিক তড়িৎক্ষেত্রের প্রভাবে পারমাণবিক স্তরগুলো আলাদা হয়ে যায় এবং জটিল বর্ণালির উদ্ভব ঘটে।

৪। এক শক্তিস্তর থেকে অপর শক্তিস্তরে প্রতিটি ইলেকট্রনের স্থানান্তরের জন্য বোর মডেল অনুসারে বর্ণালিতে একটি রেখা পাওয়ার কথা। কিন্তু উচ্চ বর্ণালি মাপক যন্ত্রের সাহায্যে বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় একাধিক সূক্ষ্ম বর্ণালি রেখা পাওয়া যায়। এসব সূক্ষ্ম বর্ণালি রেখার উৎপত্তির কারণ ব্যাখ্যা করতে পারেনি। বিজ্ঞানী সমারফিল্ড এর ব্যাখ্যা দেন।

৫। বর্ণালি রেখার তীব্রতা এই মডেলের সাহায্যে ব্যাখ্যা করা যায় না।

৬। এই মতবাদে একই সময়ে ইলেক্ট্রনের অবস্থান ও ভরবেগ নির্ণয় করা যায়। কিন্তু হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তার নীতি অনুযায়ী কোন নির্দিষ্ট মুহূর্তে ইলেকট্রনের অবস্থান এবং ভরবেগ একসাথে নির্ণয় করা যায় না।

৭। এই মতবাদ কৌণিক ভরবেগ কেন \frac{nh}{2\pi} এর কোনো ব্যাখ্যা দিতে পারে না।

বোরের পরমাণু মডেলের (Bohr Atomic Model) সাফল্য:

১। পরমাণুর স্থায়িত্ব :  বোরের মতবাদ অনুযায়ী ইলেক্ট্রন যখন কোনো স্থায়ী কক্ষপথে আবর্তন করে তখন এর থেকে কোনো শক্তি নির্গত হয় না। সুতরাং নিউক্লিয়াসকে কেন্দ্র করে নির্দিষ্ট কক্ষপথে আবর্তনশীল-ইলেক্ট্রন  কখনও নিউক্লিয়াসে গিয়ে পড়বে না। অর্থাৎ বোরের মডেল পরমাণুর স্থায়িত্ব সম্পর্কে যুক্তিপূর্ণ ব্যাখ্যা দিয়ে রাদারফোর্ডের পরমাণু মডেলের প্রধান ক্রটি দূর করে।

২। H-পরমাণুর রেখা বর্ণালি : বোরের পরমাণু মডেলের (Bohr Atomic Model) সাহায্যে একটিমাত্র ইলেকট্রন বিশিষ্ট পরমাণুর (যেমন- H পরমাণু, He^{+} আয়ন, Li^{2+} আয়ন ইত্যাদি) বর্ণালিতে একাধিক রেখার উৎপত্তি ব্যাখ্যা করা সম্ভব হয়েছে।

৩। H-পরমাণুর প্রথম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ : বোর তত্ত্বের ভিত্তিতে গণনা করে হাইড্রোজেন পরমাণুর প্রথম কক্ষপথের (n = 1) ব্যাসার্ধ 0.529\times 10^{-10} m = 0.529 {\AA} নির্ণয় করা সম্ভব হয়েছে।

৪। প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যার ধারণা : বোরের পরমাণু মডেল থেকে সর্বপ্রথম প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যার ধারণা পাওয়া যায় ।

৫। কক্ষপথের শক্তিমাত্রা: বোরের মডেল থেকে বিভিন্ন শক্তিস্তরে আবর্তনশীল ইলেক্ট্রনের শক্তির পরিমাণ গণনা করা সম্ভব হয়েছে এবং তা থেকে ইলেক্ট্রন একটি শক্তিস্তর থেকে অন্য শক্তিস্তরে স্থানান্তরিত হলে কত পরিমাণ শক্তি নির্গত বা শোষিত হবে, তারও গণনা সম্ভব হয়েছে। এর ফলে অপেক্ষাকৃত নিম্ন ক্ষমতাসম্পন্ন বর্ণালিবীক্ষণ যন্ত্রের সাহায্যে নির্ণীত পারমাণবিক বর্ণালির বিভিন্ন রেখার আপেক্ষিক অবস্থানের ব্যাখ্যা দেওয়াও সম্ভব হয়েছে।

৬। রিডবার্গ ধ্রুবক ও তার মান : বোর তত্ত্বের সাহায্যে রিডবার্গ ধ্রুবকের নির্ণীত মান পরীক্ষালব্ধ মানের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ হয়।

