প্রক্ষেপক | Projectile

কোনো বস্তুকণা উল্লম্বভাবে প্রক্ষিপ্ত না হয়ে যদি ভূমির সঙ্গে আনতভাবে নির্দিষ্ট বেগে ও কোণে প্রক্ষিপ্ত হয় তবে বস্তুকণাটির আনুভূমিক ও উল্লম্ব বেগ থাকে। বস্তুকণাটি অভিকর্ষের বিপরীত দিকে সর্বাধিক উচ্চতায় উঠে নিক্ষেপণ তলে ফিরে আসে। যে উল্লম্ব তলে প্রক্ষেপকটি বিচরণ করে তা হলো প্রক্ষেপক তল। শূন্যে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণাটিকে বলা হয় প্রক্ষেপক (Projectile)। যে বিন্দু থেকে প্রক্ষেপকটি নিক্ষিপ্ত হয় তা হলো নিক্ষেপণ বিন্দু (Point of projection)। প্রক্ষেপকের গতিপথকে বলা হয় বিচরণ পথ (trajectory)। প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণাটি আনুভূমিক তলের সাথে যে কোণে নিক্ষিপ্ত হয় ঐ কোণকে বলা হয় প্রক্ষেপণ কোণ (angle of projection)। প্রক্ষেপকটি আনুভূমিক বরাবর মোট যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে পাল্লা (Horizontal Range) বলে। যুদ্ধে নির্দিষ্ট স্থানে নির্দিষ্ট কোণে গোলা নিক্ষেপ করে শত্রু পক্ষকে ঘায়েল করার প্রয়োজনে প্রক্ষেপক ব্যবহার করা হয়। বিপক্ষকে ঘায়েল করতে কত ডিগ্রি কোণে নিক্ষেপ করলে গোলাটি নির্দিষ্ট লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করবে? এ প্রশ্নের উত্তর এ অধ্যায়ে পরবর্তীতে শিক্ষার্থীরা জানতে পারবে।

নির্দিষ্ট সময়ে বস্তুকণার অবস্থান ও বেগ নির্ণয়:

মনে করি, O বিন্দু হতে u আদিবেগে এবং ভূমির সাথে \alpha কোণে একটি বস্তুকণা নিক্ষেপ করা হল। OX ও OY সরলরেখাকে যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O কে মূলবিন্দু বিবেচনা করি। O তে OX ও OY বরাবর u এর লম্বাংশ যথাক্রমে u \cos \alpha ও u \sin \alpha । ধরি, t সময় পর বস্তুটি P(x,y) বিন্দুতে পৌঁছে।

g এর লম্বাংশ OX বরাবর g \cos \left(-90^{\circ}\right)=0

এবং OY বরাবর g \sin \left(-90^{\circ}\right)=-g

∴ গতির সমীকরণ \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=0 \Rightarrow \frac{d}{d t}\left(\frac{d x}{d t}\right)=0 \quad ... \quad ...(i)

এবং \frac{d^{2} y}{d \mathrm{t}^{2}}=-g \Rightarrow \frac{d}{d t}\left(\frac{d y}{d t}\right)=-g \quad ... \quad ...(ii)

t এর সাপেক্ষে (i) এর যোগজীকরণ করে পাই, \frac{d x}{d t}=A

আদি অবস্থায় t=0, \frac{d x}{d t}=u \cos \alpha

সুতরাং A=u \cos \alpha

\therefore \frac{d x}{d t}=u \cos \alpha \Rightarrow d x=u \cos \alpha d t

t এর সাপেক্ষে ইহাকে যোগজীকরণ করে পাই, x=u \cos \alpha \cdot t+B

আদি অবস্থায় t=0, x=0. সুতরাং B=0

\therefore x=u \cos \alpha . t \quad ... \quad ...(iii)

t এর সাপেক্ষে (ii) সমাকলন করে পাই, \frac{d y}{d t}=-g t+C

আদি অবস্থায় t=0, \frac{d y}{d t}=u \sin \alpha

সুতরাং C=u \sin \alpha \quad \therefore \frac{d y}{d t}=-g t+u \sin \alpha

t এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই, y=-\frac{1}{2} g t^{2}+u \sin \alpha \cdot t+D

