দুটি উজ্জ্বল বা অন্ধকার ডোরার কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব

উজ্জ্বল বা অন্ধকার ডোরার দূরত্ব
(Distance of bright or dark bands)

চিত্র ৭.১০ হতে আমরা পাই,

 \left(S_{1} P\right)^{2}=D^{2}+\left(x_{n}-d\right)^{2} ; x_{n} =   দুটি উজ্জ্বল ও অন্ধকার পট্টির কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব

এবং \left(S_{2} P\right)=D^{2}+\left(x_{n}+d\right)^{2}

\therefore \left(S_{2} P\right)^{2} - \left(S_{1} P\right)^{2} = \left[D^{2} + \left(x_{n}+d\right)^{2} \right] - \left[D^{2}+\left(x_{n}-d\right)^{2}\right]

                                      =\left(x_{n}+d\right)^{2}-\left(x_{n}-d\right)^{2}

বা,  \left(S_{2} P+S_{1} P\right)\left(S_{2} P-S_{1} P\right)=4 x_{n} d

এখন P বিন্দু M বিন্দুর খুবই সন্নিকটে অবস্থিত বলে 

S_{1} p=S_{2} P=D ধরা যায়।

অতএব, \left(S_{2} \mathrm{P}-S_{1} P\right)=\frac{4 x_{n} d}{\left(S_{2} \mathrm{P}+S_{1} P\right)}=\frac{4 x_{n} d}{2 D}=\frac{2 x_{n} d}{D}

এখন S_1 হতে S_2 P এর ওপর S_1 Q  লম্ব টানি। সুতরাং এই দুটি তরঙ্গের পথ পার্থক্য

\sigma=S_{2} Q=\left(S_{2} P-S_{1} P\right)=\frac{2 x_{n} d}{D}                                                

এখন সমীকরণ (7.15) হতে জানি, n-তম উজ্জ্বল ডোরার জন্য পথ পার্থক্য n\lambda -এর সমান হতে হবে।
\therefore \frac{2 x_{n} d}{D}=n \lambda , এখানে n = 0,1,2,3 … …

বা, x_{n}=\frac{D}{2 d} n \lambda

অনুরূপভাবে M বিন্দু হতে (n+ 1)-তম উজ্জ্বল ডোরার দূরত্ব

x_{n}+1=\frac{D}{2 d}(n+1) \lambda

∴পরপর দুটি উজ্জ্বল ডোরার কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব বা ব্যবধান

অর্থাৎ \beta=x_{n+1}-x_{n}

         =\frac{D}{2 d}(n+1) \lambda-\frac{D}{2 d} n \lambda

         =\frac{D}{2 d} \lambda

সুতরাং যেকোনো দুটি উজ্জ্বল ডাোরার ব্যবধান, \beta=\frac{D \lambda}{2 d}

উজ্জ্বল ঝালরের বা ডোরার অবস্থান (Position of Bright Bands)

ঝলর বা ডোরা	n	পথ পার্থক্য	কেন্দ্র হতে দূরত্ব, x
কেন্দ্রীয়	0	0	0
প্ৰথম	1	\lambda	\frac{ D \lambda}{2 d}
দ্বিতীয়	2	2 \lambda	\frac{2 D \lambda}{2 d}
……………………	……………………	……………………	……………………
?-তম	?	n \lambda	\frac{n D \lambda}{2 d}

আবার, অন্ধকার ডোরার জন্য পথ পার্থক্য (2 n+1) \frac{\lambda}{2}  -এর সমান হতে হবে 

\frac{2 x_{n} d}{D}=(2 n+1) \frac{\lambda}{2}
অনুরূপভাবে, M হতে (n + 1)-তম অন্ধকার ডোরার দূরত্ব
x_{n+1}=\frac{D}{2 d}\left[(2(n+1)+1] \frac{\lambda}{2}\right.

=\frac{D}{2 d}(2 n+3) \frac{\lambda}{2}

\therefore পরপর দুটি অন্ধকার ডোরার কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব

অর্থাৎ, \beta=\left(x_{n+1}\right)-x_{n}
= \frac{D}{2 d}(2 n+3) \frac{\lambda}{2}-\frac{D}{2 d}(2 n+1) \frac{\lambda}{2}
= \frac{D}{2 d} \lambda                                                                                  

 

অন্ধকার ঝালরের বা ডোরার অবস্থান (Position of Dark Bands)

ঝলর বা ডোরা	n	পথ পার্থক্য	কেন্দ্র হতে দূরত্ব, x
কেন্দ্রীয়	1	\frac{1}{2} \lambda	\frac{1}{2} \frac{D \lambda}{2 d}
প্ৰথম	2	\frac{3}{2} \lambda	\frac{3}{2} \frac{D \lambda}{2 d}
দ্বিতীয়	3	\frac{5}{2} \lambda	\frac{5}{2} \frac{D \lambda}{2 d}
……………………	……………………	……………………	……………………
m–তম	m	\left(m+ \frac{1}{2}\right)\lambda	\left(\frac{2 m+1}{2}\right) \frac{D \lambda}{2 d}

 

ডোরার প্রস্থ
(Width of bands)

এখন একটি উজ্জ্বল বা অন্ধকার ডোরার প্রস্থ বা বেধ (width) দুটি অন্ধকার ডোরা বা দুটি উজ্জ্বল ডোরার ব্যবধানের অর্ধেক। সুতরাং ডোরার প্রস্থ বা বেধ,
b=\frac{\lambda D / 2 d}{2}=\frac{\lambda D}{4 d}                                                             