৭। আয়নীকরণ শক্তি : বোর মডেলের সাহায্যে নির্ণীত রাশিমালার মাধ্যমে এক ইলেকট্রন বিশিষ্ট পরমাণু বা আয়নের নির্ণীত আয়নীকরণ শক্তির মান পরীক্ষামূলমানের খুব কাছাকাছি।

কক্ষপথের ব্যসার্ধ, শক্তি ও ইলেকট্রনের গতিবেগ নির্ণয় (Determining the Radius, Energy and Velocity of Electrons in Orbit)

 

বোর পরমাণু মডেল (Bohr Atomic Model) অনুসারে হাইড্রোজেন বা হাইড্রোজেনের মতো (He^{+}, Li^{2+}, Be^{3+} ইত্যাদি) আয়নের n তম  কক্ষপথের ব্যাসার্ধ (r) এবং ঐ কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান একটি ইলেকট্রনের শক্তি (E) ও বেগ (v) নির্ণয়

 

কক্ষপথের ব্যাসার্ধ (r) নির্ণয়:

মনে করি, হাইড্রোজেনের মত (He^{+}, Li^{2+}, Be^{3+}) আয়নের মোট ধনাত্মক আধান = Ze; যেখানে Z = পারমাণবিক সংখ্যা এবং e = একটি প্রোটন বা একটি ইলেকট্রনের আধান।

ধরি, r ব্যাসার্ধে বৃত্তাকার পথে একটি ইলেকট্রন, নিউক্লিয়াসকে কেন্দ্র করে ঘুরছে যার ভর m, বেগ v এবং নিউক্লিয়াসের আধান = + Ze

কুলম্বের সূত্রানুসারে, ইলেকট্রন এবং নিউক্লিয়াসের মধ্যে আকর্ষণ বল, F=\frac{Ze\times e}{r^2}=\frac{(Ze)^2}{r^2} (CGS এককে)

(SI এককে F=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} . \frac{Ze^2}{r^2}, \epsilon_0=শূন্য   মাধ্যমে   তড়িৎ   প্রবেশ্যতা

আবার, এই ইলেকট্রনটির কেন্দ্রবিমুখী বল F = \frac{mv^2}{r}

যেহেতু ইলেকট্রনটি একটি স্থিতিশীল কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান। সুতরাং ইলেকট্রনটির কেন্দ্রমুখী এবং কেন্দ্রবিমুখী বল অবশ্যই সমান হবে।

 \therefore F=\frac{Ze^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}

বা,  v^2=\frac{Ze^2}{mr} ………….(1) 

আবার, বোরের পরমাণু মডেলের (Bohr Atomic Model) ইলেকট্রনের কৌণিক ভরবেগের সম্পর্ক হতে,

mvr=\frac{nh}{2\pi} [যেখানে n = 1, 2, 3………. ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা এবং h = প্লাঙ্কের ধ্রুবক । ]

 বা, v=\frac{nh}{2\pi r m}

 বা, v^2=\frac{n^2h^2}{4\pi^2m^2r^2}……………….(2)

(1) নং সমীকরণ ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই।

\frac{Ze^2}{mr}=\frac{n^2h^2}{4\pi^2m^2r^2} 

বা, v^2=\frac{n^2h^2}{4\pi^2mZe^2}….(3) (SI এককে r=\frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi n Ze^2}, \epsilon_0=8.85\times 10^{-12})

এটাই n তম কক্ষের ব্যাসার্ধ নির্ণয়ের সমীকরণ যেখানে হাইড্রোজেনের জন্য Z= 1, He^{+} এর জন্য Z= 2, Li^{2+} এর জন্য Z = 3 এবং Be^{3+} এর জন্য Z= 4 ।

প্রথম কক্ষ ও n তম কক্ষের ব্যাসার্ধের সম্পর্ক :

n তম কক্ষে ও ব্যাসার্ধ (r_n)=\frac{n^2h^2}{4\pi^2mZe^2} এবং প্রথম কক্ষের ব্যাসার্ধ (r_1)=\frac{1^2h^2}{4\pi^2mZe^2}=\frac{h^2}{4\pi^2mZe^2}

সুতরাং \frac{r_n}{r_1}=\frac{n^2h^2}{4\pi^2mZe^2}\times\frac{4\pi^2mZe^2}{h^2}=n^2 বা,  r_n=r_1\times n^2 বা, r_n\propto n^2  [নির্দিষ্ট মৌলের পরমাণুর জন্য r_1 ধ্রুবক]

