সমতলে বস্তুকণার গতি | Motion of Particles in Plane

বলবিদ্যার যে শাখায় গতিশীল বস্তুর ওপর ক্রিয়ারত বলগুলির বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করা হয় তাই গতিবিদ্যা। এই অধ্যায়কে চার ভাগে ভাগ করা হয়েছে।

সরণ (Displacement):

নির্দিষ্ট সময়ে কোনো নির্দিষ্ট দিকে একটি বস্তুর অবস্থান পরিবর্তনকে ঐ দিকে ঐ বস্তুর সরণ বলা হয় এবং বস্তুটির প্রথম ও শেষ অবস্থানের মধ্যে যে ক্ষুদ্রতম রৈখিক দূরত্ব তাই বস্তুটির সরণের পরিমাপ।

যদি একটি বস্তু সরল অথবা বক্রপথে কোনো এক সময়ে A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে যায়, তাহলে সদিক রেখাংশ \overrightarrow{A B} এর দৈর্ঘ্য হচ্ছে সেই সময়ে বস্তুটির সরণের মান, এবং এর দিক A থেকে B এর দিকে।

সুতরাং \overrightarrow{A B} ভেক্টর দ্বারা সরণের মান ও দিক প্রকাশ করা হয়। M.K.S. , C.G.S. এবং F.P.S. পদ্ধতিতে সরণের একক যথাক্রমে মিটার, সেন্টিমিটার এবং ফুট। 

বেগ (Velocity)

কোনো বস্তুকণার সরণের পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সময়ে নির্দিষ্ট দিকে চলমান কোনো বস্তুকণার অবস্থান পরিবর্তনের হারই হলো বেগ। যদি কোনো বস্তু কণার t সময়ে s সরণ হয় তাহলে বেগ, v=\frac{s}{t}, যদি গতিশীল কোনো বস্তুকণার বেগের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে তাহলে সেই বস্তুকণার বেগকে সুষম বেগ বা সমবেগ, আর যদি মান ও দিক বা উভয়ের পরিবর্তন ঘটে তাহলে বস্তুকণার সেই বেগকে অসম বেগ বলে।

কোনো বস্তুকণা যে বেগ নিয়ে যাত্রা শুরু করে তাকে আদিবেগ এবং শেষ মুহূর্তের বেগকে শেষ বেগ বলে। আদি বেগকে u বা v_{0} এবং শেষ বেগকে v দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ক্ষুদ্র \delta t সময়ে বস্তুকণাটির গতিপথে কোনো একটি বিন্দুতে অবস্থানের পরিবর্তন \delta s হলে,

ঐ বিন্দুতে বস্তুকণাটির বেগ বা তাৎক্ষণিক বেগ \displaystyle{\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta s}{\delta t}=\frac{d s}{d t}}

বেগ একটি ভেক্টর রাশি একে সাধারণত u, v দ্বারা প্রকাশ করা হয়। M.K.S. পদ্ধতিতে এর একক মিটার/সেকেন্ড।

কোনো বস্তুকণা 5 সেকেন্ডে নির্দিষ্ট দিকে 40 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলে বা 40 মিটার সরণ হলে,

বেগ =\frac{40}{5} মিটার/সেকেন্ড=8 মিটার/সেকেন্ড। 

বেগ দুই প্রকার: যথা:

(i) সমবেগ

(ii) অসমবেগ

সমবেগ (Uniform Velocity):

যদি কোনো বস্তুর বেগের মান ও দিক সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকে তাহলে বস্তুর বেগকে সমবেগ বলা হয়। 

স্থিরাবস্থা থেকে বস্তুকণাটি 1, 2, 3, 4, 5, 6 সেকেন্ডে যথাক্রমে 0.25, 0.50, 0.75, 1.00, 1.25, 1.50 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। সময় বনাম সরণ লেখচিত্রে 7 টি বিন্দু দ্বারা 1 সেকেন্ড পরপর একটি সরলরেখা বরাবর একই দিকে গতিশীল একটি বস্তুকণার অবস্থান প্রকাশ করা হয়েছে। বস্তুকণাটি প্রতি সেকেন্ডে 0.25 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। অর্থাৎ সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

