অভিকর্ষ বল ও কাজ

অভিকর্ষ বলের \left(F \propto \frac{1}{r^{2}}\right) বিপরীতে কাজ (Work Done Against Gravitational Force)

আমরা জানি, এ মহাবিশ্বের যেকোনো দুটি বস্তু কণা একে অপরকে একটি বল দ্বারা আকর্ষণ করে। এ বলকে মহাকর্ষ বল বলা হয়। এটি একটি পরিবর্তনশীল বল—দুটি নির্দিষ্ট বস্তুর জন্য এই বলের মান তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের উপর নির্ভর করে। প্রকৃতপক্ষে এ বল \text {(F)} বস্তুদ্বয়ের দূরত্বের বর্গের \left(r^{2}\right) ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ F \propto \frac{1}{r^{2}} I। আমরা জানি, m এবং M ভরের দুটি কণা পরস্পর থেকে দূরত্বে থাকলে মহাকর্ষ সূত্র অনুসারে তাদের মধ্যে আকর্ষণ বল,

F=\frac{G M m}{r^{2}}

দুটি বস্তুর একটি যদি হয় পৃথিবী তাতে যে আকর্ষণ হয় তাকে অভিকর্ষ বল (Gravitational force) বলে অর্থাৎ কোনো বস্তুর উপর পৃথিবীর আকর্ষণকে অভিকর্ষ (gravitational force) বলে। ধরা যাক, M = পৃথিবীর ভর, \text {R} = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, m=\bar{\varepsilon}- ভূ-পৃষ্ঠে অবস্থিত কোনো বস্তুর ভর \text {r}= বস্তুর ও পৃথিবীর কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব। তাহলে বস্তুর উপর অভিকর্ষ বল,

F_{G}=-\frac{G M m}{r^{2}}

এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন আকর্ষণ বল নির্দেশ করছে। পৃথিবী এই বলে বস্তুটিকে তার কেন্দ্রের দিকে আকর্ষণ করে। এখন যদি বস্তুটিকে ভূ-পৃষ্ঠ থেকে \text {h} উচ্চতায় ওঠাতে হয় অর্থাৎ বস্তুটি r = R থেকে r=R+h অবস্থানে যায় তখন বস্তুটির উপর পৃথিবী F_{G}=-\frac{G M m}{r^{2}} বল প্রয়োগ করে। এ বলের বিপরীতে বস্তুটিকে h উচ্চতায় ওঠাতে অর্থাৎ বস্তুটির h সরণ ঘটানোর জন্য বাইরে থেকে অভিকর্ষ বলের সমান ও বিপরীত F=-F_{G}=\frac{G M m}{r^{2}} বল প্রয়োগ করতে হয়। এ বলের জন্য কৃত কাজ,

W=\int_{r=R}^{r=R+h}\\ =\int_{R}^{R+h} \frac{G M m}{r^{2}} d r\\ =G M m \int_{R}^{R+h} \frac{d r}{r^{2}}\\ =G M m\left[-\frac{1}{r}\right]_{R}^{R+h}\\ =G M m\left(-\frac{1}{R+h}+\frac{1}{R}\right)\\ \therefore W=G M m\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}\right)\\ \begin{array}{l} \text { বা, } W=G M m \frac{R+h-R}{R(R+h)} \\ \therefore W=\frac{G M m h}{R(R+h)} \end{array}

এখন পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R এর তুলনায় বস্তুর সরণ h খুব ক্ষুদ্র হয় অর্থাৎ h<<R হয়, তাহলে এই সমীকরণে R এর তুলনায় হরের h কে উপেক্ষা করে আমরা পাই,

W=\frac{G M m}{R^{2}} h

আবার, আমরা জানি, g=\frac{G M}{R^{2}}

\therefore w=m g h

অভিকর্ষীয় বল কর্তৃক কাজের উদাহরণ(Work Done By Gravitational Force)

(ক) বস্তু নিচে পতনের ক্ষেত্রে কাজ :

মনে করি, ‘m’ ভরবিশিষ্ট একটি বস্তুকে অভিকর্ষ বলের প্রভাবে ‘h’ উচ্চতা হতে ফেলা হলো।

