তড়িৎ দ্বিমেরু (Electric dipole)

সমপরিমাণের দুটি বিপরীতধর্মী তড়িৎ চার্জ খুব কাছাকাছি স্থাপন করা হলে তড়িৎ দ্বিমেরু গঠিত হয়। তড়িৎ দ্বিমেরুর লম্ব-সমদ্বিখণ্ডক রেখার যে কোনো বিন্দুতে বিভব শূন্য হওয়ায় এই রেখা বরাবর ধনাত্মক চার্জকে সরাতে সম্পাদিত কাজের পরিমাণ শূন্য হয়।

দুইটি সমপরিমাণ কিন্তু বিপরীতধর্মী বিন্দু চার্জ পরস্পরের খুব কাছাকাছি অবস্থিত থাকলে তাকে তড়িৎ দ্বিমেরু বলে।

উদাহরণস্বরূপ বলা যায়, হাইড্রোজেন পরমাণুতে একটি ধন প্রোটন এবং একটি ঋণ ইলেকট্রন আছে। অতএব ইহা একটি তড়িৎ দ্বিমেরু। পানি $\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$ , ক্লোরোফরম $\left(\mathrm{CHCl}_{3}\right)$ , অ্যামোনিয়া $\left(\mathrm{NH}_{3}\right)$ হলো স্থায়ী দ্বিমেরুর উদাহরণ। এসব অণুতে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক আধান বণ্টনের কেন্দ্র কখনও একই বিন্দুতে হয় না।

তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক

কোনো একটি তড়িৎ দ্বিমেরুর যেকোনো একটির আধানের পরিমাণ এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের গুণফলকে তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক বলে। মনে করি একটি তড়িৎ দ্বিমেরুর যেকোনো একটির আধানের পরিমাণ $= \text {q}$ এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = $\text {2 l}$ .

∴ দ্বিমেরু ভ্রামক $p=q \times 2 l$

দ্বিমেরু ভ্রামকের ভেক্টর রূপ হলো $\vec{p}=2 q \vec{l} \mid$ । এর অভিমুখ ঋণ চার্জ হতে ধন চার্জের দিকে।

তড়িৎ দ্বিমেরুর তড়িৎ ক্ষেত্রে লম্ব-দ্বিখণ্ডক রেখা বরাবর কোনো ধনাত্মক চার্জকে সরালে কোনো কাজ সম্পাদন করতে হয় না কেন?

তড়িৎ দ্বিমেরুর লম্ব-দ্বিখণ্ডক রেখার যে কোনো বিন্দুতে বিভব শূন্য হওয়ায় এই রেখা বরাবর ধনাত্মক চার্জকে সরাতে সম্পাদিত কাজের পরিমাণ শূন্য হয় অর্থাৎ কোনো কাজ করতে হয় না।

সুষম তড়িৎ ক্ষেত্রে অবস্থিত তড়িৎ দ্বিমেরুর ওপর প্রযুক্ত টর্ক (Torque on a dipole in a uniform electric field)

মনে করি $+ \text {q}$ ও $- \text {q}$ আধানবিশিষ্ট একটি তড়িৎ দ্বিমেরু $\text {A B}$ সুষম তড়িৎ ক্ষেত্রে অবস্থিত। $\text {A B}$ = $\text {2 l}$ ধরি, তড়িৎ দ্বিমেরুর অক্ষ তড়িৎ ক্ষেত্রের অভিমুখের সাথে কোণে রয়েছে। B বিন্দুতে $+ \text {q}$ আধানের ওপর $+ \text {q E}$ বল তড়িৎ ক্ষেত্রের দিক বরাবর ক্রিয়া করে। পক্ষান্তরে A বিন্দুতে $- \text {q}$ আধানের ওপর $- \text {q E}$ বল তড়িৎ ক্ষেত্রের দিকের বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে।

সুতরাং দুটি সমান, সমান্তরাল ও বিপরীত বল দ্বিমেরুর ওপর ক্রিয়া করে। তাই দ্বিমেরুর ওপর ক্রিয়ারত লদ্ধি বল শূন্য। তবে বল দুটি একই রেখায় ক্রিয়ারত না হওয়ায় এরা দ্বিমেরুর ওপর টর্ক প্রয়োগ করে। এই টর্কের মান হবে—

