গাউসের সূত্র (Gauss’s law)
জার্মান বিজ্ঞানী কার্ল ফ্রেডরিক গাউস (Carl Friedrich Gauss) তড়িৎ ফ্লাক্স ও চার্জের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র প্রদান করেন। কোনো একটি বদ্ধ তলের বিভিন্ন বিন্দুতে তড়িৎ প্রবাল্য নির্ণয়ের জন্য এ সূত্র ব্যবহৃত হয়। সূত্রটি বিবৃত করার আগে তড়িৎ ফ্লাক্স, ক্ষেত্র ভেক্টর ও গাউসীয় তল কী জানা দরকার।
তড়িৎ ফ্লাক্স (Electric flux)
তড়িৎ ক্ষেত্রে অবস্থিত কোনো তলের মধ্য দিয়ে লম্বভাবে অতিক্রান্ত বলরেখার সংখ্যাকে তড়িৎ ফ্লাক্স বলে। একে \varphi (phi) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি স্কেলার রাশি। এর একক ওয়েবার (W b) বা Tesla m^{2} বা N m^{-1} A বা N C^{-1} m^{2} ।
অন্যভাবে বলা যায়, কোনো তলের ক্ষেত্রফল এবং ওই তলের লম্ব বরাবর তড়িৎ ক্ষেত্রের উপাংশের গুণফলকে ওই তলের সাথে সংশ্লিষ্ট তড়িৎ ফ্লাক্স বলে। কোনো তলের ক্ষেত্রফল S এবং ওই তলের লম্ব বরাবর তড়িৎ ক্ষেত্র E হলে তড়িৎ ফ্লাক্স \varphi = E S
ব্যাখ্যা (Explanation):
\vec{E} প্রাবল্যবিশিষ্ট একটি সুষম তড়িৎ ক্ষেত্রে একটি বদ্ধ তল S এর ওপর একটি ক্ষুদ্র ক্ষেত্র d \vec{S} নেয়া হলো [চিত্র ২.২৯]। \vec{E} ও d \vec{S} এর মধ্যে কোণ হলো \theta । সুতরাং, d \vec{S} ক্ষেত্রের মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত তড়িৎ ফ্লাক্স,
\begin{aligned} d \varphi &=\vec{E} \cdot d \vec{S} \\ &=E d S \cos \theta \\ &=(E \cos \theta) d S=E_{n} d S \quad \ldots \end{aligned}এখানে E_{n}=E \cos \theta= তড়িৎ প্রাবল্যের অভিলম্ব উপাংশ।
এখন, সমগ্ৰ তলটি এরূপ ক্ষুদ্র ক্ষুদ্ৰ ক্ষেত্ৰ d \vec{S}এর সমষ্টি। সুতরাং সমগ্র S বদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত ফ্লাক্স হবে \varphi=\oint \vec{E} \cdot d \vec{S}
\oint প্রতীকটি সমগ্র বদ্ধ তলের জন্য সমাকলন বোঝায়।
ক্ষেত্র ভেক্টর (Area vector)
পদার্থবিজ্ঞানে বিভিন্ন ক্ষেত্রে কোনো পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলকে একটি ভেক্টর হিসেবে গণ্য করা হয়। ক্ষেত্র ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য দ্বারা তলটির ক্ষেত্রফলের মান সূচিত হয়। এবং ক্ষেত্র ভেক্টরটির অভিমুখ ধরা হয় তলটির লম্ব বরাবর।
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরা যাক s একটি বদ্ধ তল। এর ওপরে d \vec{S} একটি ক্ষুদ্র ক্ষেত্র। d S এর ওপর বদ্ধ তলের বাইরের দিকে একটি লম্ব টানা হলো। সুতরাং d \vec{S} হলো ক্ষেত্র ভেক্টর। অর্থাৎ ক্ষেত্র ভেক্টরের দিক তল থেকে তলের বাইরের দিকে ধরা হয়।
গাউসীয় তল (Gaussian surface) :
একটি চার্জের চারদিকে কল্পিত বদ্ধ তলকে গাউসীয় তল বলে।
গাউসের সূত্র (Gauss’s law) :
কোনো তড়িৎ ক্ষেত্রে অবস্থিত কোনো বদ্ধ কল্পিত তলের তড়িৎ ফ্লাক্স ওই তল দ্বারা বেষ্টিত মোট আধানের \frac{1}{\epsilon_{o}} গুণের সমান হবে।
