বলের সূত্রাবলি (Laws of Force)

বলের ত্রিভুজ সূত্রের বিপরীত উপপাদ্য (Converse law of triangle law of forces) 

বর্ণনা (statement): কোনো বিন্দুতে ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকলে তাদের মান ও দিক একইক্রমে গৃহীত কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা সূচিত করা যাবে। 

প্রমাণ (Proof): মনে করি, O বিন্দুতে OX, OY, OZ বরাবর ক্রিয়ারত তিনটি বল P, Q ও R সাম্যাবস্থায় আছে। 

OX ও OY থেকে কোনো নির্দিষ্ট এককের পরিমাপে যথাক্রমে OA এবং OB অংশ কটে নিই যেন উহারা P ও Q বলদ্বয়কে (মানে ও দিকে) সূচিত করে। OACB সামান্তরিকটি অঙ্কন করে CO যোগ করি। 

যেহেতু P, Q ও R বল তিনটি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে, সুতরাং R বলটি P ও Q এর লব্ধির সমান ও বিপরীতমুখী হবে। 

অর্থাৎ R বলটি মানে ও দিকে CO দ্বারা সূচিত হবে। আবার OB∥AC হওয়ায় Q বলটি মানে ও দিকে AC দ্বারা সূচিত হবে।

অতএব P, Q ও R বল তিনটি মানে ও দিকে OAC ত্রিভুজের একই ক্রমে তিনটি বাহু যথাক্রমে OA, AC ও CO দ্বারা সূচিত হল। 

বিকল্প প্রমাণ (ভেক্টর পদ্ধতি) (Alternative way of proof (vector method)):

মনে করি, O বিন্দুতে OX, OY, OZ বরাবর ক্রিয়ারত তিনটি বল P, Q ও R সাম্যাবস্থায় আছে। 

OX ও OY থেকে কোনো নির্দিষ্ট এককের পরিমাপে যথাক্রমে OA এবং OB অংশ কটে নিই যেন উহারা P ও Q বলদ্বয়কে (মানে ও দিকে) সূচিত করে। OACB সামান্তরিকটি সম্পূর্ণ করে CO যোগ করি। 

\therefore \overrightarrow{O A}=P এবং \overrightarrow{O B}=Q

আবার, O B \| A C এবং O B=A C \quad \therefore \overrightarrow{A C}=Q

এখন, P+Q=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}   [সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে]

যেহেতু বল তিনটি সাম্যাবস্থায় রয়েছে 

\therefore P+Q+R=0  বা, \overrightarrow{O C}+R=0 বা, R=-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{C O}

∴ P, Q এবং R বলত্রয়কে OAC ত্রিভুজের OA, AC ও CO বাহু দ্বারা মানে, দিকে ও একইক্রমে সূচিত করা যায়।

বলের লম্বত্রিভুজ সূত্র (Perpendicular triangle law of forces)

বর্ণনা (statement): কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বলের মান যদি কোনো ত্রিভুজের একই ক্রমে গৃহীত তিনটি বাহুর সমানুপাতিক এবং দিক আনুষঙ্গিক বাহু সমূহের উপর লম্ব (সকল বলের দিক হয় বহির্মুখী অথবা অন্তর্মুখী) হয়, তবে বলগুলি ভারসাম্য সৃষ্টি করবে।

প্রয়োগ বিন্দুকে স্থির রেখে সবগুলি বলকে একই সাথে এক সমকোণে \left(90^{\circ}\right) আবর্তন করলে, বল তিনটি একটি ত্রিভুজের একই ক্রমে গৃহীত বাহুত্রয় দ্বারা সূচিত হয়। সুতরাং বলের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে বলগুলি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে।

সাম্যাবস্থায় লামির উপপাদ্য (Lami’s Theorem of Equilibrium)

বর্ণনা (statement): কোনো বিন্দুতে ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে, তাদের প্রত্যেকটি বলের মান অপর দুইটি বলের ক্রিয়ারেখার অন্তর্গত কোণের সাইনের সমানুপাতিক। 

প্রমাণ: ভেক্টর পদ্ধতি (Proof: Vector method): মনে করি, O বিন্দুতে যথাক্রমে OX, OY ও OZ বরাবর ক্রিয়ারত P, Q ও R সমতলীয় বল তিনটি সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, 

