আপেক্ষিক বেগ | Relative velocity

1. দুটি গতিশীল বস্তুকণার একটির সাপেক্ষে অপরটির বেগকে এর আপেক্ষিক বেগ বলে।
2. দুটি গতিবেগ পরস্পর $\alpha$  আনত কোণে ক্রিয়া করলে যে বস্তুর সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করতে হবে তার বেগের সমান ও বিপরীতমুখী একটি বেগ অন্য বস্তুর বেগের ক্রিয়ারেখায় প্রয়োগ করতে হবে। এবার এই প্রযুক্ত বেগ এবং অন্য বস্তুর বেগের লব্ধিই নির্ণেয় আপেক্ষিক বেগ।
3. দুটি বস্তু u ও v বেগে একই দিকে অগ্রসর হলে একটির সাপেক্ষে অপরটির আপেক্ষিক বেগ $=u-v \quad [u>v]$
4. দুটি বস্তু u ও v বেগে বিপরীত দিকে অগ্রসর হলে একটির সাপেক্ষে অপরটির আপেক্ষিক বেগ $=u+v$
   

আপেক্ষিক বেগ (Relative velocity)

দুইটি গতিশীল বস্তুকণার প্রথমটির সাপেক্ষে দ্বিতীয়টির সরণের পরিবর্তনের হারকে প্রথম বস্তুকণার সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ বলা হয়। মনে করি, A ও B দুইটি গতিশীল বস্তুকণা। A বস্তুকণা হতে B বস্তুকণাকে পর্যবেক্ষণ করলে যে বেগ পরিলক্ষিত হয় তা হবে A বস্তুকণার সাপেক্ষে B বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ।

দুইটি সদৃশ সমান্তরাল রেখা বরাবর গতিশীল কণার আপেক্ষিক বেগ:

চিত্রে $P Q$ ও $R S$ সদৃশ সমান্তরাল রেখা বরাবর $V_{A}$ ও $V_{B}$ বেগ যথাক্রমে $A$ ও $B$ বস্তুকণার উপর ক্রিয়ারত। 

এখন, $P Q$ বরাবর $-V_{A}$ বেগ প্রয়োগ করলে $A$ বস্তুকণার বেগ শূন্য এবং $R S$ বরাবর $-V_{A}$ বেগ প্রয়োগ করলে $B$ বস্তুকণার বেগ হবে $V_{B}-V_{A}$।

∴ $A$ এর সাপেক্ষে $B$ এর আপেক্ষিক বেগ $V_{B A}=V_{B}-V_{A}$. অনুরূপভাবে $-V_{A}$ এর পরিবর্তে $-V_{B}$ বেগ প্রয়োগ করা হলে $B$ বস্তুকণার বেগশূন্য এবং $A$ বস্তুকণার বেগ $V_{A}-V_{B}$; যা $B$ বস্তুকণার সাপেক্ষে $A$ বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ।

∴ $B$ এর সাপেক্ষে $A$ এর আপেক্ষিক বেগ $V_{A B}=V_{A}-V_{B}$।

ব্যাখ্যা: মনে করি, দুইটি গাড়ি $A$ ও $B$ এর বেগ যথাক্রমে 10 মিটার/সেকেন্ড ও 8 মিটার/সেকেন্ড এবং তাদের দিক একই। $B$ এর সাপেক্ষে $A$ এর আপেক্ষিক বেগ এর অর্থ হচ্ছে $B$ গাড়ির একজন লোক $A$ গাড়িকে কত বেগে চলতে দেখবে। $B$ এর সাপেক্ষে $A$ এর আপেক্ষিক বেগ বের করার জন্য $A$ এর বেগ থেকে $B$ এর বেগ বিয়োগ করতে হবে।

∴ $B$ এর সাপেক্ষে $A$ এর আপেক্ষিক বেগ $=V_{A B}=(10-8)=2$ মিটার/সেকেন্ড

অসদৃশ অসমান্তরাল বেগের সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ:

আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করতে হলে যার সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করা হবে তাকে স্থির ধরা হয়।