অন্যভাবে কোনো তড়িৎ ক্ষেত্রে কোনো বদ্ধ কল্পিত তলের (গাউসীয় তলের) তড়িৎ ফ্লাক্সের \epsilon_{o} গুণ হবে ওই তল দ্বারা আবদ্ধ মোট তড়িতাধানের সমান। এখানে \epsilon_{o} হচ্ছে শূন্য স্থানের ভেদনযোগ্যতা।
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরা যাক, শূন্য মাধ্যমে কোনো বদ্ধ তলের ক্ষেত্রফল S এবং ওই তল দ্বারা আবদ্ধ মোট আধান q। সুতরাং গাউসের সূত্র অনুসারে,
\epsilon_{o} \varphi=q\epsilon_{o} \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=q
এখানে \epsilon_{o} হলো শূন্য স্থানের তড়িৎ ভেদনযোগ্যতা (permittivity)। অন্য কোনো মাধ্যমে গাউসীয় সূত্র হবে,
\epsilon \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=q এখানে \epsilon হলো ওই মাধ্যমের তড়িৎ ভেদনযোগ্যতা।
বি. দ্র. যদি গাউসীয় তলে কোনো আধান না থাকে অথবা সমসংখ্যক ঋণাত্মক ও ধনাত্মক আধান থাকে, তবে
\varphi=\oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=0 হবে.
গাউস (Gauss)
গাউস হলো চৌম্বক ক্ষেত্রের একক। অবশ্য এটি এস. আই. একক নয়। টেসলা (T) বা ওয়েবার / \text {মিটার}^2 হলো এস. আই. একক। 1 T=10^{4} gauss ।
কুলম্বের সূত্র হতে গাউসের সূত্র প্রতিপাদন (Derivation of Gauss’s law from Coulomb’s law)
ধরা যাক, O বিন্দুতে অবস্থিত +q পরিমাণ আধানকে ঘিরে S একটি বদ্ধ তল (গাউসীয় তল) [চিত্র]। ওই তলের ওপরে P বিন্দুকে ঘিরে d S একটি ক্ষুদ্র তল কল্পনা করা হলো। ধনাত্মক আধান +q এর জন্য তড়িৎ প্রাবল্য \vec{E} ব্যাসার্ধ O P বরাবর বহির্মুখী।
চিত্রের P বিন্দুতে একটি একক আধান স্থাপন করলে কুলম্বের সূত্র অনুযায়ী ওই বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য, E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{o} r^{2}} এর দিক ব্যাসার্ধ বরাবর বহির্মুখী।
এখন, d S তলে মোট তড়িৎ ফ্লাক্স,
d \varphi=\vec{E} \cdot d \vec{S}=E d S \cos \theta
বা, d \varphi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o} r^{2}} d S \cos \theta \quad
এখানে \theta হলো d \vec{S} ও \vec{E} এর মধ্যবর্তী কোণ।
বা, d \varphi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o}} \cdot \frac{d S \cos \theta}{r^{2}}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o}} d \omega
d \omega হচ্ছে d S ক্ষেত্ৰ তলের জন্য O বিন্দুতে ঘনকোণ।
সুতরাং, সমগ্র আবদ্ধ তল S-এর জন্য মোট ফ্লাক্স,
\begin{aligned} \varphi &=\oint d \varphi=\oint \vec{E} \cdot d \vec{S} \\ &=\oint \frac{q}{4 \pi \epsilon_{o}} d \omega=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o}} \oint d \omega \\ &=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o}} \omega=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o}} \times 4 \pi =\frac{q}{\epsilon_{o}} \end{aligned}এখানে \oint d \omega=\omega=4 \pi স্টেরেডিয়ান (Steradian) \omega হচ্ছে \circ বিন্দুতে সমগ্র তল দ্বারা উৎপন্ন মোট ঘনকোণ।