কাজেই এটি সমবেগ নির্দেশ করে এবং সমবেগের মান 0.25 মিটার/সেকেন্ড।

অসমবেগ (Variable Velocity):

বস্তুকণার বেগ যদি সময়ের সাথে ভিন্ন ভিন্ন হয় তবে তাকে অসমবেগ বলা হয়।

মনে করি, স্থিরাবস্থা থেকে বস্তুকণাটি প্রথম সেকেন্ডে 4 মিটার, দ্বিতীয় সেকেন্ডে 9 মিটার, তৃতীয় সেকেন্ডে 7 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। এখানে বস্তুকণাটি সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করছে না। কাজেই এই বেগ হবে অসম বেগ। চিত্রে অসম বেগের লেখচিত্র দেখানো হয়েছে।

C.G.S. পদ্ধতিতে বেগের একক সেন্টিমিটার/সেকেন্ড।

M.K.S. পদ্ধতিতে বেগের একক মিটার/সেকেন্ড।

F.P.S. পদ্ধতিতে বেগের একক ফুট/সেকেন্ড।

ত্বরণ (Acceleration)

কোনো বস্তুকণার বেগ বৃদ্ধির হারকে ত্বরণ বলে। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সময়ে কোনো চলমান বস্তু কণার বেগ বৃদ্ধির হারই হলো ত্বরণ। যদি গতিশীল বস্তুকণার বেগ হ্রাস পায় তাহলে বেগ হ্রাসের হারকে মন্দন বলে। আবার যদি বস্তুকণার ত্বরণের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে তাহলে সেই ত্বরণকে সুষম ত্বরণ এবং মান ও দিক বা উভয়ের পরিবর্তন ঘটে তাহলে সেই ত্বরণকে অসম ত্বরণ বলে।

ক্ষুদ্র \delta t সময়ে বস্তুকণাটির গতিপথের কোনো একটি বিন্দুতে বেগ বৃদ্ধির পরিবর্তন \delta v হলে ঐ বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ বা তাৎক্ষণিক ত্বরণ \displaystyle{\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta t}=\frac{d v}{d t}}  । ত্বরণ একটি ভেক্টর রাশি একে সাধারণত f বা a দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

দ্রষ্টব্য: সুষম বেগে চলমান বস্তু কণার ক্ষেত্রে ত্বরণ শূন্য। ত্বরণ ও মন্দন পরস্পর বিপরীতমুখী।

সমত্বরণ (Uniform acceleration):

যদি বস্তুকণার ত্বরণের মান ও দিক অপরিবর্তিত থাকে তবে সেই বস্তুর ত্বরণকে সমত্বরণ বলা হয়।

বস্তুকণাটির 0, 1, 2, 3 সেকেন্ড পর বেগ যথাক্রমে 2, 4, 6, 8 মিটার/সেকেন্ড। এখানে বেগের পরিবর্তন 2 মিটার/সেকেন্ড, সমত্বরণের ক্ষেত্রে সময় (t) বনাম বেগ (v) লেখচিত্রটি সরলরেখা নির্দেশ করে।

অসমত্বরণ (Variable acceleration):

যখন সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তন ভিন্ন ভিন্ন হয় তাকে অসমত্বরণ বলা হয়। সময় বনাম বেগ লেখচিত্রে বক্ররেখা দ্বারা অসমত্বরণ দেখানো হয়েছে।

C.G.S. পদ্ধতিতে ত্বরণের একক সে.মি./সে.^2
M.K.S. পদ্ধতিতে ত্বরণের একক মিটার/সে.^2
F.P.S. পদ্ধতিতে ত্বরণের একক  ফুট/সে.^2

একাধিক বেগের লব্ধি (Resultant of multiple velocities)

