স্থিতিস্থাপক বল ও কাজ

স্থিতিস্থাপক বলের (F∝x) বিপরীতে কৃত কাজ (Work Done Against Elastic Force)

স্প্রিং বল (Force of a Spring)

বাইরে থেকে বল প্রয়োগ করলে যদি কোনো বস্তুর আকার বা আয়তন বা উভয়ের পরিবর্তন ঘটে অর্থাৎ বস্তু বিকৃত হয়, তাহলে প্রযুক্ত বল সরিয়ে নিলে যে ধর্মের ফলে বিকৃত বস্তু পূর্বাবস্থায় ফিরে আসে তাকে স্থিতিস্থাপকতা (Elasticity) বলে।

যে বল প্রয়োগ করে বস্তু পূর্বের অবস্থায় ফিরে আসে তাকে স্থিতিস্থাপক বল( elastic force) বলে। স্প্রিং-এর স্থিতিস্থাপকতা ধর্ম রয়েছে। একটি স্প্রিংকে সাম্যাবস্থান বা শিথিল অবস্থান থেকে প্রসারিত বা সংকুচিত, যাই করা হোক না কেন সেটি সাম্যাবস্থানে ফিরে আসার জন্য একটা বল প্রয়োগ করে। সুতরাং স্প্রিং কর্তৃক প্রদত্ত বল একটি স্থিতিস্থাপক বল।

এটি একটি পরিবর্তনশীল বল, কেননা এর মান সরণের উপর নির্ভর করে। চিত্রে একটি স্প্রিং দেখানো হয়েছে, যার এক প্রান্ত একটি দৃঢ় অবলম্বনের সাথে এবং অপর প্রান্ত m ভরের একটি কণার সাথে সংযুক্ত। কণাটি অনুভূমিক বরাবর চলাচল করতে পারে। আমরা অনুভুমিক বরাবর অর্থাৎ কণাটি যে দিকে চলতে করতে পারে সে দিককে X-অক্ষ ধরি। স্প্রিংটি যখন শিথিল বা স্বাভাবিক অবস্থায় (relax) থাকে তখন কণাটির অবস্থানকে X-অক্ষের মূলবিন্দু (x=0) বিবেচনা করা যাক (চিত্র ক)। যখন কণাটির উপর বাইরে থেকে F বল প্রয়োগ করা হয়, তখন স্প্রিং একটি বিপরীতমুখী বল F_{S} প্রয়োগ করে (চিত্র: খ)। এই বল কণাটির সরণ x-এর সমানুপাতিক, অর্থাৎ

F_{S} \propto x

বা, F_{s}=-k x

এখানে k একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক। এটি একটি ধনাত্মক রাশি, একে বলা হয় স্প্রিং-এর বল ধ্রুবক। সমীকরণটি স্প্রিং-এর জন্য বলের সূত্র এবং এটি হুকের সূত্র (Hooke’s Law) নামে পরিচিত। সমীকরণের ঋণাত্মক চিহ্ন থেকে বোঝা যায়, স্প্রিং কর্তৃক প্রদত্ত বলের দিক সর্বদা কণাটির সরণের বিপরীত দিকে।

এই বল কণাটিকে তার আদি অবস্থানে ফিরিয়ে আনতে চায়। তাই এই বলকে প্রত্যায়নী বল বলা হয়। সমীকরণে x=1 একক হলে

\mathrm{k}=-F_{s} হয়। এর থেকে স্প্রিং ধ্রুবকের সংজ্ঞা দেয়া হয়। কোনো স্প্রিং এর মুক্ত প্রান্তের একক সরণ ঘটালে স্প্রিংটি সরণের বিপরীত দিকে যে বল প্রয়োগ করে তাকে ঐ স্প্রিং-এর স্প্রিং ধ্রুবক বলে। এ ধ্রুবকের মান স্প্রিং-এর দৈর্ঘ্য, এর জ্যামিতিক গঠন এবং স্থিতিস্থাপক ধর্মের উপর নির্ভর করে। এর একক নিউটন/মিটার \left(\mathrm{Nm}^{-1}\right) এবং এর মাত্রা \mathrm{MT}^{-2}।

