দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধির মান, দিক ও ক্রিয়াবিন্দু, দুইটি অসদৃশ ও অসমান বলের লব্ধির মান, দিক ও ক্রিয়াবিন্দু

দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধির মান, দিক ও ক্রিয়াবিন্দু (Magnitude, Direction and Point of Action of the Resultant of Two Like Parallel Forces) 

মনে করি, কোনো জড়বস্তুর A ও B বিন্দুতে দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল P ও Q ক্রিয়ারত। AL ও BM সরলরেখা দ্বারা মানে ও দিকে P ও Q বল দুইটিকে সূচিত করা হলো। A, B যোগ করি এবং AB রেখাংশের A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে AB ও BA বরাবর F মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করি। এই বলদ্বয়কে মানে ও দিকে AD ও BE দ্বারা সূচিত করি। বল দুইটি পরস্পর সমান ও একই সরলরেখায় বিপরীতমুখী হওয়ায় পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। ADHL ও BEKM সামান্তরিকদ্বয় অঙ্কন করি।

ধরি, A বিন্দুতে ক্রিয়ারত P ও F বলের লব্ধি R_{1} এবং B বিন্দুতে ক্রিয়ারত  Q ও F বলের লব্ধি R_{2} ।

তাহলে বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে, কর্ণ AH ও কর্ণ BK দ্বারা যথাক্রমে R_{1} ও R_{2} লব্ধিদ্বয় সূচিত হবে।
এখন AH ও BK বর্ধিত করি, ধরি তারা O বিন্দুতে ছেদ করে। O বিন্দু দিয়ে AB এর সমান্তরাল XOX‘ এবং AL বা BM এর সমান্তরাল করে OC রেখা অঙ্কন করি যেন তা AB কে C বিন্দুতে ছেদ করে।
R_{1} ও R_{2} লব্ধি বলদ্বয়ের ক্রিয়া বিন্দু A ও B হতে O বিন্দুতে স্থানান্তর করি। তাহলে O বিন্দুতে AO বরাবর ক্রিয়ারত R_{1} বলকে AL এর সমান্তরাল CO বরাবর P বল এবং AD এর সমান্তরাল OX বরাবর F বলে বিভাজিত করা যায়। 

অনুরূপভাবে, O বিন্দুতে BO বরাবর ক্রিয়ারত R_{2} বলকে BM এর সমান্তরাল CO বরাবর Q বল এবং BE এর সমান্তরাল OX‘ বরাবর F বলে বিভাজিত করা যায়। O বিন্দুতে একই XOX‘ রেখার OX ও OX’ বরাবর F মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল ক্রিয়ারত হওয়ায় তা পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে।
সুতরাং কেবলমাত্র P ও Q বল দুইটির লব্ধি (P + Q), CO বরাবর অর্থাৎ P ও Q এর সমান্তরাল দিকে C বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

C বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়: যেহেতু A L\|D H\| C O

সুতরাং \triangle A D H ও \triangle A C O সদৃশ। 

\therefore \frac{A C}{C O}=\frac{A D}{D H}=\frac{A D}{A L}=\frac{F}{P} \quad \therefore P \cdot A C=F \cdot C O \quad \ldots \ldots \ldots(\mathrm{i})

অনুরূপে, \triangle B O C ও \triangle B E K সদৃশ হতে পাই 

\therefore Q . B C=F . C O \cdots \cdots \cdots(ii)

(i) ও (ii) হতে, P . A C=Q . B C  বা, \frac{A C}{C B}=\frac{Q}{P}

অতএব, C বিন্দুটি AB রেখাকে অন্তস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।

বিকল্প প্রমাণ (জ্যামিতিক পদ্ধতি) (Alternative way (Geometric Method)): মনে করি কোনো জড়বস্তুর A ও B বিন্দুতে দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল P ও Q যথাক্রমে AL ও BM দ্বারা মানে ও দিকে নির্দেশিত।

এখন A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে \overrightarrow{A B} এবং \overrightarrow{B A} বলদ্বয় প্রয়োগ করি। এদের ক্রিয়ারেখা একই এবং মান পরস্পর সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী। কাজেই \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=0 এবং এ বলদ্বয় নির্ণেয় লব্ধিকে প্রভাবিত করবে না। ABHL ও BAKM সামান্তরিকদ্বয় এবং তাদের কর্ণ AH ও BK অঙ্কন করি। মনে করি কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে এবং O বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত P ও Q বল দুইটির ক্রিয়া রেখার সমান্তরাল রেখা AB কে C বিন্দুতে ছেদ করে।

মনে করি, P ও Q বলের লব্ধি R.

