বল সংযোজন, বলের লম্বাংশ ও বলজোটের সাম্যাবস্থা

বল সংযোজনের ত্রিভুজসূত্র (Triangle law of forces of composition)  

বর্ণনা (Statement): একই বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি বলের মান ও দিক কোনো ত্রিভুজের একই ক্রমে গৃহীত দুইটি বাহু দ্বারা সূচিত হলে, বল দুইটির লব্ধির মান ও দিক ত্রিভুজটির বিপরীত ক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু দ্বারা সূচিত হবে। 

প্রমাণ (Proof): মনে করি, একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুইটি বল P ও Q এর মান ও দিক যথাক্রমে OAB ত্রিভুজের OA ও AB বাহু দ্বারা সূচিত। OB কে কর্ণ ধরে, OABC সামান্তরিক অঙ্কন করি।

যেহেতু, AB∥OC, সুতরাং OC বাহু দ্বারা সূচিত বলটিও Q হবে। এখন বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে OA ও OC বাহু দুইটি দ্বারা সূচিত বলদ্বয়ের লব্ধি সামান্তরিকের কর্ণ OB দ্বারা সূচিত হবে।

ভেক্টরের সাহায্যে পাই, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}  বা, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}

বল সংযোজনের বহুভুজ সূত্র (Polygon law of forces of composition) 

বর্ণনা (Statement): একই বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত (n-1) সংখ্যক বলের মান ও দিক কোনো n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের একই ক্রমে গৃহীত (n-1) সংখ্যক বাহু দ্বারা সূচিত হলে, বলগুলির লব্ধির মান ও দিক ঐ বহুভুজের বিপরীতক্রমে গৃহীত অবশিষ্ট n তম বাহু দ্বারা সূচিত হবে।

প্রমাণ (Proof): মনে করি, একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল পাঁচটি বলের মান ও দিক যথাক্রমে OABCDE ষড়ভুজের একই ক্রমে গৃহীত OA, AB, BC, CD, DE বাহুগুলি দ্বারা সূচিত।

এখন বল সংযোজনের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, \triangle O A B হতে পাই, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B} \ldots \ldots (i)

এবং \triangle O B C হতে পাই, \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C} \ldots \ldots (ii)

(i) ও (ii) হতে পাই, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{B C} বা, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}

একইভাবে ত্রিভুজ সূত্রটি প্রয়োগ করলেই পাই, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{O E}

অর্থাৎ ষড়ভুজের একই ক্রমে গৃহীত পাঁচটি বাহু দ্বারা বলগুলি সূচিত হলে, বলগুলির লব্ধির মান ও দিক ষড়ভুজটির বিপরীতক্রমে গৃহীত অবশিষ্ট ষষ্ঠতম বাহু দ্বারা সূচিত হয়।

কাজ: এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত P ও Q দুইটি বল, এদের লব্ধি R বলের উভয় দিকে পরস্পর 30^{\circ} ও 60^{\circ} কোণে আনত। বলদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় কর।

বলের লম্বাংশ (Resolved parts of forces)

কোন নির্দিষ্ট বল বলতে যদি পরস্পর লম্ব দুটি রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল দুটি বলের অংশে বিভক্ত করা হয় তবে অংশ দুটির প্রতিটি ঐ নির্দিষ্ট বলের লম্বাংশ। 

মনে করি, OX ও OY পরস্পর দুইটি লম্ব সরলরেখা এবং OX এর সাথে \alpha কোণে আনত একটি সরলরেখা OC, যা একটি নির্দিষ্ট বল F- কে সূচিত করে। এখানে OX বা OX‘ হল অনুভূমিক রেখা এবং OY হল উলম্ব রেখা। C থেকে OX (বা OX‘) এর উপর CA এবং OY এর উপর CB লম্ব আঁকি। তাহলে OACB একটি আয়তক্ষেত্র উৎপন্ন হয়। সুতরাং বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে F বলের লম্বাংশদ্বয় যথাক্রমে OA এবং OB দ্বারা সূচিত হবে।

১ম চিত্রানুসারে, \cos C O A=\frac{O A}{O C}

বা, O A=O C \cos \alpha=F \cos \alpha

সুতরাং X- অক্ষের সাথে \alpha  কোণে আনত বলের লম্বাংশদ্বয় যথাক্রমে F \cos \alpha ও F \sin \alpha^{\prime}

২য় চিত্রানুসারে, \cos C O A=\frac{O A}{O C}

বা, O A=O C \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-F \cos \alpha

সুতরাং X‘– অক্ষের (X-অক্ষের ঋণাত্মক দিক) সাথে 180^{\circ}-\alpha কোণে আনত বলের লম্বাংশদ্বয় যথাক্রমে -F \cos \alpha ও F \sin \alpha

লম্বাংশের উপপাদ্য (Theorem on Resolved parts)

বর্ণনা (Statement): কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের কোনো নির্দিষ্ট দিকের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি ঐ বলদ্বয়ের লব্ধির একই দিকে লম্বাংশের সমান।