$\tau=$ একটি বলের মান $\times$ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব

$\therefore \tau=q E \times 2 l \sin \theta=p E \sin \theta$ $[\because \quad p=2 q l]$

এখানে $p$ হচ্ছে দ্বিমেরু ভ্রামক।

সমীকরণটিকে ভেক্টররূপে লেখা যায়—

$\vec{\tau}=\vec{p} \times \vec{E}$

এটিই তড়িৎ দ্বিমেরুর ওপর ক্রিয়ারত টর্কের সঙ্গে দ্বিমেরু ভ্রামক ও তড়িৎ ক্ষেত্রের সম্পর্ক।

(i) যখন $\theta=90^{\circ}$ অর্থাৎ $\tau=p E \sin 90^{\circ}=p E$ , তখন টর্কের মান সর্বোচ্চ হয়, অতএব $\tau_{\max }=p E$

(ii) যখন $\theta=0^{\circ}$ অর্থাৎ $\tau=p E \sin 0^{\circ}=0$ , তখন টর্কের মান শূন্য হয়। অর্থাৎ $\tau_{\max }=0$ ।

তড়িৎ ক্ষেত্রে দ্বিমেরুকে বিক্ষিপ্ত করতে কৃত কাজ (Work done to deflect a dipole in an electric field)

বাধাহীনভাবে একটি তড়িৎ দ্বিমেরু কোনো তড়িৎ ক্ষেত্রে থাকলে তড়িৎ দ্বিমেরুটি তড়িৎ ক্ষেত্রের সাথে সমান্তরালে থাকে। এই সাম্য অবস্থা থেকে দ্বিমেরুটি বিক্ষিপ্ত করতে হলে এর ওপর কাজ করতে হয়। এই কৃত কাজ দ্বিমেরুতে স্থিতিশক্তি রূপে সঞ্চিত থাকে।

ধরা যাক, ঘূর্ণনের সময় যে কোনো মুহুর্তে দ্বিমেরুটি তড়িৎ ক্ষেত্রের সাথে $\theta$ কোণে আনত রয়েছে। এই সময় দ্বিমেরুর ওপর প্রযুক্ত টর্ক, $\tau=p E \sin \theta$ । এখন দ্বিমেরুটিকে অতিরিক্ত dθ কোণে সরণ ঘটাতে হলে কৃত কাজ,

$d W=\tau d \theta=p E \sin \theta d \theta$

সুতরাং দ্বিমেরুটিকে $\alpha$ কোণে ঘুরাতে কৃত কাজ, $W=p E \int_{0}^{\alpha} \sin \theta d \theta=p E(1-\cos \alpha)$

সুতরাং, এই অবস্থানে তড়িৎ দ্বিমেরুর স্থিতিশক্তি,

U=p E(1-\cos \alpha)

(i) দ্বিমেরুটিকে $\alpha=90^{\circ}$ কোণে ঘুরাতে কৃত কাজ, $W=p E\left(1-\cos 90^{\circ}\right)=p E$

(ii) দ্বিমেরুটিকে $\alpha=180^{\circ}$ কোণে ঘুরাতে কৃত কাজ, $W=p E\left(1-\cos 180^{\circ}\right)=p E(1+1)=2 p E$

তড়িৎ দ্বিমেরুর জন্য তড়িৎ বিভব (Electric potential due to electric dipole)

মনে করি $+q$ এবং $-q$ দুইটি বিন্দু চার্জ। এরা শূন্য মাধ্যমে A ও B বিন্দুতে $2 l$ দূরত্বে থেকে একটি তড়িৎ দ্বিমেরু সৃষ্টি করেছে [চিত্র]। ধরি A ও B-এর মধ্য-বিন্দু O। এখন O হতে $r$ দূরত্বে P একটি বিন্দু নেই। P বিন্দুতে বিভব নির্ণয় করতে হবে। ধরি OP = $r$ , $\angle POA = \theta$ , $P O$ এবং $P O$ -এর বর্ধিত অংশের ওপর যথাক্রমে $A N^{\prime}$ ও $B N$ লম্ব।