কোনো স্প্রিং-এর স্প্রিং ধ্রুবক 1800\left(\mathrm{Nm}^{-1}\right) বলতে বোঝায় ঐ স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তের 1 m সরণ ঘটাতে স্প্রিং-এর উপর 1800 N বল প্রয়োগ করতে হবে বা স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তের 1 m সরণ ঘটলে স্প্রিংটি সরণের বিপরীত দিকে 1800 N বল প্রয়োগ করে।

স্থিতিস্থাপক বল তথা স্প্রিং বলের বিপরীত কাজের হিসাব(Calculation of Work Done Against Elastic Force)

চিত্রে প্রদর্শিত স্প্রিং-এর এক প্রান্ত দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ এবং অপর প্রান্ত m ভরের একটি কণার সাথে সংযুক্ত। কণাটি যখন আদি অবস্থান x=0 থেকে x=x অবস্থানে যায় তখন কণাটির উপর স্প্রিং \mathrm{k}=-F_{s} বল প্রয়োগ করে। এই বলের বিপরীতে স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তের x সরণ ঘটানোর জন্য বাইরে থেকে স্প্রিং বলের সমান ও বিপরীত F=-F_{s}=k x বল প্রয়োগ করতে হয়। এই বলের জন্য কৃত কাজ,

\begin{array}{l} \begin{aligned} W &=\int_{0}^{x} F d x=\int_{0}^{x} k x d x=k \int_{0}^{x} x d x=k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{x} \\ &=\frac{1}{2} k\left(x^{2}-0\right) \end{aligned} \\ \therefore W=\frac{1}{2} k x^{2} \end{array}

যেহেতু k একটি ধ্রুবক, সুতরাং স্প্রিং বলের বিপরীতে কৃত কাজ সরণের বর্গের সমানুপাতিক। লক্ষ্যণীয় যে, স্প্রিংটি x পরিমাণ প্রসারিত করা হোক বা সংকুচিত করা হোক অর্থাৎ x ধনাত্মক হোক আর ঋণাত্মক হোক স্প্রিং বলের বিপরীতে কৃত কাজ একই।

স্থিতিস্থাপক বল দ্বারা কৃত কাজের হিসাব (Calculation of Work Done by Elastic Force)

চিত্রে একটি স্প্রিং দেখানো হয়েছে যার এক প্রান্ত দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ এবং অপর প্রান্ত m ভরের একটি কণার সাথে সংযুক্ত। কণাটি যখন তার আদি অবস্থান x_{i} থেকে শেষ অবস্থান x_{f}-এ যায় তখন কণাটির উপর স্প্রিং দ্বারা কৃত কাজ W_{s} হিসাব করা যাক। আমরা জানি, কৃত কাজ

W_{s}=\int_{x_{i}}^{x} F_{s}(x) d x

কিন্তু স্প্রিং এর প্রযুক্ত বল F_{s}, কণাটির সরণ x এর সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী অর্থাৎ F_{s}=-k x

\begin{aligned} W_{s} &=\int_{x_{i}}^{x_{f}}(-k x) d x \\ &=-k \int_{x_{i}}^{x_{f}} x d x \\ &=-(k)\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x_{i}}^{x_{f}} \\ &=-\frac{1}{2} k\left[x_{f}^{2}-x_{i}^{2}\right] \\ W_{s} &=\frac{1}{2} k x_{i}^{2}-\frac{1}{2} k x_{f}^{2} \ldots \end{aligned}

স্থিতিস্থাপক বল দ্বারা কৃত ধনাত্মক কাজ(Positive Work Done by Elastic Force)