\varphi=\frac{q}{\epsilon_{o}}বা, \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=\frac{q}{\epsilon_{o}}
এই সমীকরণটিই হলো গাউসের সূত্র। ইহা চার্জ এবং ফ্লাক্সের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।
গাউসে সূত্র হতে কুলম্বের সূত্র প্রতিপাদন (Deduction of Coulomb’s law from Gauss’s law)
ধরা যাক, O বিন্দুতে স্থাপিত +q চার্জ হতে r দূরত্বে P একটি বিন্দু। এখন q-কে কেন্দ্র করে r ব্যাসার্ধের একটি গাউসীয় বদ্ধ তল বিবেচনা করা যায় [চিত্র]। প্রতিসাম্য বিবেচনায় বলা যায়, ধনাত্মক চার্জ +q এর জন্য P বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য \vec{E} ব্যাসার্ধ বরাবর বহির্মুখী। এই প্রাবল্য পাউসীয় তলের সঙ্গে অভিলম্ব এবং সর্বত্র ধ্রুবক। সুতরাং গাউসীয় তলের প্রতিটি বিন্দুতে d \vec{S} ও \vec{E} সমান্তরাল।
সুতরাং \vec{E} \cdot d \vec{S}=E d S \cos 0^{\circ}=E d S
অতএব, গাউসের সূত্রানুসারে মোট ফ্লাক্স,
\begin{aligned} \varphi &=\oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=\frac{q}{\epsilon_{o}} \\ &=E \oint d S \quad \quad[\because \text { গাউসীয় তলের সর্বোচ্চ } E \text {ধ্রুবক] }\\ &=E .4 \pi r^{2}=\frac{q}{\epsilon_{0}} \end{aligned}=E .4 \pi r^{2}=\frac{q}{\epsilon_{0}}
বা, E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o} r^{2}}
ধরা যাক, P বিন্দুতে একটি চার্জ q_{0} স্থাপন করা হলো। সুতরাং q_{0} চার্জের ওপর ক্রিয়াশীল বল,
\begin{array}{l} \mathrm{F}=q_{0} E \\ \mathrm{~F}=\frac{q q_{0}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \end{array}এটিই কুলম্বের সূত্র। সুতরাং কুলম্বের সূত্র গাউসের সূত্র হতে প্রতিপাদিত হলো।
তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রাবল্য নির্ণয়ে গাউসের সূত্রের ব্যবহার (Applications of Gauss’s law to determine the electric field intensity)
বিভিন্ন তড়িৎ ক্ষেত্রে প্রাবল্য নির্ণয়ে গাউসের সূত্র ব্যবহার করা হয়। নিম্নে কয়েকটি ক্ষেত্রে তা বর্ণনা করা হলো।
(ক) চার্জিত গোলকের দরুন তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (The electric field intensity due to the charged sphere)
R ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলক বিবেচনা করা যাক। গোলকে +q পরিমাণ চার্জ প্রদান করলে এই চার্জ সুষমভাবে গোলক পৃষ্ঠে ছড়িয়ে পড়বে। কোনো চার্জ গোলকের ভেতরে প্রবেশ করবে না। এখন গোলকের অভ্যন্তরে কোনো বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র নির্ণয়ের জন্য উক্ত বিন্দু দিয়ে r ব্যাসার্ধের একটা গোলকীয় গাউসীয় তল বিবেচনা করা যাক। প্রতিসাম্যের কারণে গাউসীয় তলের সর্বত্র তড়িৎ ক্ষেত্র E-এর মান সমান এবং দিক ব্যাসার্ধ বরাবর বহির্মুখী হবে। তবে গাউসীয় তল কোনো চার্জ ধারণ করবে না।
সুতরাং, গাউসের সূত্রানুসারে,