মনে করি, $O$ বিন্দুতে $A$ ও $B$ বস্তু কণাদ্বয়ের উপর ক্রিয়ারত দুইটি বেগ যথাক্রমে $V_{A}$ এবং $V_{B}$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $=\alpha$। A এর বেগ $=V_{A}$ এবং $B$ এর বেগ $=V_{B}$

$B$ বস্তুকে স্থির করতে হলে $O$ বিন্দুতে $-V_{B}$ বেগ প্রয়োগ করতে হবে।

সুতরাং $B$ বস্তুর সাপেক্ষে $A$ বস্তুর আপেক্ষিক বেগ, $V_{A B}=V_{A}+\left(-V_{B}\right)$

$\therefore\left|V_{A B}\right|=\sqrt{V_{A}^{2}+V_{B}^{2}+2 V_{A} V_{B} \cos (\pi-\alpha)}$ 

$\quad \quad \quad =\sqrt{V_{A}{ }^{2}+V_{B}{ }^{2}+2 V_{A} V_{B} \cos \alpha}$

এবং যদি $V_{A}$ বেগের সাথে লব্ধি বেগ $\theta$ কোন উৎপন্ন করে তবে 

$\tan \theta=\frac{V_{B} \sin (\pi-\alpha)}{V_{A}+V_{B} \cos (\pi-\alpha)}=\frac{V_{B} \sin \alpha}{V_{A}-V_{B} \cos \alpha}$

$\therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{V_{B} \sin \alpha}{V_{A}-V_{B} \cos \alpha}$

অনুসিদ্ধান্ত: 

(1) লব্ধি বেগের সাথে $V_{B}$ বেগের আনতি $=\alpha+\theta=\alpha+\tan ^{-1} \frac{V_{B} \sin \alpha}{V_{A}-V_{B} \cos \alpha}$

(2) B বস্তুর প্রকৃত বেগ $V_{B}$ এবং B বস্তুর সাপেক্ষে A বস্তুর বেগ $V_{AB}$ হলে, A বস্তুর প্রকৃত বেগ, $V_{A}=V_{A B}+V_{B}$

ব্যাখ্যা: ধরি গাড়ির বেগ $V_{C}$ এবং ট্রাকের বেগ $V_{T}$। গাড়ির সাপেক্ষে ট্রাকের বেগ $V_{TC}$ নির্ণয়ের জন্য আমাদের ট্রাকের বেগ $V_{T}$ থেকে গাড়ির বেগ $V_{C}$ বিয়োগ করতে হবে। 

অর্থাৎ $V_{T C}=V_{T}+\left(-V_{C}\right)$ এবং $V_{T}=V_{T C}+V_{C}$

লক্ষ্য রাখতে হবে যে এটা ভেক্টর বিয়োগ শুধু ট্রাকের সাংখ্যিক মান থেকে গাড়ির বেগের সাংখ্যিক মান বিয়োগ করলে চলবে না। অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত কোণ বিবেচনা করতে হবে। 

[বি: দ্র: যার সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ বের করতে হবে তার বেগকে বিয়োগ করতে হবে।]

সরলরেখায় সমত্বরণে চলমান বস্তুকণার গতিসূত্রসমূহ (Formulae of a particle moving along a straight line with constant acceleration)

কোনো বস্তুকণা $u$ আদিবেগে $t$ সময়ে $f$ সমত্বরণে চলে $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে $v$ বেগ প্রাপ্ত হলে গতির সমীকরণসমূহ নিম্নরূপ:

সমত্বরণের ক্ষেত্রে	সমমন্দনের ক্ষেত্রে
$v=u+f t$ $s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}$ $v^{2}=u^{2}+2 f s$	$v=u-f t$ $s=u t-\frac{1}{2} f t^{2}$ $v^{2}=u^{2}-2 f s$

প্রমাণ কর: $v=u+f t$

মনে করি, কোনো বস্তুকণা $O$ বিন্দু থেকে $u$ আদি বেগে $f$ সমত্বরণে $t$ সময়ে $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে $P$ বিন্দুতে $v$ বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার বস্তুকণাটি অতিক্ষুদ্র $\delta t$ সময়ে $\delta s$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