আদি অবস্থায় t=0,  y=0. সুতরাং D=0

\therefore y=u \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^{2} \quad ... \quad ...(i v)

অতএব, t সময়ে বস্তুকণাটির অবস্থান P(x,y), যেখানে x=u \cos \alpha \cdot t  এবং y=u \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^{2}

এখন মনে করি, P বিন্দুতে বস্তুকণাটির অর্জিত বেগ v আনুভূমিকের সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে।

\therefore \frac{d x}{d t}=v \cos \theta=u \cos \alpha এবং \frac{d y}{d t}=v \sin \theta=u \sin \alpha-g t

\therefore(v \cos \theta)^{2}+(v \sin \theta)^{2}=(u \cos \alpha)^{2}+(u \sin \alpha-g t)^{2}

\Rightarrow v^{2}=u^{2}\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)-2 u g t \sin \alpha+g^{2} t^{2}=u^{2}-2 u g t \sin \alpha+g^{2} t^{2}

∴ বেগ v=\sqrt{u^{2}-2 u g t \sin \alpha+g^{2} t^{2}} এবং \tan \theta=\frac{u \sin \alpha-g t}{u \cos a}

নির্দিষ্ট উচ্চতায় বস্তুকণার বেগ ও দিক নির্ণয়:

মনে করি, O বিন্দু হতে u আদিবেগে এবং ভূমির সাথে \alpha কোণে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তুকণা এর বিচরণ পথে h উচ্চতায় P বিন্দুতে v বেগ অর্জন করে এবং ইহা আনুভূমিকের সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে।

∴O বিন্দুতে u এর আনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ যথাক্রমে u \cos \alpha ও u \sin \alpha

এবং P বিন্দুতে v এর আনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ যথাক্রমে v \cos \theta ও v \sin \theta ।

\therefore v \cos \theta=u \cos \alpha [∵ আনুভূমিক বেগ সর্বদাই ধ্ৰুবক]

v^{2} \cos ^{2} \theta=u^{2} \cos ^{2} \alpha \quad ... \quad ...(i)

আবার, (v \sin \theta)^{2}=(u \sin \alpha)^{2}-2 g h \ldots \ldots \ldots(i i)\left[v^{2}=u^{2}-2 g h\right. সূত্র প্রয়োগ করে।]

(i)+(i i) \Rightarrow v^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=u^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)-2 g h

   \Rightarrow v^{2}=u^{2}-2 g h

    \therefore v=\pm \sqrt{u^{2}-2 g h}  যা h উচ্চতায় বস্তুকণাটির বেগ। 

অর্থাৎ h উচ্চতায় উত্থান বেগ =\sqrt{u^{2}-2 g h} এবং পতন বেগ =-\sqrt{u^{2}-2 g h}

(i i) \div(i) \Rightarrow \tan ^{2} \theta=\frac{u^{2} \sin ^{2} \alpha-2 g h}{u^{2} \cos ^{2} \alpha}

    \Rightarrow \theta=\pm \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{u^{2} \sin ^{2} \alpha-2 g h}}{u \cos \alpha}\right) ; যা h উচ্চতায় বস্তুকণাটির দিক। 

অর্থাৎ h উচ্চতায় আনুভূমিকের সাথে বস্তুকণাটি উত্থানকালে \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{u^{2} \sin ^{2} \alpha-2 g h}}{u \cos \alpha}\right) কোণ এবং পতনকালে -\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{u^{2} \sin ^{2} a-2 g h}}{u \cos \alpha}\right)   উৎপন্ন করে।

বি.দ্র. : u আদিবেগে ও \alpha  কোণে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে, h=u \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^{2}

এবং h=-u \sin \alpha \cdot t+\frac{1}{2} g t^{2}

(i) u গতিবেগে এবং আনুভূমিকের সাথে \alpha কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার সর্বাধিক উচ্চতা এবং সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছার সময় নির্ণয়।