\therefore কৃত কাজ = বল \times সরণ

বা, W=F \times h=m g h   [\because F=m g]

বা, W=ভর \times অভিকর্ষজ ত্বরণ \times উচ্চতা

কাজকে অভিকর্ষীয় এককে প্রকাশ করলে, W=m g h 

(খ) বস্তু উপরে উঠানোর ক্ষেত্রে কাজ :

‘m’ ভরবিশিষ্ট একটি বস্তুকে অভিকর্ষ বলের বিরুদ্ধে ‘h’ উচ্চতায় উপরে উঠালে

কাজ = ভর \times অভিকর্ষীয় ত্বরণ \times উচ্চতা বা, W=m g h

অবশ্য এ কাজ ঋণাত্মক।

(গ) আনত তল বেয়ে নামানোর ক্ষেত্রে কাজ :

মনে করি, ‘m’ ভরবিশিষ্ট একটি বস্তু কোনো একটি মসৃণ নভতল বেয়ে A হতে B-তে সরে এল। যদি g অভিকর্ষীয় ত্বরণ হয়, তবে অভিকর্ষীয় বল \text {m g} বস্তুটিকে খাড়াভাবে নিচের দিকে টানবে।

ধরি সরণের অভিমুখ এবং অভিকর্ষ বলের অভিমুখের মধ্যে \theta  কোণ আছে এবং A B=s

∴অভিকর্ষ বল \text {m g}-এর দিকে সরণের অংশ = s \cos \theta

এখন A C=h দূরত্ব

\therefore h=s \cos \theta

\therefore কাজ W= m gs \cos \theta বা, W=m g h

তলটি অনুভূমিকের সাথে \alpha কোণে অবস্থান করলে, 0=\left(90^{\circ}-\alpha\right)

\therefore W=m gs \cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=m g s \sin \alpha

স্থিতিস্থাপক বল এবং অভিকর্ষ বল দ্বারা কাজ থেকে দেখা যায় যে,

স্থিতিস্থাপক বল দ্বারা কাজ, W=\frac{1}{2} \mathrm{kx}^{2}: \therefore কাজ, W \propto(\text { সরণ })^{2}

অন্যদিকে অভিকর্ষ বল দ্বারা কাজ, W=m g h ~ \therefore কাজ, W \propto সরণ

সুতরাং বলা যায়, স্থিতিস্থাপক বল দ্বারা কাজ সরণের বর্গের সমানুপাতিক। অপর দিকে অভিকর্ষ বল দ্বারা কাজ উচ্চতার বা সরণের সমানুপাতিক। অভিকর্ষ ত্বরণের মান বৃদ্ধি পেলে এই বল দ্বারা কাজও বৃদ্ধি পায়।

(ঘ)মহাকর্ষ বলের ক্ষেত্রে কাজ 

মনে করি M ভরের একটি বস্তু মহাকর্ষ ক্ষেত্রের P বিন্দুতে অবস্থিত। P থেকে r দূরে m ভরের অন্য একটি বস্তু Q বিন্দুতে অবস্থিত [চিত্র]। এক্ষেত্রে m ভরের বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বল, 

F=\frac{G M m}{r^{2}} দিক \text {Q P} বরাবর।

এখন m ভরের বস্তুকে অসীম হতে ক্ষুদ্র দুরত্ব \text {d r} সরিয়ে R বিন্দুতে আনতে কৃত কাজ

\begin{aligned} W &=\int_{\infty}^{r} F d r \cos 0^{\circ} \\ &=\int_{\infty}^{r} F d r=\int_{\infty}^{r} \frac{G M m}{r^{2}} d r \\ &=G M m \int_{\infty}^{r} r^{-2} d r=-G M m\left[\frac{1}{r}\right]_{\infty}^{r} \\ &=-G M m\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{\infty}\right)=-G M m \end{aligned}

যেহেতু \frac{G M m}{R^{2}} একটি ধ্রুবক

\therefore W \propto h

অর্থাৎ অভিকর্ষের বিপরীতে কাজ বস্তুর সরণের সমানুপাতিক।