\frac{P}{\sin Y O Z}=\frac{Q}{\sin Z O X}=\frac{R}{\sin X O Y}

যেহেতু বল তিনটি সাম্যাবস্থায় রয়েছে, কাজেই-

P+Q+R=0

বা, \mathrm{R} \times(P+Q+R)=0 [উভয় পক্ষে R দ্বারা ভেক্টর গুণন করে] \ldots(i)

বা, \mathrm{R} \times P+R \times Q+R \times R=0

বা, \mathrm{R} \times P-Q \times R=0 \quad[\because R \times R=0 এবং R \times Q=-Q \times R]

বা, |R \times P|=|Q \times R|

বা, |R P \sin Z O X \hat{n}|=|Q R \sin Y O Z \hat{n}|    [এখানে \hat{n} বলগুলির অবস্থানকারী সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর]

বা, R P \sin Z O X=Q R \sin Y O Z

বা, P \sin Z O X=Q \sin Y O Z

\therefore \frac{P}{\sin Y O Z}=\frac{Q}{\sin Z O X} \quad \ldots \ldots (ii)

অনুরূপভাবে (i) নং কে P দ্বারা ভেক্টর গুনন করে পাওয়া যায়, 

\frac{Q}{\sin Z O X}=\frac{R}{\sin X O Y} \quad \ldots \ldots (i i i)

(ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই, 

\frac{P}{\sin Y O Z}=\frac{Q}{\sin Z O X}=\frac{R}{\sin X O Y}

অর্থাৎ প্রত্যেকটি বলের মান অপর বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার অন্তর্গত কোণের সাইনের সমানুপাতিক। 

বিকল্প প্রমাণ (জ্যামিতিক পদ্ধতি) (Alternative proof (Geometric method))

মনে করি, O বিন্দুতে সমতলীয় P, Q ও R মানের বল তিনটি যথাক্রমে OX, OY ও OZ বরাবর ক্রিয়াশীল হয়ে সাম্যাবস্থায় আছে। 

প্রমাণ করতে হবে যে,  \frac{P}{\sin Y O Z}=\frac{Q}{\sin Z O X}=\frac{R}{\sin X O Y}

 

OX ও OY থেকে নির্দিষ্ট এককের পরিমাপে OA এবং OB রেখাংশ কেটে নেই যেন এরা যথাক্রমে P ও Q বলদ্বয়ের মান ও দিক সূচিত করে। OACB সামান্তরিকটি পূর্ণ করি। O, C যোগ করি। বলের সামান্তরিক সূত্র অনুসারে OC কর্ণ দ্বারা P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক সূচিত করা হয়। যেহেতু P, Q ও R সাম্যাবস্থায় থাকে কাজেই R বলটি অবশ্যই P ও Q বলদ্বয়ের  সমান ও বিপরীতমুখী হবে। অর্থাৎ CO রেখাংশ দ্বারা R বলের মান ও দিক নির্দেশ করবে। আবার OACB সামান্তরিক বলে A C=O B=Q

যেহেতু, একই বিন্দু O তে ক্রিয়ারত P, Q ও R বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে। সুতরাং চিত্রানুসারে, OAC ত্রিভুজের OA, AC এবং CO বাহু দ্বারা বল তিনটিকে মানে ও দিকে সূচিত করা যাবে।

লামির উপপাদ্যের বিপরীত প্রতিজ্ঞা (Converse of Lami’s Theorem) 

বর্ণনা (Statement): কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় বলের প্রত্যেকটির মান অপর দুইটির অন্তর্গত কোণের সাইনের  সমানুপাতিক হলে এবং কোনটিই অপর দুইটির লব্ধির সমান না হলে, বলগুলি সাম্যবস্থায় থাকবে।

প্রমাণ (Proof): মনে করি, P, Q ও R তিনটি সমতলীয় বল O বিন্দুতে যথাক্রমে OX, OY এবং OZ বরাবর ক্রিয়া করে যেন 

\frac{P}{\sin Y O Z}=\frac{Q}{\sin Z O X}=\frac{R}{\sin X O Y} \cdots \cdots \cdots(i)

প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে। 

এখন নির্দিষ্ট পরিমাপে, OX হতে OA অংশ কেটে নিই যেন OA দ্বারা মানে ও দিকে P বলটি সূচিত হয়। ZO কে এরূপে C বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন AC কে C তে ছেদ করে এবং \mathrm{AC} \| O B হয়। OACB সামান্তরিক গঠন করি।