মনে করি, O বিন্দু হতে u আদিবেগে এবং ভূমির সাথে \alpha কোণে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তুকণা T সময়ে সর্বাধিক H উচ্চতায় পৌঁছে।

O বিন্দুতে u এর আনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ যথাক্রমে u \cos \alpha ও u \sin \alpha এবং সর্বাধিক উচ্চতায় বেগের উল্লম্ব উপাংশ শূন্য।

তাহলে v^{2}=u^{2}-2 g h সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

0=(u \sin \alpha)^{2}-2 g H \Rightarrow H=\frac{u^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g}= সর্বাধিক উচ্চতা  

এবং v=u-g t সূত্র প্রয়োগ করে পাই, 0=u \sin \alpha-g T

\Rightarrow T=\frac{u \sin a}{g}= সর্বাধিক বিন্দুতে পৌঁছার সময় উত্থানকাল।

(ii) u গতিবেগে এবং আনুভূমিকের সাথে \alpha কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার বিচরণকাল এবং দীর্ঘতম আনুভূমিক পাল্লা নির্ণয়।

মনে করি, O বিন্দু হতে u আদিবেগে এবং ভূমির সাথে \alpha  কোণে নিক্ষিপ্ত বস্তুকণার T সময়ে O বিন্দুগামী আনুভূমিক তলের উপর A বিন্দুতে পতিত হয়। তাহলে আনুভূমিক পাল্লা R=OA এবং বিচরণকাল =T

O বিন্দুতে u এর আনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ যথাক্রমে u \cos \alpha ও u \sin \alpha । T সময়ে বস্তুকণাটির অতিক্রান্ত উল্লম্ব সরণ শূন্য।

\therefore 0=u \sin \alpha \cdot T-\frac{1}{2}gT^2 \quad \rightarrow 2u\sin \alpha \cdot T-\frac{1}{2}gT^2=0 \quad \rightarrow T(2u \sin \alpha - gT)=0

\therefore T=0 বস্তুটির আদি অবস্থা নির্দেশ করে। সুতরাং, বিচরণকাল T=\frac{2u \sin \alpha}{g}

আনুভূমিক পাল্লা R=OA=T সময়ে অতিক্রান্ত আনুভূমিক সরণ =u \cos \alpha \cdot T

=u \cos \alpha . (\frac{2u \sin \alpha}{g})

\frac{u^2\sin 2\alpha}{g}

দীর্ঘতম আনুভূমিক পাল্লা:

পাল্লা R=\frac{u^2\sin 2\alpha}{g} এখানে u ও g ধ্রুবক।

সুতরাং R এর মান \sin 2\alpha এর উপর নির্ভর করে এবং R বৃহত্তম হবে যখন \sin 2\alpha=1 i.e.

\rightarrow 2\alpha=90^{\circ}

\rightarrow \alpha=45^{\circ}

দীর্ঘতম পাল্লা R_{max}=\frac{u^2}{g}

নোট: বিচরণকাল = উত্থান কাল + পতন কাল \rightarrow \frac{2u \sin \alpha}{g}=\frac{u \sin \alpha}{g}+ পতন কাল  

H ও R, R ও T, T ও H এর মধ্যে সম্পর্ক:

আমরা জানি, R=\frac{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} \quad ... \quad ...(i)

H=\frac{u^2\sin^2 \alpha}{2g} \quad ... \quad ...(ii)

T=\frac{2u \sin \alpha}{g} \quad ... \quad ...(iii)

\therefore \frac{H}{R}=\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \times \frac{g}{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{4} \quad \therefore \tan \alpha = \frac{4H}{R}

\therefore \frac{R}{T}=\frac{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} \times \frac{g}{2u \sin \alpha}=u \cos \alpha \quad \therefore \cos \alpha=\frac{R}{uT}

T^2=\frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2}=\frac{8}{g} \times \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{8}{g} \times H = \frac{8}{g} \times \frac{R \tan \alpha}{4}

\therefore T^2 = \frac{8H}{g}, \tan \alpha = \frac{gT^2}{2R} = \frac{4H}{R}