প্রমাণ (Proof): মনে করি, O বিন্দুতে ক্রিয়ারত P ও Q বল দুইটি যথাক্রমে OA এবং OB দ্বারা সূচিত। তাহলে OACB সামান্তরিকের কর্ণ OC দ্বারা উক্ত বলদ্বয়ের লব্ধি R সূচিত হবে।

ধরি, OX রেখাটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশ করে, অর্থাৎ OX বরাবর বলগুলির লম্বাংশ নির্ণয় করতে হবে। 

A, B ও C বিন্দু থেকে OX বা OX’ (২য় চিত্রে) এর ওপর যথাক্রমে AL, BM ও CN লম্ব অঙ্কন করি। তাহলে OX বরাবর P, Q এবং R বলের লম্বাংশ যথাক্রমে OL, OM এবং ON হবে।

প্রমাণ করতে হবে যে, OL + OM = ON

এখন A হতে CN এর উপর AE লম্ব সংকন করি।

\triangle A C E ও \triangle O B M সর্বসম। কারণ \triangle A C E ও \triangle O B M সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে AC = OB সামান্তরিকের বিপরীতবাহু বলে, অনুরূপ কোণ \angle B O M=\angle C A E . \quad \therefore O M=A E=L N

১ম চিত্রে, OX বরাবর সকল লম্বাংশগুলিই ধনাত্মক কিন্তু ২য় চিত্রে, Q এর লম্বাংশ ঋণাত্মক যা ‘-OM’ এর সমান। সুতরাং ১ম চিত্রানুসারে, OX বরাবর P ও Q বলের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি =O L+O M=O L+L N=O N, যা, OX বরাবর লব্ধি R এর লম্বাংশ।

২য় চিত্রানুসারে, OX বরাবর P ও Q বলের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি =O L-O M=O L-L N=O N, যা OX বরাবর লব্ধি R এর লম্বাংশ। 

অতএব কোনো নির্দিষ্ট দিকে দুইটি বলের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি ঐ একই দিকে তাদের লব্ধির লম্বাংশের সমান।

দ্রষ্টব্য (Note): (i) যদি P, Q ও তাদের লব্ধি R, OX এর সাথে যথাক্রমে \alpha, \beta ও \theta কোণ উৎপন্ন করে তবে উপরোক্ত সূত্রানুসারে, P \cos \alpha+Q \cos \beta=R \cos \theta পাওয়া যাবে। 

(ii) একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুই এর অধিক সংখ্যক একতলীয় বলের ক্ষেত্রেও এই উপপাদ্যটি সত্য। 

বিশেষ দ্রষ্টব্য (Special Note): P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি  R, P বলের উপর লম্ব হলে, R=\sqrt{Q^{2}-P^{2}} এবং বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \cos ^{-1}\left(\frac{-P}{Q}\right) ; যেখানে P<Q

প্রমাণ (Proof): 

মনে করি, P ও Q বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \alpha । P ও R এর অন্তর্গত কোণ 90^{\circ}।

P বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,  

P \cos 0^{\circ}+Q \cos \alpha=R \cos 90^{0} বা, P+Q \cos \alpha=0 বা, \cos \alpha=-\frac{P}{Q} \therefore \alpha=\cos ^{-1}\left(-\frac{P}{Q}\right)

এবং লব্ধি R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha}=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P(-P)}

=\sqrt{P^{2}+Q^{2}-2 P^{2}=} \sqrt{Q^{2}-P^{2}}

বলজোটের লব্ধি (Resultant of a system of forces)

লম্বাংশের সাহায্যে সমতলীয় বলজোটের লব্ধি নির্ণয় 

মনে করি, O নির্দিষ্ট বিন্দু এবং OX নির্দিষ্ট রেখা। এখন O X \perp O Y অঙ্কন করি।

ধরি, O বিন্দুতে ক্রিয়ারত P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots \ldots সমতলীয় বলগুলি যথাক্রমে \mathrm{OA}_{1}, \mathrm{OA}_{2}, \mathrm{OA}_{3}, \ldots \ldots \ldots রেখা দ্বারা সূচিত এবং OX এর সাথে যথাক্রমে \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots \ldots কোণ উৎপন্ন করে। 

মনে করি বলগুলির লব্ধি R, OA দ্বারা সূচিত এবং OX এর সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে।

যেহেতু কোন নির্দিষ্ট দিকে কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত যে কোন সংখ্যক একতলীয় বলের লম্বাংশ সমূহের বীজগাণিতিক সমষ্টি ঐ একই দিকে তাদের লব্ধির লম্বাংশের সমান। অতএব OX ও OY বরাবর বলগুলির লম্বাংশ নিয়ে পাই, 

R \cos \theta=P_{1} \cos \alpha_{1}+P_{2} \cos \alpha_{2}+P_{3} \cos \alpha_{3}+\ldots \ldots \ldots=X  (ধরি)