বেগের লব্ধি (Resultant of Velocities): কোনো বস্তুকণার উপর একই সময়ে একাধিক বেগ কার্যরত হলে, এদের সম্মিলিত ক্রিয়াফল যদি একটি মাত্র বেগের ক্রিয়াফলের সমান হয়, তবে ঐ একটিমাত্র বেগকে একাধিক বেগের লব্ধি বলে এবং একাধিক বেগের প্রত্যেকটিকে লব্ধি বেগের অংশক বা উপাংশ বলে। 

যদি একটি কণার উপর \vec{u} ও \vec{v} বেগের ক্রিয়াফল, নির্দিষ্ট দিকে \vec{w} বেগের ক্রিয়াফলের সমান হয়, তাহলে \vec{w} কে \vec{u} ও \vec{v}  এর লব্ধি বলা হয় এবং ভেক্টর সংকেতে লেখা হয় \vec{w}=\vec{u}+\vec{v} । এখানে \vec{u} ও \vec{v}  হল \vec{w}  এর দুইটি অংশক।

একই রেখায় ক্রিয়ারত দুইটি বেগের লব্ধি:

একই সময়ে কোনো বস্তুকণার উপর দুইটি বেগ u ও v একই দিকে ক্রিয়ারত হলে এদের লব্ধিবেগ u+v একই দিকে ক্রিয়া করবে। u ও v বেগ দুইটি একই রেখায় বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে লব্ধি বেগের মান u \sim v, এবং এর দিক হবে বৃহত্তর বেগের দিকে।

আবার একই বিন্দুতে ভিন্ন রেখায় বা দিকে দুইটি বেগ ক্রিয়া করলে সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে লব্ধি নির্ণয় করা যায়।

বেগের সামান্তরিক সূত্র (Parallelogram law of velocity):

যদি কোনো বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি বেগ একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত হয়, তবে ঐ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী কর্ণ মানে ও দিকে বেগদ্বয়ের লব্ধি বেগ সূচিত করবে।

প্রমাণ: মনে করি, একই সময়ে O বিন্দুতে একটি কণার উপর ক্রিয়ারত u, v মানের বেগদ্বয় যথাক্রমে OACB সামান্তরিকের OA এবং OB বাহুদ্বয় দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত হয়। O, C যোগ করি।

কল্পনা করি, কণাটি u বেগে OA বাহু বরাবর চলে এবং একই সাথে O বিন্দুটি সর্বদা OB এর উপর রেখে OA বাহুটি কণাটিসহ নিজের সমান্তরালে v বেগে OB বরাবর চলে। একক সময়ে কণাটি u বেগের কারণে A বিন্দুতে এবং OA রেখাটি v বেগের কারণে নিজের সমান্তরালে BC অবস্থানে পৌঁছবে। সুতরাং কণাটি একক সময় পরে C বিন্দুতে অবস্থান করে।

মনে করি, কণাটি একক সময়ের ক্ষুদ্র ভগ্নাংশ t সময়ে P বিন্দুতে পৌঁছে। P Q \| E O আঁকি। কণাটি সমবেগে চলে বলে OQ=ut, QP=OE=vt; পুনরায় OA=u এবং OB=v

\therefore \frac{O Q}{Q P}=\frac{u t}{v t}=\frac{u}{v}=\frac{O A}{O B}

\therefore \triangle O Q P ও \triangle O A C সদৃশকোণী।

\angle C O A=\angle P O Q   \therefore O P ও O C একই রেখায় থাকবে। 

আবার \frac{O P}{O C}=\frac{O Q}{O A}=\frac{u t}{u}=t \quad \therefore O P=t . O C

একক সময়ে অর্থাৎ t=1  হলে, OP=OC অর্থাৎ, কণাটি একক সময়ে C বিন্দুতে অবস্থান করবে।

সুতরাং সামান্তরিকের O C কর্ণই লব্ধি বেগের মান ও দিক সূচিত করে।

একবিন্দুগামী দুইটি বেগের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়

১ম পদ্ধতি:

মনে করি, পরস্পর \alpha কোণে O বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত u ও v বেগ দুইটি যথাক্রমে OA ও OB দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত। OACB সামান্তরিকটি অঙ্কন করি এবং O, C যোগ করি। তাহলে OC কর্ণটি বেগদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক সূচিত করবে। ধরি, বেগদ্বয়ের লব্ধি w, যা OA এর সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ \angle A O C=\theta

OB এর সমান ও সমান্তরাল বলে, AC একই বেগ v সূচিত করবে। C বিন্দু থেকে বর্ধিত OA (১ম চিত্রে) বা OA (২য় চিত্রে) এর উপর CD লম্ব অঙ্কন করি।

১ম চিত্রে, A D=A C \cos C A D=Q \cos \alpha এবং C D=A C \sin C A D=Q \sin \alpha

\therefore O D=O A+A D=u+v \cos \alpha

২য় চিত্রে, A D=A C \cos C A D=v \cos (\pi-\alpha)=-v \cos \alpha

এবং C D=A C \sin C A D=v \sin (\pi-\alpha)=v \sin \alpha

\therefore O D=O A-A D=u-(-v \cos \alpha)=u+v \cos \alpha

সুতরাং, উভয় চিত্রে OCD সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই, O C^{2}=O D^{2}+C D^{2}

\Rightarrow w^{2}=(u+v \cos \alpha)^{2}+(v \sin \alpha)^{2}

       =u^{2}+v^{2}\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)+2 u v \cos \alpha=u^{2}+v^{2}+2 u v \cos \alpha

\therefore w=\sqrt{u^{2}+v^{2}+2 u v \cos \alpha} , যা বেগ দুইটির লব্ধির মান।

এখন, \tan \theta=\frac{C D}{O D}=\frac{v \sin \alpha}{u+v \cos \alpha} ; যেখানে u+v \cos \alpha \neq 0

\therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{v \sin \alpha}{u+v \cos \alpha} , যা বেগ দুইটির লব্ধি দিক। 

২য় পদ্ধতি:

মনে করি, O বিন্দুতে পরস্পর \alpha কোণে একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুইটি বেগ \vec{u}=\overrightarrow{O A} ও \vec{v}=\overrightarrow{O B}.  OACB সামান্তরিকটি অঙ্কন করে O, C যোগ করি। তাহলে বেগের সামন্তরিক সুত্রানুসারে \overrightarrow{O C}=\vec{w} বেগ দুইটির লব্ধির মান ও দিক সূচিত করবে। ধরি, লব্ধি \vec{w},  \vec{u} এর সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে।

 

A C=O B এবং A C \| O B বলে \vec{v}=\overrightarrow{A C}. 

এখানে, \angle O A C=\pi-\alpha এবং \angle A C O=\alpha-\theta

0<\alpha<\pi সীমার মধ্যে এর যেকোনো মানের জন্য, O A C ত্রিভুজে কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

O C^{2}=O A^{2}+A C^{2}-2 . O A \cdot A C \cos (\pi-\alpha) \Rightarrow w^{2}=u^{2}+v^{2}+2 u v \cos \alpha

\therefore w=\sqrt{u^{2}+v^{2}+2 u v \cos \alpha} , যা বেগ দুইটির লব্ধির মান। 

O A C ত্রিভুজে সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই, \frac{O A}{\sin O C A}=\frac{A C}{\sin A O C} \Rightarrow \frac{u}{\sin (\alpha-\theta)}=\frac{v}{\sin \theta}

\Rightarrow u \sin \theta=v(\sin \alpha \cos \theta-\sin \theta \cos \alpha) \Rightarrow(u+v \cos \alpha) \sin \theta=v \sin \alpha \cos \theta  

\Rightarrow \tan \theta=\frac{v \sin \alpha}{u+v \cos \alpha} \quad \therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{v \sin \alpha}{u+v \cos \alpha} যা বেগ দুইটির লব্ধির দিক।