তাহলে, বস্তুকণাটি $t+\delta t$ সময়ে $s+\delta s$ দূরত্ব অতিক্রম করে $Q$ বিন্দুতে পৌছে $v+\delta v$ বেগ প্রাপ্ত হয়।

আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে।

P বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ, $\displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{v+\delta v-v}{t+\delta t-t}$

বা, $\displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta t}$ বা, $f=\frac{d v}{d t}$ বা, $d v=f d t$

যখন $t=0$ তখন $v=u$ এবং যখন $t=t$ তখন $v=v$উক্ত সীমায় যোগজীকরণ করে পাই, 

$\int_{u}^{v} d v=\int_{0}^{t} f d t$

বা, $[v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}$

বা, $v-u=f(t-0)$

$\therefore v=u+f t$

প্রমাণ কর: $s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}$

মনে করি, কোনো বস্তুকণা $O$ বিন্দু থেকে $u$ আদি বেগে $f$ সমত্বরণে $t$ সময়ে $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে $P$ বিন্দুতে $v$ বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার বস্তুকণাটি অতিক্ষুদ্র $\delta t$ সময়ে $\delta s$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

তাহলে, বস্তুকণাটি $t+\delta t$ সময়ে $s+\delta s$ দূরত্ব অতিক্রম করে $Q$ বিন্দুতে পৌছে $v+\delta v$ বেগ প্রাপ্ত হয়।

আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে।

$P$ বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ, $\displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{v+\delta v-v}{t+\delta t-t}$

বা, $\displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta t}$ বা, $f=\frac{d v}{d t}$ বা, $d v=f d t$

যখন $t=0$ তখন $v=u$ এবং যখন $t=t$ তখন $v=v$উক্ত সীমায় যোগজীকরণ করে পাই, 

$\int_{u}^{v} d v=\int_{0}^{t} f d t$

বা, $[v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}$

বা, $v-u=f(t-0)$

বা, $v=u+f t \ldots \ldots(i)$

আবার, আমরা জানি, সরণের পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে। সুতরাং $P$ বস্তুকণাটির বেগ, 

$\displaystyle v=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{s+\delta s-s}{t+\delta t-t}$

বা, $\displaystyle v=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta s}{\delta t}$

বা, $v=\frac{d s}{d t}$

বা, $d s=v d t$

বা, $d s=(u+f t) d t \quad  ...(ii)$ $\quad [(i)$ হতে $v=u+f t]$

যখন $t=0$ তখন $s=0$ এবং যখন $t=t$ তখন $s=s$উক্ত সীমায় যোগজীকরণ করে পাই, 

$\int_{0}^{s} d s=\int_{0}^{t}(u+f t) d t$

বা, $\int_{0}^{s} d s=u \int_{0}^{t} d t+f \int_{0}^{t} t d t$

বা, $[s]_{0}^{s}=u[t]_{0}^{t}+f\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{t}$

বা, $s=u t+\frac{1}{2} f\left(t^{2}-0\right)$

$\therefore s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}$

সমত্বরণে $u$ আদিবেগে কোনো চলমান বস্তুকণা $t$ সময় পরে $v$ বেগ প্রাপ্ত হলে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s=\left(\frac{u+v}{2}\right) t$

প্রমাণ: আমরা জানি, কোনো বস্তুকণা $u$ আদিবেগে $f$ সমত্বরণে $t$ সময় পরে $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে $v$ বেগ প্রাপ্ত হলে, 

$s=u t+\frac{1}{2} f t^{2} \quad ... \quad ...(i)$

এবং $v=u+f t \quad ... \quad ... (ii)$

এখন, $(i) \Rightarrow s=(2 u+f t) \frac{t}{2}=\{u+(u+f t)\} \frac{t}{2}=\left(\frac{u+v}{2}\right) t$ [$(ii)$ হতে] 

      = গড়বেগ $\times$ সময়

অতএব, সমত্বরণে চলমান যেকোনো বস্তুকণার কোনো নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব = গড়বেগ $\times$ সময়