\triangle O A C হতে পাই, \frac{O A}{\sin O C A}=\frac{A C}{\sin C O A}=\frac{C O}{\sin O A C}

বা, \frac{O A}{\sin C O Y}=\frac{A C}{\sin (\pi-Z O X)}=\frac{C O}{\sin (\pi-C A X)}

বা, \frac{O A}{\sin (\pi-Y O Z)}=\frac{A C}{\sin Z O X}=\frac{C O}{\sin C A X}

বা, \frac{O A}{\sin Y O Z}=\frac{A C}{\sin Z O X}=\frac{C O}{\sin X O Y} \quad \ldots \ldots (ii)

(i) ও (ii) হতে পাই, \frac{P}{O A}=\frac{Q}{A C}=\frac{R}{C O} \quad \ldots \ldots (i i i)

কিন্তু OA রেখাংশ মান ও দিকে P বল সূচিত করে, অর্থাৎ P=O A

তাহলে (iii) হতে পাই, Q=A C এবং R=C O

সুতরাং একই বিন্দু O তে ক্রিয়ারত তিনটি বল মানে ও দিকে OAC ত্রিভুজের একই ক্রমের OA, AC এবং CO বাহু দ্বারা সূচিত হয়েছে। অতএব বলের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকবে। 

আবার লামির উপপাদ্য অনুসারে, \frac{P}{\sin Y O Z}=\frac{Q}{\sin Z O X}=\frac{R}{\sin X O Y}

বা, \frac{P}{\sin (\pi-B O C)}=\frac{Q}{\sin (\pi-A O C)}=\frac{R}{\sin (\pi-O A C)}

বা, \frac{P}{\sin B O C}=\frac{Q}{\sin A O C}=\frac{R}{\sin O A C}

বা, \frac{P}{\sin O C A}=\frac{Q}{\sin A O C}=\frac{R}{\sin O A C}

\therefore \frac{P}{O A}=\frac{Q}{A C}=\frac{R}{C O} \quad\left[\because \frac{O A}{\sin O C A}=\frac{A C}{\sin A O C}=\frac{O C}{\sin O A C}\right]

অনুরূপভাবে \angle O A C=90^{\circ}-B, বলের সাইনের সূত্র হতে পাই,

\frac{A B}{\sin O A C}=\frac{A C}{\sin O A B}  বা, \frac{A B}{\sin \left(90^{\circ}-B\right)}=\frac{A C}{\sin \left(90^{\circ}-C\right)}  বা, \frac{A B}{\cos B}=\frac{A C}{\cos C} \quad  \ldots \ldots (i)

আবার, ত্রিকোণমিতির ত্রিভুজের গুণাবলী হতে পাই,

\frac{A B}{\sin C}=\frac{A C}{\sin B} \quad \ldots \ldots (ii)

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\frac{\sin C}{\cos \mathrm{B}}=\frac{\sin B}{\cos C}  

বা, \sin B \cos B=\sin C \cos C 

বা, 2 \sin B \cos B=2 \sin C \cos C

বা, \sin 2 B=\sin 2 C 

বা, \sin 2 B=\sin \left(180^{\circ}-2 C\right) 

বা, 2 B=180^{\circ}-2 C

या, B=90^{\circ}-C

 বা, B+C=90^{\circ}

∴ ABC ত্রিভুজটি সমকোণী বা সমদ্বিবাহু।

সমতলীয় বলজোটের সাম্যাবস্থার শর্ত (Condition of Equilibrium of Coplanar Forces)

উপপাদ্য – 1 (Theorem – 1): কোনো জড়বস্তুর ওপর কার্যরত তিনটি সমতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে এরা হয় সমবিন্দু হবে অথবা পরস্পর সমান্তরাল হবে।

মনে করি P, Q, R বল তিনটি সাম্যাবস্থায় রয়েছে। এদের যে কোন দুইটি বল P ও Q হয় সমবিন্দু হবে অথবা পরস্পর সমান্তরাল হবে।