$\begin{array}{l} \therefore P \text { বিন্দুতে বিভব, } V_{p}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\left\{\frac{q}{A P}+\left(-\frac{q}{B P}\right)\right\} \\ V_{p}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\left(\frac{q}{A P}-\frac{q}{B P}\right) \\ P N=B P=r+l \cos \theta=r_{2} \\ \therefore \text { সমীকরণ (2.36) হতে পাই } \end{array}$

\begin{aligned} V_{p} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\left\{\frac{q}{r_{1}}-\frac{q}{r_{2}}\right\} \\ &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\left\{\frac{q}{r-l \cos \theta}-\frac{q}{r+l \cos \theta}\right\} \\ &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\left\{\frac{q(r+l \cos \theta)-q(r-l \cos \theta)}{r^{2}-l^{2} \cos ^{2} \theta}\right\} \\ &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\left\{\frac{q(r+l \cos \theta-r+l \cos \theta)}{r^{2}-l^{2} \cos ^{2} \theta}\right\}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}}\left\{\frac{q \times 2 l \cos \theta}{r^{2}-l^{2} \cos ^{2} \theta}\right\} \end{aligned}

$r \gg l$ হওয়ায় $l^{2} \cos ^{2} \theta$ কে উপেক্ষা করা যায়।

\begin{aligned} \therefore P \text { বিন্দুতে বিভব, } \mathrm{V}_{p} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{q \times 2 l \cos \theta}{r^{2}} \\ \text { বা, } \mathrm{V}_{p} &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p \cos \theta}{r^{2}} \end{aligned}

এখানে $q \times 2 l=p=$ দ্বির্মের ভ্রামক

অর্থাৎ $P$ বিন্দুতে বিভব,

$\mathrm{V}_{p}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$

এটিই হলো তড়িৎ দ্বিমেরূর জন্য বিভবের রাশিমালা।

দ্রষ্টব্য (Note):

(i) যদি $\theta=0$ হয়, অর্থাৎ $P$ বিন্দু তড়িৎ দ্বিমেরুর অক্ষ বরাবর স্থাপিত হয়, তবে $\mathrm{V}_{p}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p}{r^{2}}$

(ii) যদি $\theta=90^{\circ}$ হয়, অর্থাৎ $P$ বিন্দু তড়িৎ দ্বিমেরুর অক্ষের ওপর অভিলম্ব হয়, তবে $\mathrm{V}_{p}=0$ অর্থাৎ দ্বিমেরু দৈর্ঘ্যের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের ওপর যে কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভব শূন্য।

(iii) অন্য কোনো মাধ্যমে, $\mathrm{V}_{p}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o} k} \times \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$

তড়িৎ দ্বিমেরুর জন্য তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (Electric field intensity due to electric dipole)

তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (Electric field intensity): আমরা জানি, দূরত্ব সাপেক্ষে বিভব পরিবর্তনের হারকে তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য বলে এবং প্রাবল্য, $E=-\frac{d V}{d r}$

এখন OP বরাবর তড়িৎ প্রাবল্যের উপাংশের নাম ব্যাসার্ধমুখী উপাংশ (radial component)। একে $E_{r}$ দ্বারা সূচিত করা হয় [চিত্র]।

\begin{aligned} \therefore E_{r} &=-\frac{d}{d r}\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p \cos \theta}{r^{2}}\right) \\ &=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{d}{d r}\left(\frac{p \cos \theta}{r^{2}}\right)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{2 p \cos \theta}{r^{3}} \end{aligned}

$\therefore$ তড়িৎ দ্বিমেরুর জন্য তড়িৎ বিভব $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p}{r^{2}}$

আবার, OP-এর অভিলম্ব বরাবর তড়িৎ প্রাবল্যের উপাংশের নাম তির্যক উপাংশ (tangential component)। একে $E_{\theta}$ দ্বারা সূচিত করা হয়। আবার, অভিলম্ব বরাবর দূরত্ব $r d \theta$ ।

\begin{aligned} \therefore E_{\theta} &=-\frac{d V}{r d \theta}=-\frac{1}{r} \cdot \frac{d}{d \theta}\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p \cos \theta}{r^{2}}\right) \\ &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p \sin \theta}{r^{3}} \end{aligned}