তাহলে, R=\overrightarrow{A L}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A L}+\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}\quad [\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=0]

=(\overrightarrow{A L}+\overrightarrow{A B})+(\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{B A})

=\overrightarrow{A H}+\overrightarrow{B K}   [বলের সামান্তরিক সূত্রানুযায়ী]

=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O H}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O K}=(\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O K})+(\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O H})

এখন বলের ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে, \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O K}=\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{B M}=Q যা O বিন্দুতে BM এর সমান্তরাল রেখা CO বরাবর ক্রিয়াশীল। অনুরূপভাবে, \overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{B H}=\overrightarrow{A L}=P  যা O বিন্দুতে AL এর সমান্তরাল রেখা CO বরাবর ক্রিয়াশীল। 

এখন লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু O হতে C তে স্থানান্তর করলে পাই,

R=P+Q, যা C বিন্দুতে CO বরাবর ক্রিয়াশীল।  

C বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়: \triangle A B H ও \triangle A O C সদৃশ। 

\therefore \frac{A B}{A C}=\frac{B H}{C O} \quad \ldots \ldots \ldots(i)

আবার, \triangle A B K ও \triangle B O C সদৃশ।  

\therefore \frac{A B}{B C}=\frac{A K}{C O} \quad \ldots \ldots \ldots(ii)

(ii) \div (i) হতে পাই, \frac{A C}{B C}=\frac{A K}{B H}

\Rightarrow \frac{A C}{B C}=\frac{B M}{A L}=\frac{Q}{P}

\therefore P \cdot A C=Q \cdot B C

বা, \frac{A C}{B C}=\frac{Q}{P}

∴ C বিন্দুটি AB রেখাকে অন্তস্থভাবে বল দুইটির মানের ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।

দুইটি অসদৃশ ও অসমান বলের লব্ধির মান, দিক ও ক্রিয়াবিন্দু (Magnitude, Direction and Point of Action of the Resultant of Two Unlike and Unequal Parallel Forces)

মনে করি, কোনো জড় বস্তুর A ও B বিন্দুতে দুইটি অসদৃশ অসমান সমান্তরাল বল P ও Q ক্রিয়ারত। P>Q ধরে মানে ও দিকে বলদ্বয়কে যথাক্রমে AL ও BM সরলরেখা দ্বারা সূচিত করি। 

A,B যোগ করি এবং AB রেখাংশের A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে BA ও AB বরাবর F মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করি। এই বলদ্বয়কে মানে ও দিকে AD ও BE দ্বারা সূচিত করি। বল দুইটি সমান ও একই সরলরেখায় বিপরীতমুখী হওয়ায় পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। ADHL এবং BEKM সামান্তরিকদ্বয় অঙ্কন করি। মনে করি, A বিন্দুতে ক্রিয়ারত P ও F বলের লব্ধি R_{1} এবং B বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও F বলের লব্ধি R_{2}।

তাহলে বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে, কর্ণ AH ও BK দ্বারা যথাক্রমে R_{1} ও R_{2} লব্ধিদ্বয় সূচিত হবে।
AH ও BK বর্ধিত করি, ধরি তারা O বিন্দুতে ছেদ করে। O বিন্দু দিয়ে AB এর সমান্তরাল XOX‘ এবং AL বা BM এর সমান্তরাল করে OC রেখা অঙ্কন করি যেন তা বর্ধিত AB কে C বিন্দুতে ছেদ করে।

R_{1} ও R_{2} লব্ধি বল দুইটির ক্রিয়া বিন্দু A ও B হতে O বিন্দুতে স্থানান্তর করি। তাহলে O বিন্দুতে AO বরাবর ক্রিয়ারত R_{1} বলকে AL এর সমান্তরাল CO বরাবর P বল এবং AD এর সমান্তরাল OX‘ বরাবর F বলে বিভাজিত করা যায়। 

অনুরুপভাবে, O বিন্দুতে OB বরাবর ক্রিয়ারত R_{2} বলকে BM এর সমান্তরাল OC বরাবর Q বল এবং BE এর সমান্তরাল OX বরাবর F বলে বিভাজিত করা যায়। 

O বিন্দুতে একই রেখায় OXও OX’ বরাবর F মানের দুইটি সমান ও বিপরীতমুখী বল ক্রিয়া করায় তারা পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করে। সুতরাং কেবলমাত্র P ও Q বল দুইটির লব্ধি P - Q বলটি বৃহত্তর P বলের সাথে সমমুখী সমান্তরাল দিকে (CO বরাবর) C বিন্দুতে ক্রিয়াশীল হবে।

 

C বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়: যেহেতু A L\|D H\| C O  সুতরাং \triangle H L A ও \triangle A C O সদৃশ। 