বিভিন্ন ক্ষেত্রে একবিন্দুগামী দুইটি বেগের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়

(i) বৃহত্তম লব্ধি: যখন \alpha=0^{\circ} অর্থাৎ বেগদ্বয় কোনো বিন্দুতে একই দিকে ক্রিয়া করে, তখন

      w^{2}=u^{2}+v^{2}+2 u v \cos 0^{\circ}=u^{2}+v^{2}+2 u v=(u+v)^{2}

∴ বৃহত্তম লব্ধি, w_{\max }=u+v   এবং দিক u ও v এর দিক বরাবর। 

(ii) ক্ষুদ্রতম লব্ধি: যখন \alpha=180^{\circ} অর্থাৎ বেগদ্বয় কোনো বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে, তখন

       w^{2}=u^{2}+v^{2}+2 u v \cos 180^{\circ}=u^{2}+v^{2}-2 u v=(u-v)^{2} \quad\left[\because \cos 180^{\circ}=-1\right]

∴ ক্ষুদ্রতম লব্ধি, w_{\min }=u-v \quad[u>v] এবং দিক বৃহত্তর বেগের দিক বরাবর। 

(iii) সমকোণে ক্রিয়ারত বেগদ্বয়ের লব্ধি: যখন \alpha=90^{\circ}

       w^{2}=u^{2}+v^{2}+2 u v \cos 90^{\circ}=u^{2}+v^{2} \quad\left[\because \cos 90^{\circ}=0\right]

∴ লব্ধি, w=\sqrt{u^{2}+v^{2}}

\tan \theta=\frac{v \sin 90^{\circ}}{u+v \cos 90^{\circ}}=\frac{v .1}{u+v .0}=\frac{v}{u} \Rightarrow \tan ^{-1} \frac{v}{u} 

∴ লব্ধি বেগ u বেগের সাথে \theta কোণে আনত।

(iv) সমান সমান বেগদ্বয়ের লব্ধি:

v=u হলে, w^{2}=u^{2}+u^{2}+2 u . u \cos \alpha=2 u^{2}+2 u^{2} \cos \alpha

=2 u^{2}(1+\cos \alpha)=2 u^{2} \cdot 2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=4 u^{2} \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}

∴ লব্ধি, w=2 u \cos \frac{\alpha}{2} এবং \tan \theta=\frac{u \sin \alpha}{u+u \cos \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2} \quad \therefore \theta=\frac{\alpha}{2}

অর্থাৎ সমান বেগদ্বয়ের লব্ধি এদের ক্রিয়ারেখার মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে। 

বেগের ত্রিভুজ সূত্র (Law of Triangle of velocities):

বর্ণনা: একই বিন্দুতে কার্যরত দুইটি বেগের মান ও দিক কোনো ত্রিভুজের একই ক্রমে গৃহীত দুইটি বাহু দ্বারা নির্দেশিত হলে, তাদের লব্ধির মান ও দিক ঐ ত্রিভুজের বিপরীতক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু দ্বারা সূচিত হবে।

প্রমাণ: মনে করি, একটি কণার উপর O বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত \underline{u} ও \underline{v} বেগ দুইটি যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের AB ও BC বাহু দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত করা যায়।

ABCD সামান্তরিকটি অঙ্কন করি।

A D=B C এবং A D \| B C বলে, \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}

\underline{u}+\underline{v}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}, (বেগের সামান্তরিক সূত্র দ্বারা।)

অতএব, \underline{u} ও \underline{v} বেগদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক ABC ত্রিভুজের বিপরীত ক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু AC দ্বারা সূচিত হবে।

দ্রষ্টব্য: ABC ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু AC মাত্র লব্ধির মান ও দিক সূচিত করে কিন্তু \underline{u} ও \underline{v} বেগ দুইটির ক্রিয়ারেখার ছেদবিন্দু দিয়ে লব্ধির ক্রিয়ারেখা গমন করবে।