প্রথম ক্ষেত্রে (In the first case): মনে করি, P ও Q বলদ্বয়ের ক্রিয়া বিন্দু O, বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে এদের লব্ধি O বিন্দু দিয়ে যাবে। প্রদত্ত বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে উক্ত বলদ্বয়ের লব্ধি তৃতীয় বল R এর সমান ও বিপরীতমুখী হবে। সুতরাং তৃতীয় বল R এর ক্রিয়া রেখা ও P ও Q বলদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী হবে। সুতরাং P, Q, R বল তিনটি সমবিন্দুগামী।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (In the second case): P ও Q বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখা পরস্পর সমান্তরাল। সমান্তরাল বলের সূত্রানুসারে এদের লব্ধিও P ও Q বলের সমান্তরাল হবে। যেহেতু বলগুলি সাম্যাবস্থায় আছে কাজেই P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি তৃতীয় বল R এর সমান এবং একই রেখায় বিপরীতমুখী হবে। সুতরাং এক্ষেত্রে R বলের ক্রিয়ারেখা P ও Q বল দুইটির সমান্তরাল হবে।

∴ কোনো জড় বস্তুর ওপর কার্যরত তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকলে এরা হয় সমবিন্দু হবে অথবা পরস্পর সমান্তরাল হবে।

কোনো জড় বস্তুর ভারসাম্য সম্বলিত প্রশ্ন সমাধানের জন্য সাম্যাবস্থার সাধারণ শর্তাবলী ছাড়াও নিম্নবর্ণিত বিষয়গুলি বিশেষভাবে স্মরণযোগ্য:

ⅰ. সঠিক জ্যামিতিক চিত্র বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে খুবই গুরুত্বপূর্ণ। অংকিত চিত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য, কোণ ইত্যাদি জ্যামিতিক সম্পর্কীয় সমীকরণগুলি বিশেষ প্রয়োজনীয়। ত্রিকোণমিতিক cot সূত্রের ব্যবহার কোনো কোনো ক্ষেত্রে অপরিহার্য।

ত্রিকোণমিতিক cot সূত্র 

(a) (m+n) \cot \theta=m \cot \alpha-n \cot \beta

(b) (m+n) \cot \theta=n \cot A-m \cot B

ⅱ. সুস্থিত এক বিন্দুগামী বলের ক্ষেত্রে সমস্যা সমাধানের জন্য ক্ষেত্রবিশেষে লামির সূত্র, বলত্রিভুজ সূত্র, বলত্রিভুজের সূত্রের বিপরীত সূত্র ব্যবহৃত হয়। বলগুলি যদি অসমান্তরাল ও সাম্যাবস্থায় থাকে তবে বলদ্বয়ের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান ও বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল হবে।

ⅲ. বলগুলির ক্রিয়ারেখা যদি সমান্তরাল না হয় তবে সাম্যবস্থায় নিমিত্তে এরা অবশ্যই কোনো সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হবে।

ⅳ. সংস্পর্শজনিত সৃষ্ট ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া সব সময় সমান ও বিপরীতমুখী হবে।

ⅴ. সম্পূর্ণ মসৃণ তলের প্রতিক্রিয়া তলের উপর লম্বভাবে ক্রিয়া করে।

ⅵ. কোনো সমরূপ দণ্ডের ওজন দন্ডটির মধ্যবিন্দুতে ক্রিয়া করে যা ঐ দন্ডের ভারকেন্দ্র।

 

জড়বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল সমান্তরাল বলের লব্ধি (Resultant of Parallel forces acting on a rigid body)

সমান্তরাল, সদৃশ সমান্তরাল ও অসদৃশ সমান্তরাল বল (Parallel, like Parallel and Unlike Parallel Forces)

• দুই বা ততোধিক বলের ক্রিয়ারেখাগুলি সমান্তরাল হলে বলগুলিকে সমান্তরাল বল বলা হয়। 
• দুইটি সমান্তরাল বলের দিক একই হলে বল দুইটিকে সদৃশ সমান্তরাল বলা হয়।
• দুইটি সমান্তরাল বলের দিক বিপরীতমুখী হলে বল দুইটিকে অসদৃশ সমান্তরাল বল বলা হয়।

সমান্তরাল বলের চিত্র (এখানে P,Q,R,S ও T বলগুলি সমান্তরাল)	সদৃশ সমান্তরাল বলের চিত্র (এখানে P ও Q সদৃশ সমান্তরাল)
অসদৃশ সমান্তরাল বলের চিত্র (এখানে P ও Q অসদৃশ সমান্তরাল)	অসমান্তরাল বলের চিত্র (এখানে P,Q ও R বলত্রয় অসমান্তরাল)