\begin{array}{c} \oint_{s} \vec{E} \cdot d \vec{a}=\oint_{s} E d a=E \oint d a \\ =E\left(4 \pi r^{2}\right)=0 \\ \therefore E=0 . . \end{array}
সুতরাং গোলকের অভ্যন্তরে অর্থাৎ r<R বিন্দুতে ক্ষেত্রের মান শূন্য।
আবার, r>R বিন্দুতে অর্থাৎ গোলকের বাইরে কোনো বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্ৰ নির্ণয়ের জন্য উক্ত বিন্দু দিয়ে r ব্যাসার্ধের গোলীয় গাউসীয় তল কল্পনা করা যাক [চিত্র]। তাহলে এই তল কর্তৃক আবদ্ধ চার্জের পরিমাণ হবে q।
আবার গাউসীয় তলের সর্বত্র তড়িৎ ক্ষেত্র \vec{E} সুষম মানসম্পন্ন হবে এবং ব্যাসার্ধ বরাবর বহির্মুখী ক্রিয়া করবে।
সুতরাং গাউসীয় সূত্রানুসারে পাই,
\oint_{s} \vec{E} \cdot d \vec{a}=E\left(4 \pi r^{2}\right)=\frac{q}{\epsilon_{o}}বা, E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o} r^{2}}
ভেক্টর আকারে লিখে পাই, \vec{E} =\frac{q}{4 \pi \epsilon_{o} r^{3}} \vec{r}
এই সমীকরণ হতে দেখা যায়, চার্জিত গোলকের দরুন বহিস্থ কোনো বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্রের রাশি বিন্দু চার্জের জন্য তড়িৎ ক্ষেত্রের রাশির অনুরূপ। সুতরাং বলা যায় যে, বহিস্থ কোনো বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্ৰ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে গোলকের চার্জ এমন আচরণ করে যে, প্রদত্ত চার্জ কেন্দ্রে কেন্দ্রীভূত থেকে বিন্দু চার্জের ন্যায় আচরণ করে। যদি গোলকের চার্জের তল ঘনত্ব হয় \sigma তবে \sigma=\frac{q}{4 \pi r^{2}} হবে। অতএব, \vec{E}=\frac{\sigma}{\epsilon_{o}} \hat{n}
ভেক্টর আকারে, E=\frac{\sigma}{\epsilon_{o}}
যেখানে \hat{n} হলো পৃষ্ঠের বহির্মুখী একক ভেক্টর।
(খ) চার্জিত একটা লম্বা চোঙের দরুন তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (Electric field intensity due to charged tube)
সুষমভাবে চার্জিত a ব্যাসার্ধের একটা লম্বা চোঙ বিবেচনা করা যাক যার প্রতি একক দৈর্ঘ্যের চার্জ \lambda। ধরা যাক, চোঙের অক্ষ থেকে r দূরে বহিস্থ কোনো বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্ৰ নির্ণয় করতে হবে।
চোঙের সাথে সমাক্ষে r ব্যাসার্ধ এবং L দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি চোঙ বিবেচনা করা যাক। এভাবে গঠিত চোঙকে গাউসীয় চোঙ বলে। চার্জিত চোঙটি খুবই দীর্ঘ বলে এর দুই প্রান্তের প্রভাব অগ্রাহ্য করা যায়। তাহলে প্রতিসাম্য গুণাবলির কারণে গাউসীয় চোঙের সর্বত্র তড়িৎ ক্ষেত্র \vec{E}-এর মান সমান এবং দিক ব্যাসার্ধ বরাবর বহির্মুখী হবে। গাউসীয় তলে বিবেচিত কোনো ক্ষুদ্র ক্ষেত্র d \vec{a} -এর দিকও ব্যাসার্ধ বরাবর বহির্মুখী হবে [চিত্র]। গাউসীয় তল কর্তৃক চার্জের পরিমাণ q= \lambda L হবে। এখানে \lambda = প্রতি একক দৈর্ঘ্যে চার্জের পরিমাণ।
এখন গাউসের সূত্রানুসারে পাই,
\oint_{s} \vec{E} \cdot d \vec{a}=\oint_{s} E d a \frac{q}{\epsilon_{o}}বা, E(2 \pi r L)=\frac{\lambda L}{\epsilon_{o}}