\therefore \frac{C A}{O C}=\frac{L H}{A L}=\frac{A D}{A L}=\frac{F}{P} \quad \therefore P . C A=F . O C \quad \ldots \ldots \ldots(\mathrm{i})

অনুরূপে, \triangle B C O ও \triangle B E K সদৃশ হতে পাই Q \cdot B C=F \cdot C O \quad \ldots \ldots ...(ii)

(i) ও (ii) হতে, P . C A=Q . B C  বা, \frac{C A}{B C}=\frac{Q}{P}

অতএব, C বিন্দুটি AB রেখাকে বহিস্থভাবে বল দুইটির ব্যস্তানুপাতে বিভক্ত করে।

 

বিকল্প পদ্ধতি (ভেক্টর পদ্ধতি) (Alternative Method (Vector Method)): মনে করি কোনো জড়বস্তুর A ও B বিন্দুতে দুইটি অসমান অসদৃশ সমান্তরাল বল P ও Q (P>Q) যথাক্রমে \overrightarrow{A L} ও \overrightarrow{B M} দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত।

A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে \overrightarrow{A B} এবং \overrightarrow{B A} বলদ্বয় প্রয়োগ করি। যেহেতু বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখা একই এবং মান পরস্পর সমান কিন্তু দিক বিপরীতমুখী। কাজেই \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=\underline{0} এবং এ বলদ্বয় নির্ণেয় লব্ধিকে প্রভাবিত করবে না। ABHL ও BAKM সামান্তরিকদ্বয় এবং তাদের কর্ণ AH ও BK অঙ্কন করি। HA ও BK বর্ধিত করি, যেন তারা  O বিন্দুতে ছেদ করে। আবার  O বিন্দুতে, প্রদত্ত বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল করে OC রেখা অঙ্কন করি যেন, তা বর্ধিত BA কে C বিন্দুতে ছেদ করে। 

মনে করি, P ও Q বলের লব্ধি R 

তাহলে, R=\overrightarrow{A L}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A L}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B M} \quad[\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=\vec{O}]

=(\overrightarrow{A L}+\overrightarrow{A B})+(\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{B A})=\overrightarrow{A H}+\overrightarrow{B K}   [বলের সামান্তরিক সূত্রানুযায়ী] 

=\overrightarrow{O H}-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{B O}-\overrightarrow{K O}=(\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O H})+(\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O K})

এখন বলের ত্রিভুজ অনুসারে, \overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O H}=\overrightarrow{B H}=\overrightarrow{A L}=P যা O বিন্দুতে \overrightarrow{O C} বরাবর ক্রিয়াশীল। অনুরূপভাবে, \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O K}=\overrightarrow{K A}=\overrightarrow{B M}=Q  যা O বিন্দুতে \overrightarrow{O C} বরাবর ক্রিয়াশীল। 

এখন O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বল দুইটি  একই রেখা বরাবর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় লব্ধির মান উহাদের বিয়োগফলের সমান। 

\therefore R=P-Q যা O বিন্দুতে OC বরাবর ক্রিয়াশীল। লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার C বিন্দুতে স্থানান্তর করে পাই R=P-Q যা C বিন্দুতে CM বরাবর ক্রিয়াশীল। 

C বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়: 

\triangle A B H ও \triangle A O C সদৃশ। 

\therefore \frac{A B}{A C}=\frac{B H}{C O} \quad \ldots \ldots \ldots (i)

আবার, \triangle A B K ও \triangle B O C সদৃশ।  

\therefore \frac{A B}{B C}=\frac{A K}{C O} \quad \ldots \quad \ldots (ii)

(ii) \div (i) হতে পাই, \frac{A C}{B C}=\frac{A K}{B H} \Rightarrow \frac{A C}{B C}=\frac{B M}{A L}=\frac{Q}{P}

\therefore P \cdot A C=Q \cdot B C

∴ C বিন্দুটি AB রেখাকে P ও Q বলদ্বয়ের মানের ব্যস্তানুপাতে বর্হিবিভক্ত করে। 

বিশেষ দ্রষ্টব্য (Note): সদৃশ ও বিসদৃশ সমান্তরাল উভয়ক্ষেত্রেই আমরা পাই, P \cdot A C=Q \cdot B C

বা, \frac{P}{B C}=\frac{Q}{A C}=\frac{P+Q}{B C+A C} [সদৃশ  সমান্তরাল]  এবং  \frac{P}{B C}=\frac{Q}{A C}=\frac{P-Q}{B C-A C} [বিসদৃশ  সমান্তরাল] 

বা, \frac{P}{B C}=\frac{Q}{A C}=\frac{P+Q}{A B} এবং  \frac{P}{B C}=\frac{Q}{A C}=\frac{P-Q}{A B}