পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাস

পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাস (Calculus in Physics)

ক্যালকুলাস হলো পরিবর্তনের গাণিতিক অধ্যয়ন। এর পুষ্টি প্রধান শাখা রয়েছে ডিফারেনসিয়াল (Differential) ক্যালকুলাস ও ইন্টিগ্রাল (Integral) ক্যালকুলাস। বিজ্ঞানী নিউটন সর্বপ্রথম প্রান্তিক পদার্থবিজ্ঞানে ডিফারেনসিয়াল ক্যালকুলাস প্রয়োগ করেন।

গুরুত্বঃ

পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাস-এর অপরিহার্য গুরুত্ব রয়েছে। অনেক বাস্তব প্রক্রিয়া ডেরিভেটিভস যুক্ত সমীকরণ দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। সেই সমীকরণগুলোকে ব্যবকলনীয় (ডিফারেনসিয়াল) সমীকরণ বলে।

বেগ বস্তুর সরণের time derivative

ত্বরণ বস্তুর বেগের time derivative

ব্যবহারঃ

বেগ, ত্বরণ, বক্ররেখার ঢাল ইত্যাদি হিসাবের জন্য ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস প্রয়োগ করা হয়। ক্ষেত্রফল, আয়তন, ভরকেন্দ্র, কাজ এবং চাপ ইত্যাদি হিসাবের জন্য ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ব্যবহার করা হয় ।

উদাহরণঃ

দেওয়া আছে, একটি সরলরেখার উপর বস্তুর অবস্থান

\begin{array}{c} \mathrm{x}(\mathrm{t})=-16 \mathrm{t}^{2}+16 \mathrm{t}+32 \\ \text { তাহলে বস্তুর বেগ , } \mathrm{v}=\frac{\mathrm{dx}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}=\mathrm{x}(\mathrm{t})=-32 \mathrm{t}+16 \\ \text { এবং ত্বরণ, } \mathrm{a}=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{x}(\mathrm{t})=-32 \end{array}

নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র সাধারণ ব্যবকলনীয় (ডিফারেনসিয়াল) সমীকরণের মাধ্যমে নিম্নোক্তভাবে প্রকাশ করা যায়।

\mathrm{F}(\mathrm{t})=\mathrm{m} \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{x}}{\mathrm{dt}^{2}}

ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস-এর সাহায্যে পরিবর্তী বল দ্বারা কাজ নির্ণয়ঃ

ধরি, একটি বস্তুর ওপর একটি পরিবর্তনশীল বল x -অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল। বলটির মান বস্তুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব \mathrm{x} -এর ওপর নির্ভর করে অর্থাৎ \mathrm{F}, দূরত্ব \mathrm{x} -এর একটি আপেক্ষিক। চিত্রে \mathrm{x} -এর বিভিন্ন মানের জন্য \mathrm{F}(\mathrm{x}) এর আনুষঙ্গিক মান নিয়ে লেখ দেখানো হয়েছে।

মোট সরণ \Delta x প্রস্থের ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র \text {n} সংখ্যক সমান অংশে বিভক্ত, যেখানে x_{i}  থেকে x_{i}+\Delta x পর্যন্ত ক্ষুদ্র সরণ হচ্ছে \Delta x । এই ক্ষুদ্র সরণকালে বলের মান প্রায় ধ্রুব থাকে এবং এই ধ্রুব মান F_{1}। সুতরাং এই অংশে এই বল দ্বারা সম্পন্ন ক্ষুদ্র কাজ, \Delta W_{1}=F_{1} \Delta x

অনুরূপভাবে দ্বিতীয় অংশে x_{i}+\Delta x থেকে x_{i}+2 \Delta x পর্যন্ত ক্ষুদ্র সরণ \Delta x । এই ক্ষুদ্র সরণকালে ধ্রুব বল F_{2}। সুতরাং দ্বিতীয় অংশে বল দ্বারা কৃত কাজ, \Delta W_{2}=F_{2} \Delta x। বস্তুটিকে x_{i} থেকে x_{f} পর্যন্ত সরাতে F(x) বল দ্বারা কৃত মোট কাজ ,

\begin{aligned} W &=\Delta W_{1}+\Delta W_{2}+\Delta W_{3} \ldots \ldots+\Delta W_{N} \\ &=F_{1} \Delta x+F_{2} \Delta x+F_{2} \Delta x \ldots \ldots+F_{N} \Delta x \\ &=\sum_{K=1}^{N} F_{K} \Delta x \end{aligned}

\Delta x -কে যত ক্ষুদ্র থেকে ক্ষুদ্রতর তথা \text {N}-এর মান যত বেশি হবে হিসাবকৃত কাজের মান তত সঠিক হবে। আমরা বল F(x) দ্বারা কৃত কাজের সঠিক মান পেতে পারি যদি পরিমাপের সীমার মধ্যে \Delta x কে শূন্য এবং N-কে অসীম করি। তাহলে সঠিক ফল হবে,

\begin{array}{l} W=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{K=1}^{N} F_{K} \Delta x \\ \Delta x \end{array}

কিন্তু ক্যালকুলাসের ভাষায়

\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{K=1}^{N} F_{K} \Delta x

রাশিটি হচ্ছে

\int_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) d x \text { যা } x_{i} \text { থেকে } x_{f} \text { পর্যন্ত } x \text {-এর সমাকলন (Integration) নির্দেশ করে }

সুতরাং সমীকরণটি দাঁড়ায়,

W=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) d x

সংখ্যাগতভাবে এই রাশিটি হচ্ছে বল বক্ররেখা এবং x_{i} ও x_{f} সীমার মধ্যে অবস্থিত \text {x} -অক্ষের অন্তর্গত ক্ষেত্রের  ক্ষেত্রফল। সুতরাং সমাকলনের সাহায্যে কাজ এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।