\therefore \quad E=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{o} r}
এটিই নির্ণেয় তড়িৎ ক্ষেত্র। ভেক্টর আকারে প্রকাশ করে পাই,
\vec{E}=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{o}} \frac{\vec{r}}{r^{2}}
(গ) অসীম দৈর্ঘ্যের চার্জিত রেখার জন্য তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (The electric field intensity for a charge line of infinite length)
সুষমভাবে চার্জিত অসীম দৈর্ঘ্যের একটি তার অথবা চার্জ রেখা বিবেচনা করা যাক যার চার্জ ঘনত্ব বা একক দৈর্ঘ্যের চার্জ \lambda
চার্জ রেখা হতে r দূরত্বে কোনো বিন্দু P বিবেচনা করা যাক [চিত্র]। P বিন্দুর তড়িৎ ক্ষেত্র E নির্ণয় করতে হবে। চার্জ রেখাকে অক্ষ করে l দৈর্ঘ্য এবং e ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি গাউসীয় চোঙ কল্পনা করা যাক। তাহলে P বিন্দু চোঙের বক্রতলে অবস্থান করবে। এই বক্রতলের সকল বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র \vec{E}–এর মান সমান এবং অভিমুখ বক্রতলের অভিলম্ব বরাবর বহির্মুখী।
সুতরাং p বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র \vec{E} এবং ক্ষেত্র ভেক্টর d \vec{a} সমমুখী। কাজেই গাউসের সূত্রানুসারে পাই,
\epsilon_{o} \oint \vec{E} \cdot d \vec{a}=\epsilon_{o} \oint E d a=\lambda lবা, \epsilon_{o} E(2 \pi r l)=\lambda l
\therefore \quad E=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{o} r}গাউসীয় চোঙের দুই বৃত্তাকার তলের অভিলম্বের সাথে E সমকোণে ক্রিয়া করে। কাজেই, উভয় বক্রতলের জন্য \epsilon_{o} \oint \vec{E} \cdot d \vec{a}=0। অতএব, নির্ণেয় তড়িৎ ক্ষেত্র,
E=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{o} r}(ঘ) চার্জিত সমতল পরিবাহীর সন্নিকটে তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (The electric field is predominant near the charged plane conductor)
মনে করি, A B একটি চার্জিত সমতল পৃষ্ঠ। এর চার্জের তল ঘনত্ব \sigma। এই চার্জের দরুন নিকটবর্তী কোনো বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র E নির্ণয় করতে হবে।
সমতল পৃষ্ঠের উভয় দিকে দুটি বিন্দু C ও D বিবেচনা করি এবং এই দুই বিন্দু দিয়ে d a প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট একটি চোঙ কল্পনা করি। [চিত্র]। এখন C বিন্দুতে d a ক্ষেত্রের ওপর অভিলম্ব আবেশ হবে E d a এবং এটা বহির্মুখী। অনুরূপভাবে D বিন্দুতে d a ক্ষেত্রের ওপর অভিলম্ব আবেশ E d a এবং এটা বহির্মুখী হবে। আবার চোঙের বক্রপৃষ্ঠে অভিলম্ব আবেশ \int \overrightarrow{E .} d \vec{a}=। অতএব কাল্পনিক চোঙের ওপর মোট অভিলম্ব আবেশ = E d a+E d a=2 E d a এবং এর দিক বহির্মুখী।
গাউসের সূত্রানুসারে পাই,
\oint \vec{E} \cdot d \vec{a}=\frac{q}{\epsilon_{o}}E d a+E d a=\frac{\sigma d a}{\epsilon_{o}} \quad[\therefore \quad q=\sigma d a]
