Math Basic | ত্রিভুজ, বৃত্ত, চতুর্ভুজ

ত্রিভুজ

সূত্রসমূহ

• সমকোণী ত্রিভুজ: \frac{1}{2}\times ভূমি \times উচ্চতা
• সমবাহু ত্রিভুজ: \frac{\sqrt{3}}{4}\times (বাহু)^2
• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ: \frac{b}{4} \times \sqrt{(4a^2-b^2)}
• ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা: s=\frac{a+b+c}{2}
• ত্রিভুজের তিন বাহু দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল: s(s-a)(s-b)(s-c)

ত্রিভুজের সর্বসমতা

একটি ত্রিভুজের উপর আরেকটি ত্রিভুজ স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুটি সর্বতোভাবে মিলে যায় তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম। 

ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত

• যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু অপরটির দুই বাহুর সমান হয় এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুটি পরস্পর সমান হয়।
• যদি একটি ত্রিভুজের তিন বাহু অপর ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়।
• যদি একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং এদের সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে অপর একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং সংলগ্ন বাহুর সমান হয়।

আয়তক্ষেত্র

বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।

সূত্রসমূহ

• ক্ষেত্রফল: দৈর্ঘ্য x প্রস্থ
• পরিসীমা: s=2(a+b)
• কর্ণ: d=\sqrt{a^2+b^2}

বর্গক্ষেত্র

প্রত্যেকটি বাহু সমান এবং কোণগুলো সমকোণ।

সূত্রসমূহ

• ক্ষেত্রফল =a^2
• কর্ণ d=a\sqrt{2}
• পরিসীমা =4a

ট্রাপিজিয়াম 

ট্রাপিজিয়ামের একজোড়া বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল, কিন্তু সমান নয়।

ক্ষেত্রফল =  ½ x সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব x (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) 

সামান্তরিক

• বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
• কোনো কোণই সমকোণ নয়।

পরিসীমা: 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)। 

ক্ষেত্রফল: ভূমিx উচ্চতা = b x h

রম্বস

• রম্বসের চারটি বাহুই সমান, কিন্তু কোনো কোণই সমকোণ নয়। 

ক্ষেত্রফল: ½ x কর্ণদ্বয়ের গুণফল

পরিসীমা: 4 x একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।

বৃত্ত 

• ব্যাসার্ধ r, ব্যাস = 2r, পরিধি= 2\pi r ক্ষেত্রফল=\pi r^2 
• কোনো চাপ, s এর জন্য কেন্দ্রে \theta কোণ উৎপন্ন হলে s=(\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}})
• বৃত্তকলা AOB এর ক্ষেত্রফল=\pi r^2\times \frac{\theta}{360^{\circ}}
• বৃত্তের চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রঃস্থ কোণ, পরিধিঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। \
• উৎপন্ন কেন্দ্রঃস্থ কোণ সর্বদা ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক। 

উদাহরণ

• একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1: 2 : 3 এবং ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য 6 cm; ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: মনে করি, কোণের অনুপাত 1:2:3= x:2x:3x

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

প্রশ্নমতে, অনুপাতের যোগফল= ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি

x+2x+3x=180°\\
\Rightarrow 6x=180\\
\Rightarrow x=30°\\
\therefore x=30° ; 2x=2×30°=60° ; 3x=3×30°=90°

লক্ষণীয়, ত্রিভুজটির একটি কোণ ৯০°. অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি তার অতিভুজ। অর্থাৎ, এখানে বৃহত্তম বাহু, AC=6cm

ত্রিভুজের ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুসারে,

\sin∠ACB= \frac{লম্ব}{অতিভুজ}=\frac{AB}{AC}\\
\Rightarrow \sin30°= \frac{AB}{6}\\
\Rightarrow AB=6 \times \sin30°=6 \times \frac{1}{2}=3cm\\
আবার,\; \cos∠ACB=\frac{ভূমি}{অতিভুজ}=\frac{BC}{AC}\\
\Rightarrow \cos30°=\frac{BC}{6}\\
\Rightarrow BC= \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6=3\sqrt{3}cm

[এখানে, ‘∠‘ চিহ্নটি কোণ বোঝাতে ব্যবহৃত হয়েছে]

অর্থাৎ এখানে, BC বাহুটি বড়, AB বাহুটি ছোট।

ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 3 cm.