সমীকরণ (7.18) হতে দেখা যায় যে—
(i) b এর রাশিমালায় n নেই। সুতরাং, এটি স্পষ্ট যে ব্যতিচার ঝালরের প্রথ ঝালর সংখ্যার ওপর নির্ভর করে না। অর্থাৎ সকল ঝালর একই প্রস্থের।
(ii) ঝালর প্রস্থ আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য \lambda -এর সমানুপাতিক। তরঙ্গদৈর্ঘ্য বেশি হলে b বেশি হবে অর্থাৎ ঝালরের
প্ৰস্থ বেশি হবে বা মোটা হবে এবং b কম হলে ঝালর সরু হবে। তাই লাল ঝালরের প্রথ বেশি, পক্ষান্তরে বেগুনি ঝালরের প্রস্থ কম।
(iii) D-এর মান বেশি হলে এবং d এর মান কম হলে ঝালরের প্রস্থ বেশি হবে।
(iv) পানি বা কোনো তরলে পরীক্ষণ ব্যবস্থাটি ডুবালে তরঙ্গদৈর্ঘ্য হ্রাস পায় \left(\lambda^{\prime}=\frac{\lambda}{\mu}\right)  সুতরাং ঝালরের প্ৰস্থ কমে।

ঝালরের কৌণিক বেধ
(Angular width of the fringe)

পর্দায় n-তম ঝালর বা ডোরার কৌণিক অবস্থান n হলে, আমরা পাই
\theta_{n}=\frac{x_{n}}{D}=\frac{D n \lambda / 2 d}{D}=\frac{n \lambda}{2 d}
এবং (n + 1)-তম ঝালরের কৌণিক অবস্থান,
\theta_{n+1}=\frac{(n+1) \lambda}{2 d}

সুতরাং, পরপর দুটি ঝালরের মধ্যে কৌণিক অবস্থানের পার্থক্য বা ব্যবধান অর্থাৎ ঝালরের কৌণিক বেধ,
\theta=\theta_{n+1}-\theta_{n}=\frac{(n+1) \lambda}{2 d}-\frac{n \lambda}{2 d}=\frac{\lambda}{2 d}                                                            (i)

সমীকরণ (i) হতে দেখা যায় যে-
(ক) এই কৌণিক বেধ পর্দার অবস্থানের ওপর নির্ভর করে না।
(খ) সুসংগত উৎস দুটির মধ্যে দূরত্ব (2d) বাড়লে কৌণিক বেধ কমবে এবং দূরত্ব কমলে কৌণিক বেধ
বাড়বে।
(গ) কৌণিক বেধ তরঙ্গেদৈর্ঘ্যের ওপর নির্ভর করবে। তরঙ্গদৈর্ঘ্য বাড়লে \theta বাড়বে, আবার কমলে theta কমবে। যদি সমগ্র পরীক্ষণ ব্যবস্থাটি প্রতিসরাঙ্কের তরলে নিমজ্জিত করা হয় তবে কৌণিক বেধ
কমবে, কেননা তেল < তরল < বায়ু !

দুটি একই ধরনের আলোক উৎস ব্যতিচার সৃষ্টি করতে পারে না- ব্যাখ্যা কর। (Two light sources of the same type can not produce interference pattern)

আলোর ব্যতিচার সৃষ্টির শর্ত হলো—(১) ব্যতিচার সৃষ্টিকারী উৎস দুটিকে সুসংগত হতে হবে এবং (২) যে দুটি তরঙ্গের উপরিপাতের ফলে ঝালর তৈরি হবে তাদের দশা পার্থক্য সর্বক্ষণের জন্য অপরিবর্তিত থাকতে হবে। কিন্তু দুটি একই আলোর উৎস ওপরের শর্ত পূরণ করে না, তাই ব্যতিচার সৃষ্টি করতে পারে না।

ব্যতিচার সৃষ্টিকারী দুটি তরঙ্গের একটির পথে একটি পাতলা কাচ প্লেট রাখলে ঝালরের কি পরিবর্তন হবে ?

ব্যতিচার সৃষ্টিকারী দুটি তরঙ্গের যে কোনো একটির পথে t বেধের একটি পাতলা কাচ প্লেট রাখলে তরঙ্গদ্বয়ের মধ্যে (\mu - 1)t পরিমাণ অতিরিক্ত পথ পার্থক্যের সৃষ্টি হবে। এখানে \mu = কাচের প্রতিসরাঙ্ক। ফলে সমগ্র ব্যতিচার ঝালর, কাচ প্লেটের যেদিকে রাখা হয়েছে সেদিকে সরে যাবে। কিন্তু ব্যতিচার ঝালরে সরণ ঘটলেও ঝালর প্রস্থের কোনো পরির্বতন হবে না।

দুটি একই ধরনের ছিদ্র দ্বারা গঠিত ব্যতিচার ঝালরে কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল পডির তীব্রতা I। যদি একটি চিড় বন্ধ করে দেওয়া হয় তবে ওই স্থানে তীব্রতা কত হবে ?

ধরা যাক, তরঙ্গ দুটির প্রতিটির বিস্তার, A

\therefore A_{max} = A+A=2A
সুতরাং, I_{max}= A^{2}_{max} =(2A)^2 = 4A^2 = 4I_0 [এখানে, I_0 প্রতিটি চিড়ের জন্য তীব্রতা]
এখন, একটি চিড় বন্ধ করে দিলে ওই স্থানে তীব্রতা হবে,

I_{0}=\frac{\operatorname{Imax}}{4}
অর্থাৎ কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরার তীব্রতা 4 গুণ হ্রাস পাবে।