R \sin \theta=P_{1} \sin \alpha_{1}+P_{2} \sin \alpha_{2}+P_{3} \sin \alpha_{3}+\ldots \ldots \ldots=Y  (ধরি)

তাহলে, X^{2}+Y^{2}=R^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)  [বর্গ করার পর যোগ করে]

বা, R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}  এবং \frac{Y}{X}=\tan \theta   [ভাগ করে]

বা, \theta=\tan ^{-1} \frac{Y}{X} 

এখানে R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}} দ্বারা লব্ধির মান এবং \theta=\tan ^{-1} \frac{Y}{X} দ্বারা লব্ধির দিক পাওয়া যায়।

বলজোটের সাম্যাবস্থা (Equilibrium of a system of forces)  

যখন দুই বা ততোধিক বল কোনো বস্তুর উপর কার্যরত হয়ে একে অপরকে নিষ্ক্রিয় করে এবং যার ফলে ঐ বলগুলির লব্ধি বলের মান শূন্য হয় এমতাবস্থায় বস্তুটি কোনো গতিপ্রাপ্ত হবে না। অর্থাৎ বস্তুটি পূর্বের ন্যায় স্থির থাকবে। এক্ষেত্রে বলগুলির অবস্থাকে সাম্যাবস্থা বলে। এটি উল্লেখ করা প্রয়োজন যে, যদি প্রদত্ত বলগুলির একটি বল অবশিষ্ট বলগুলির লব্ধির সমান ও বিপরীতমুখী হয়, তবে এর সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করবে। কাজেই সমবিন্দু বলের সাম্যাবস্থার মূলতত্ত্ব হলো “সুস্থিত বলসমূহের লব্ধির মান শূন্য”। সুতরাং কিছুসংখ্যক সমবিন্দু বল স্থিতাবস্থার সৃষ্টি করলে যেকোনো দিকে এদের বিশ্লিষ্টাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি শূন্য হবে।

কোনো কণার উপর ক্রিয়ারত সমতলীয় বলজোটের সাম্যাবস্থার শর্ত

(Condition of equilibrium of a system of coplanar forces acting on a particle)

মনে করি, P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots \ldots \ldots কতকগুলি সমতলীয় বল নির্দিষ্ট O বিন্দুতে ক্রিয়া করে। বলগুলির লব্ধি R এবং পরস্পর লম্বিক OX ও OY বরাবর বলগুলির লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি যথাক্রমে X ও Y দ্বারা সূচিত করা হলে, R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}

আমরা জানি, বলগুলি সাম্যাবস্থায় থাকলে তাদের লব্ধির মান শূন্য হয়।

অর্থাৎ R=0 বা, X^{2}+Y^{2}=0 হবে। কিন্তু X ও Y এর উভয়েই শূন্য (0) না হলে তাদের বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে পারে না। সুতরাং X = 0, Y = 0

অতএব সমতলীয় বলজোট সাম্যাবস্থায় থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত (necessary condition) হল লম্বরেখা OX ও OY বরাবর তাদের লম্বাংশের বীজগাণিতিক সমষ্টি পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হবে।

বিপরীতক্রমে X = 0, Y = 0 হলে R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}} হবে। অর্থাৎ বলগুলি সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করবে। এই শর্ত হল বলজোটের সাম্যাবস্থায় থাকার পর্যাপ্ত (Sufficient condition) শর্ত।

সাম্যাবস্থায় বলের ত্রিভুজ সূত্র (Triangle Law of Force in Equilibrium)

বর্ণনা (statement): কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বলের মান ও দিক যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে সূচিত করা যায় তবে বলগুলি সাম্যাবস্থায় থাকবে। 

প্রমাণ (Proof): O বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল P, Q ও R এর মান ও দিক যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC, CA  AB বাহু দ্বারা সূচিত। প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকবে।

BC∥AD এবং CA∥BD অঙ্কন করে BCAD সামান্তরিক গঠন করি। সমান্তরাল হওয়ায় CA ও BD দ্বারা একই বল Q সূচিত হবে।  

এখন বলের সামান্তরিক সুত্রানুসারে, BC ও BD দ্বারা সূচিত P ও Q এর লব্ধি R, BA দ্বারা সূচিত এবং B বিন্দুতে ক্রিয়ারত হবে। অর্থাৎ এই বলটি AB দ্বারা সূচিত R বলের সমান কিন্তু বিপরীতমুখী হবে এবং পরস্পর নিষ্ক্রিয় করবে। 

সুতরাং বল তিনটি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করবে। 

ভেক্টর পদ্ধতি (Vector method): মনে করি, O বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল P, Q ও R এর মান ও দিক যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহু দ্বারা সূচিত করা যায়। 

প্রমাণ করতে হবে যে, বল তিনটির সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে। অর্থাৎ P+Q+R=0

BCAD সামান্তরিকটি সম্পূর্ণ করি। CA ও BD বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল বলে, BD বাহু দ্বারা Q বলকে মানে ও দিকে নির্দেশ করা যায়। 

এখন, P+Q+R=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A B}=0