প্রমাণ কর: $v^{2}=u^{2}+2 f s$

মনে করি, কোনো বস্তুকণা $O$ বিন্দু থেকে $u$ আদি বেগে $f$ সমত্বরণে $t$ সময়ে $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে $P$ বিন্দুতে $v$ বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার বস্তুকণাটি অতিক্ষুদ্র $\delta t$ সময়ে $\delta s$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

তাহলে, বস্তুকণাটি $t+\delta t$ সময়ে $s+\delta s$ দূরত্ব অতিক্রম করে Q বিন্দুতে পৌছে $v+\delta v$ বেগ প্রাপ্ত হয়।

আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। $P$ বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ, 

$\displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{v+\delta v-v}{t+\delta t-t}$

বা, $\displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta t}$

বা, $f=\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}$

বা, $f=\frac{d v}{d s} \cdot v$ [∵P বিন্দুতে বস্তুকণাটির বেগ $v=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{s+\delta s-s}{t+\delta t-t}=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta s}{\delta t}=\frac{d s}{d t}]$

বা, vdv=fds

যখন আদিবেগ $v = u$ তখন $s = 0$ এবং যখন শেষ বেগ $v = v$ তখন $s = s$ 

উক্ত সীমার মধ্যে যোগজীকরণ করে পাই,

$\int_{0}^{s} f d s=\int_{u}^{v} v d v$
বা, $f[s]_{0}^{s}=\left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{u}^{v}$
বা, $f[s-0]=\frac{1}{2}\left[v^{2}-u^{2}\right]$
বা, $2 f s=v^{2}-u^{2}$
$\therefore v^{2}=u^{2}+2 f s$

 

বিশেষ এক সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব (Travelled distance in particular second)

t-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব : $s_{t h}=u+\frac{1}{2} f(2 t-1)$

প্রমাণ: মনে করি, কোনো বস্তুকণা $u$ আদিবেগে $t$ সময়ে $f$ সমত্বরণে $s$ দূরত্ব অতিক্রম করে।

গতির সমীকরণ হতে পাই, $s_{t}=u t+\frac{1}{2} f t^{2}$

$(t - 1)$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{t-1}=u(t-1)+\frac{1}{2} f(t-1)^{2}$

$t$-তম সেকেন্ডে কোনো বস্তুকণার অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করতে হলে $t$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব থেকে $(t-1)$ সেকেন্ডের অতিক্রান্ত দূরত্ব বিয়োগ করতে হবে। $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_{\text {th }}$ হলে,

বা, $s_{t h}=s_{t}-s_{t-1}$

বা, $s_{t h}=u t+\frac{1}{2} f t^{2}-\left\{u(t-1)+\frac{1}{2} f(t-1)^{2}\right\}$

বা, $s_{t h}=u t+\frac{1}{2} f t^{2}-u(t-1)-\frac{1}{2} f(t-1)^{2}$

বা, $s_{t h}=u(t-t+1)+\frac{1}{2} f\left(t^{2}-t^{2}+2 t-1\right)$

বা, $s_{t h}=u+\frac{1}{2} f(2 t-1)$

বিকল্প পদ্ধতি: মনে করি, একটি চলমান বস্তকণা $u$ আদিবেগে এবং $f$ সুষম ত্বরণে যাত্রা করে $t$ সেকেন্ড পর $v$ বেগ অর্জন করে।

আমরা পাই, $d s=v d t=(u+f t) d t$ 

$\therefore t$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_{t}=\int_{t-1}^{t}(u+f t) d t$

$\begin{array}{l} \text { বা, } s_{t}=\left[u t+\frac{1}{2} f t^{2}\right]_{t-1}^{t} \\ \text { বা, } s_{t}=\left(u t+\frac{1}{2} f t^{2}\right)-\left\{u(t-1)+\frac{1}{2} f(t-1)^{2}\right\} \\ \text { বা, } s_{t}=u+\frac{1}{2} f(2 t-1) \end{array}$

 

দ্রষ্টব্য: মন্দনের ক্ষেত্রে $s_{t}=u-\frac{1}{2} f(2 t-1)$