• যে ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাপ ৩০° ও ৬০° সেটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:  ত্রিভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°।

ত্রিভুজের অপর কোণটি 180^{\circ}-(30^{\circ}+60^{\circ})

ত্রিভুজটি সমকোণী।

• যে চতুর্ভুজের কোণগুলাের পরিমাপের অনুপাত ১ঃ২ঃ২ঃ৩, তার বৃহত্তম কোণের পরিমাপ কত?

সমাধান: 

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°।

তাহলে, চার কোণের অনুপাতের সমষ্টি = ১+২+২+৩= ৮ অংশ 

বৃহত্তম কোণ ৩ অংশ হলে (৩৬০/৮) * ৩ = ১৩৫^{\circ} 

• কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির মোট পরিমাণ কত হবে?

সমাধান: 

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০^{\circ}

X + y + z = ১৮০ 

বহিস্থ কোণ তিনটির যোগফল

(১৮০ - x) + (১৮০ - y) + (১৮০ - z)\\
= ৫৪০ - (x + y + z)\\
= ৫৪০ - ১৮০ = ৩৬০^{\circ}

• দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যায়? 

একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত আঁকা যায়। দুইটি বিন্দু দিয়ে দুইটি বৃত্ত আঁকা যায়। 

• অর্ধবৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:

ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে দুইটি সরলরেখা এসে বৃত্তচাপের উপর যেকোনো স্থানে মিলিত হলে যে কোণ তৈরি হয় তাকে অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে। এই কোণ এক সমকোণ হবে। 

• ৫সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ৩ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমকোণ উৎপন্ন করে বলে এটা একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়। 

সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২ 

এখানে অতিভূজ = ৫ সেমি 

ভূমি= ৩ সেমি 

তাহলে লম্ব= √(৫২ – ৩২) =  √১৬ = ৪ 

• The area of the right triangle is 184 cm², one of its legs is 16 cm long. Find the length of the other leg.

Let the one leg be=base= b = 16cm

area=\frac{1}{2}×b×h\\
\Rightarrow 184=\frac{1}{2}×16×h\\
\Rightarrow 8h=184\\
\Rightarrow h=184/8\\
\therefore h=23\\
so\; the\; height\; (perpendicular)=23\;cm\\
(hypotenuse)^2=p^2+b^2\\
\Rightarrow h^2 = (23×23+16×16)\\
\Rightarrow h^2 =(785)\\
\Rightarrow =28.01\;cm\\
\therefore H=28.01\;cm\\
\therefore P=23cm

• A rectangular plot has a concrete path running in the middle of the plot parallel to the breadth of the plot. The rest of the plot is used as a lawn, which has an area of 240m². If the width of the path is 3m and the length of the plot is greater than its breadth by 2m, what is the area of the rectangular plot?

Let the width be x m and length be (x+2) m

Area of path = 3x sq. m

x(x+2)−3x=240\\
⇒x^2 +2x−3x=240\\
⇒x^2 −x−240=0\\
⇒x^2 −16x+15x−240=0\\
⇒x(x−16)+15(x−16)=0\\
⇒x+15=0,x−16=0\\
∴x=16

Length = 16+2=18m

∴ Area of the plot = 16×18=288 sq. m  

• ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮ ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?

মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখা যে রেখা উৎপন্ন করে তা অপর বাহুর অর্ধেক হবে।

অর্থাৎ, ৮/২ = ৪

• Two planes leave the airport at the same time, Minutes later, plane A is 33 miles due north of the airport and plane B is 56 miles due east of the airport. How far apart are the two planes?

Ans:
Distance between two planes: \sqrt{33^2+56^2}=65