অনুসিদ্ধান্ত: একই বিন্দুতে কার্যরত তিনটি বেগের মান ও দিক কোনো ত্রিভুজের একই ক্রমে গৃহীত বাহু তিনটি দ্বারা সূচিত হলে, তাদের লব্ধির মান শূন্য হবে।

বি.দ্র.: অষ্টম অধ্যায়ে বল বিভাজন, বলের সাইন সূত্র, লম্বাংশ বিশদ আলোচনা করা হয়েছে। এখানে, P, Q, R এর পরিবর্তে যথাক্রমে u, v, w লিখে বেগের জন্য অনুরূপ সূত্রগুলি পাওয়া যাবে। 

বেগের লম্বাংশ:

মনে করি, XY সমতলে O বিন্দুতে w বেগ ক্রিয়ারত যা OC দ্বারা সূচিত হয় এবং x-অক্ষের সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে। C A \perp O X এবং C B \perp O Y অঙ্কন করি।

তাহলে OACB একটি আয়তক্ষেত্র।

ধরি, O A=u, O B=v

OX এর দিকে w বেগের লম্বাংশ O A=O C \cos \theta=w \cos \theta

OY এর দিকে w বেগের লম্বাংশ O B=O C \sin \theta=w \sin \theta

বিশেষ দ্রষ্টব্য: দুটি বেগের লব্ধি ক্ষুদ্রতর বেগের সাথে লম্ব হলে, লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়:

মনে করি, u ও v (u>v) বেগদ্বয়ের লব্ধি w এবং তা v এর দিকের সাথে 90^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে। u ও v এর অন্তর্গত কোণের মান \alpha

এখন, v বরাবর বেগগুলোর লম্বাংশ নিয়ে পাই, 

v+u \cos \alpha=w \cos 90^{\circ}=0

বা, u \cos \alpha=-v \quad \therefore \alpha=\cos ^{-1}\left(-\frac{v}{u}\right)

আবার, w^{2}=u^{2}+v^{2}+2 u v \cos \alpha

  =u^{2}+v^{2}+2 v(-v) \quad[\because u \cos \alpha=-v]

  =u^{2}-v^{2}

\therefore w=\sqrt{u^{2}-v^{2}}

একই তলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়াশীল নির্দিষ্ট সংখ্যক বেগের লব্ধি নির্ণয়:

মনে করি, O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল, u_{1}, u_{2}, u_{3} \ldots \ldots u_{n} বেগগুলি OX এর সাথে যথাক্রমে \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \ldots \ldots \alpha_{n} কোণ উৎপন্ন করে এবং এদের লব্ধি w, OX এর সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে। 

OX বরাবর বেগগুলির লম্বাংশ নিয়ে,

w \cos \theta=u_{1} \cos \alpha_{1}+u_{2} \cos \alpha_{2}+u_{3} \cos \alpha_{3}+ \cdots+u_{n} \cos \alpha_{n}=w_{x} (ধরি) ……(i)

OY বরাবর বেগগুলির লম্বাংশ নিয়ে,

w \sin \theta=u_{1} \sin \alpha_{1}+u_{2} \sin \alpha_{2}+u_{3} \sin \alpha_{3}+\cdots+u_{n} \sin \alpha_{n}=w_{y} (ধরি)  ………(ii)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণের বর্গ যোগ করে পাই, w^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)=w_{x}^{2}+w_{y}^{2}

বা, w^{2}=w_{x}^{2}+w_{y}^{2}

বা, w=\sqrt{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}

অর্থাৎ, বেগগুলির লব্ধি, OX ও OY বরাবর লম্বাংশের বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান।

আবার, (ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

\frac{w \sin \theta}{w \cos \theta}=\frac{w_{y}}{w_{x}} \quad বা, \tan \theta=\frac{w_{y}}{w_{x}} \quad \therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{w_{y}}{w_{x}}