মনে করি $P$ বিন্দুতে তড়িৎ দ্বিমেরুর জন্য প্রাবল্য $= E$ । তা হলে $E$ হবে $E_{r}$ ও $E_{\theta}$ এর লব্ধি।

\begin{aligned} \therefore \quad E &=\sqrt{E_{r}^{2}+E_{\theta}^{2}} \\ &=\sqrt{\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{2 p \cos \theta}{r^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p \sin \theta}{r^{3}}\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \cdot \frac{p}{r^{3}} \sqrt{\left(4 \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)} \\ &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \cdot \frac{p}{r^{3}} \sqrt{\left(1+3 \cos ^{2} \theta\right)} \end{aligned}

এবং $E$ -এর অভিমুখ অর্থাৎ $E_{r}$ এর সাথে $E$ -এর কৌণিক ব্যবধান $\varphi$ হলে

$\begin{aligned} \tan \varphi &=\frac{E_{\theta}}{E_{r}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p \sin \theta}{r^{3}} / \frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{2 p \cos \theta}{r^{3}} \\ &=\frac{\sin \theta}{2 \cos \theta}=\frac{1}{2} \tan \theta \end{aligned}$

বিশেষ ক্ষেত্র (Special case) :

১. বিন্দুটি যদি দ্বিমেরুর অক্ষের ওপর অবস্থিত হয় তবে $\theta=0^{\circ}$ হবে। সেক্ষেত্রে $E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \times \frac{2 p}{r^{3}}$

২. বিন্দুটি যদি দ্বিমেরুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডের ওপর অবস্থিত হয় তবে $\theta=90^{\circ}$ হবে। সেক্ষেত্রে $E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p}{r^{3}}$

৩. $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ , অর্থাৎ বিন্দুটি যদি দ্বিমেরুর অক্ষের লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ডান পাশে তথা ধনাত্মক চার্জ যে পাশে সেই পাশে হয় তাহলে $\cos \theta=+v e$ এবং বিভব ধনাত্মক হবে।

৪. $90^{\circ}<\theta<180^{\circ}$ , অর্থাৎ বিন্দুটি যদি দ্বিমেরুর অক্ষের লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের বাম পাশে তথা ঋণাত্মক চার্জ যে পাশে সেই পাশে হয় তাহলে $\cos \theta=-v e$ এবং বিভব $V$ ঋণাত্মক হবে।

৫. $\theta=180^{\circ}$ , অর্থাৎ বিন্দুটি যদি দ্বিমেরুর অক্ষের ওপর হয় এবং ঋণাত্মক চার্জ যে পাশে সেই পাশে হয় তাহলে $\cos 180^{\circ}=-1 \text { এবং } \mathrm{V}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \times \frac{p}{r^{2}} \text { হবে }$

তড়িৎ দ্বিমেরুর সমীকরণগুলো থেকে দেখা যায় যে, প্রাবল্য দূরত্বের ঘনফলের ব্যস্তানুপাতিক আর বিভব দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক।

তড়িৎ দ্বিমেরুর অক্ষস্থিত কোনো বিন্দুতে এবং অক্ষের লম্ব দ্বিখণ্ডকের ওপর কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভব এবং প্রাবল্য কত হবে?

তড়িৎ দ্বিমেরুর কেন্দ্র থেকে $x$ দূরত্বে দ্বিমেরুর অক্ষে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে,

তড়িৎ বিভব, $\mathrm{V}_{p}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o}} \times \frac{p}{x^{2}}$

তড়িৎ প্রাবল্য, $\mathrm{E}_{p}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{o}} \frac{2 p}{x^{3}}$

দ্বিমেরুর অক্ষের লম্ব দ্বিখণ্ডের ওপর কেন্দ্র থেকে $x$ দূরত্বে কোনো বিন্দুতে, যখন দ্বিমেরু ভ্রামক $p=q \times 2 l$ , তখন

তড়িৎ বিভব, $\mathrm{V}_{p}=0$