এই সমীকরণ থেকে দেখা যায়, স্প্রিং দ্বারা কণাটির উপর কৃত কাজের মান ধনাত্মক হয় যদি x_{i}^{2}>x_{f}^{2} হয় বা\left|x_{i}\right|>\left|x_{f}\right| হয়, অর্থাৎ যদি কণাটির আদি সরণের মান এর শেষ সরণের মানের চেয়ে বড় হয়। যখন স্প্রিংটি কণাটিকে x=0 অবস্থানে ফিরিয়ে আনতে ব্যবহৃত হয় তখন এটি ধনাত্মক কাজ সম্পন্ন করে। অর্থাৎ যখন স্প্রিংটি তার প্রসারিত বা সংকুচিত অবস্থা থেকে শিথিল অবস্থায় ফিরে আসে তখন স্প্রিং-এর কৃত কাজের মান ধনাত্মক হয়।

স্থিতিস্থাপক বল দ্বারা কৃত ঋণাত্মক কাজ(Negative Work Done by Elastic Force)

কণাটির আদি সরণের মান শেষ সরণের মানের চেয়ে ছোট হলে অর্থাৎx_{i}^{2}<x_{f}^{2} বা,\left|x_{i}\right|<\left|x_{f}\right| হলে স্প্রিংটি কণাটির উপর ঋণাত্মক কাজ সম্পন্ন করে। যখন বাইরে থেকে বল প্রয়োগ করে কণাটিকে x=0 অবস্থান থেকে অন্য অবস্থানে নিয়ে যাওয়া হয় অর্থাৎ স্প্রিংটিকে তার শিথিল অবস্থা থেকে প্রসারিত বা সংকুচিত করা হয় তখন স্প্রিং কর্তৃক কৃত কাজ ঋণাত্মক হয়।

যখন কণাটির আদি অবস্থান x=0 থেকে সরণ x হয়, তখন কণাটির উপর স্প্রিং দ্বারা কৃত কাজ বের করতে আমরা সমীকরণে x_{i}=0 এবংx_{f}=x বসিয়ে পাই,

W_{s}=-\frac{1}{2} k x^{2}

সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, স্প্রিংটি সংকুচিত করে x সরণ ঘটাতে এবং স্প্রিংটিকে প্রসারিত করে কণাটির x সরণ ঘটাতে স্প্রিং দ্বারা কৃত কাজের পরিমাণ একই এবং তা ঋণাত্মক। কারণ স্প্রিং-এর কাজের সমীকরণে x এর বর্গ ব্যবহৃত হয়েছে, ফলে সরণ x-এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন x^{2} ধনাত্মক এবং কাজ ঋণাত্মক হবেই।

স্থিতিস্থাপক বল ও অভিকর্ষ বলের বিপরীতে সম্পাদিত কাজের তুলনা(Comparison Between Work Done Against Elastic Force & Gravitational Force)

স্প্রিং কর্তৃক কৃত কাজের সমীকরণ থেকে দেখা যায় স্থিতিস্থাপক বলের বিপরীতে সম্পাদিত কাজ দূরত্বের বর্গের সমানুপাতিক অর্থাৎ 

W \propto x 2

এখন, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে কাজের সমীকরণ থেকে দেখা যায় স্থিতিস্থাপক বলের বিপরীতে সম্পাদিত কাজ দূরত্বের সমানুপাতিক।

অর্থাৎ W \propto h

সুতরাং অভিকর্ষ বলের বিপরীতে সরণ দ্বিগুণ হলে কৃত কাজ দ্বিগুণ হবে, কিন্তু স্থিতিস্থাপক বলের বিপরীতে সরণ দ্বিগুণ হলে কাজ চার গুণ হবে। তেমনি, অভিকর্ষ বলের বিপরীতে সরণ তিন গুণ হলে কৃতকাজও তিন গুণ হবে, কিন্তু স্থিতিস্থাপক বলের বিপরীতে সরণ তিন গুণ হলে কাজ নয় গুণ হবে।