যেমন: ৩য় কক্ষপথের ক্ষেত্রে, r_3=r_1\times 9 অর্থাৎ ৩য় কক্ষপথের ব্যাসার্ধ ১ম কক্ষপথের নয় গুণ। 

n তম বোর কক্ষের একটি ইলেকট্রনের শক্তি নির্ণয় :

n তম কক্ষে একটি ইলেকট্রনের মোট শক্তি,

E_n = ইলেকট্রনের গতি শক্তি + ইলেকট্রনের স্থিতি শক্তি

=\frac{1}{2} m v^{2}+\left(-\frac{Z e^{2}}{r}\right) \quad\left[\because \text { ইলেকট্রনের স্থিতিশক্তি }=-\frac{Z e^{2}}{r}\right]

=\frac{1}{2}m\times \frac{Ze^2}{mr}-\frac{Ze^2}{r}\Big[v^2=\frac{Ze^2}{mr}\Big] \\=\frac{1}{2}\times \frac{Ze^2}{r}-\frac{Ze^2}{r}\\=-\frac{Ze^2}{2r}

=-\frac{Ze^2}{2}\times \frac{2\pi^2mZe^2}{n^2h^2}, [r এর মান বসিয়ে পাই]

∴   E_n=-\frac{2\pi^2 mZ^2e^4}{n^2h^2}………..(1)

এটাই n তম কক্ষে একটি ইলেকট্রনের শক্তি নির্ণয়ের সমীকরণ।

বা, E_n=E_1.\frac{1}{n^2}, বা, E_n\propto \frac{1}{n^2}

n=1 হলে, E_1=\frac{2\pi^2mZ^2e^4}{h^2}

SI এককে, E_n=\frac{mZ^2e^4}{8\epsilon_0^2n^2h^2}

 1 নং সমীকরণ হতে দেখা যায় n (প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা বা শক্তিস্তর) এর নির্দিষ্ট মানের জন্য ইলেকট্রনের শক্তিও নির্দিষ্ট থাকে এবং n এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য শক্তিও ভিন্ন ভিন্ন হয়। ইলেকট্রনের ঋণাত্মক মান দ্বারা শক্তিস্তরে ইলেকট্রনের স্থিতিশীলতা বুঝায়। ঋণাত্মক মান যত বেশি হবে ইলেকট্রনটি তত বেশি স্থিতিশীল হবে।

n তম কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেকট্রনের গতিবেগ:

বোর তত্ত্ব অনুসারে, mvr=n\frac{h}{2\pi}

বা, v=\frac{nh}{2\pi mr}………(1)

আবার n তম কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, r=\frac{n^2h^2}{4\pi^2 mZe^2}

এই মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, v=\frac{nh}{2\pi m}.\frac{1}{r}=\frac{nh}{2\pi m}.\frac{4\pi^2mZe^2}{n^2h^2}

v=\frac{2\pi Ze^2}{nh}

∴   n তম কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেকট্রনের গতিবেগ v_n=\frac{2\pi Ze^2}{nh}

১ম কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেকট্রনের গতিবেগ v_1=\frac{2\pi Ze^2}{h}

\therefore \frac{v_n}{v_1}=\frac{2\pi Ze^2}{nh}.\frac{h}{2\pi Ze^2}=\frac{1}{n}

বা,v_n=v_1.\frac{1}{n}

n তম কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান ইলেকট্রনের প্রতি সেকেন্ডে আবর্তন সংখ্যা নির্ণয় :

n তম কক্ষপথে আবর্তনশীল ইলেকট্রনের গতিবেগ v_n=\frac{2\pi Ze^2}{nh}

n তম কক্ষের ব্যাসার্ধ,  r_n=\frac{n^2h^2}{4\pi^2mZe^2}

∴ n তম কক্ষপথের পরিসীমা =2\pi r_n </span>=\frac{2\pi n^2 h^2}{4\pi^2 m Ze^2}=\frac{n^2h^2}{2\pi mZe^2}

∴ n কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান ইলেকট্রনের প্রতি সেকেন্ডে আবর্তন সংখ্যা

=\frac{বেগ}{পরিধি}=\frac{2\pi Ze^2}{nh} \div \frac{n^2h^2}{2\pi m Ze^2}=\frac{4\pi^2mZ^2e^4}{n^3h^3}