সুতরাং মোট অভিলম্ব আবেশ,
2 E d a=\frac{\sigma d a}{2 \epsilon_{o}}
ভেক্টর আকারে লিখে পাই,
\vec{E}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{o}} \hat{n}
যখন \hat{n} প্রদত্ত সমতলের ওপর বহির্মূখী লম্ব একক ভেক্টর। প্রাবল্যের ভেক্টর সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, চার্জিত সমতলের জন্য তড়িৎ ক্ষেত্রে দূরত্ব নিরপেক্ষ হয়।
(ঙ) দুটি চার্জিত সমান্তরাল পাতের দরুন তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (The electric field prevails due to two charged parallel sheets)
ধরা যাক, M ও N দুটি চার্জিত সমান্তরাল পরিবাহী [চিত্র]। M পাত ধনচার্জে এবং N পাত ঋণচার্জে একই তল ঘনত্বে চার্জিত। এদের উভয়ের চার্জের তল ঘনত্ব । পাতদ্বয়ের মধ্যবর্তী স্থানে কোনো বিন্দু P-এর তড়িৎ ক্ষেত্র \vec{E} নির্ণয় করতে হবে।
এখন M পাতের জন্য P বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্রের মান হবে \mathrm{E}_{1}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{o}} এবং এর দিক হবে MN বরাবর। আবার N পাতের জন্য P বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্রের মান \mathrm{E}_{2}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{o}} হবে এবং N পাত ঋণচার্জে চার্জিত বলে E_{2}–এর দিক MN বরাবর হবে। অতএব, P বিন্দুতে মোট তড়িৎ ক্ষেত্রের মান হবে,
তড়িৎ ক্ষেত্রের দিক হবে M পাত হতে N পাতের দিকে অর্থাৎ ধনচার্জ হতে ঋণচার্জের দিকে। পাতদ্বয়ের বাইরে কোনো বিন্দু Q-তে M ও N পাতের দরুন তড়িৎ ক্ষেত্রের মান যথাক্রমে E_{1}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{o}} এবং E_{2}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{o}} হবে। কিন্তু এরা পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করায় লব্ধি ক্ষেত্র শূন্য হবে। এর অর্থ হলো পাতদ্বয়ের বাইরে কোনো তড়িৎ ক্ষেত্র থাকবে না।
কুলম্বের সূত্রের সীমাবদ্ধতা (Limitations of Coulomb’s law)
- কুলম্বের সূত্র কেবলমাত্র বিন্দু চার্জের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য; অনিয়মিত আকৃতির চার্জিত বস্তুর ক্ষেত্রে এ সূত্র প্রয়োগ করা যায় না। কেননা ওই সমস্ত বস্তুর কেন্দ্র সঠিকভাবে নির্ণয় করা যায় না।
- চার্জযুক্ত বস্তু যাদের আকার এদের মধ্যকার দূরত্বের চেয়ে অনেক ছোট, সেই সমস্ত চার্জিত বস্তুর ক্ষেত্রে কুলম্বের সূত্র প্রযোজ্য। চার্জিত বস্তু বড় হলে তড়িৎ বলের ওপর মহাকর্ষ বলের প্রভাব পড়বে।
- কুলম্বের সূত্র স্থির চার্জ বা চার্জ বিন্যাসের জন্য প্রযোজ্য। গতিশীল চার্জের ক্ষেত্রে সঠিকভাবে প্রয়োগ করা যায় না।
- যখন চার্জিত কণাসমূহের বেগ আলোর বেগের কাছাকাছি হয়, তখন ওই কণাসমূহের মধ্যে বিদ্যমান পারস্পরিক তড়িৎ চুম্বকীয় মিথস্ক্রিয়া কুলম্বের সূত্র দ্বারা ব্যাখ্যা করা সম্ভব নয়।
- সদৃশ চার্জ (যেমন গোলাকার চার্জ) বিন্যাসের ক্ষেত্রে কুলম্বের সূত্র প্রয়োগ করা দুরূহ।