আপেক্ষিক বেগ | Relative velocity
- দুটি গতিশীল বস্তুকণার একটির সাপেক্ষে অপরটির বেগকে এর আপেক্ষিক বেগ বলে।
- দুটি গতিবেগ পরস্পর \alpha আনত কোণে ক্রিয়া করলে যে বস্তুর সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করতে হবে তার বেগের সমান ও বিপরীতমুখী একটি বেগ অন্য বস্তুর বেগের ক্রিয়ারেখায় প্রয়োগ করতে হবে। এবার এই প্রযুক্ত বেগ এবং অন্য বস্তুর বেগের লব্ধিই নির্ণেয় আপেক্ষিক বেগ।
- দুটি বস্তু u ও v বেগে একই দিকে অগ্রসর হলে একটির সাপেক্ষে অপরটির আপেক্ষিক বেগ =u-v \quad [u>v]
- দুটি বস্তু u ও v বেগে বিপরীত দিকে অগ্রসর হলে একটির সাপেক্ষে অপরটির আপেক্ষিক বেগ =u+v
আপেক্ষিক বেগ (Relative velocity)
দুইটি গতিশীল বস্তুকণার প্রথমটির সাপেক্ষে দ্বিতীয়টির সরণের পরিবর্তনের হারকে প্রথম বস্তুকণার সাপেক্ষে দ্বিতীয় বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ বলা হয়। মনে করি, A ও B দুইটি গতিশীল বস্তুকণা। A বস্তুকণা হতে B বস্তুকণাকে পর্যবেক্ষণ করলে যে বেগ পরিলক্ষিত হয় তা হবে A বস্তুকণার সাপেক্ষে B বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ।
দুইটি সদৃশ সমান্তরাল রেখা বরাবর গতিশীল কণার আপেক্ষিক বেগ:
চিত্রে P Q ও R S সদৃশ সমান্তরাল রেখা বরাবর V_{A} ও V_{B} বেগ যথাক্রমে A ও B বস্তুকণার উপর ক্রিয়ারত।
এখন, P Q বরাবর -V_{A} বেগ প্রয়োগ করলে A বস্তুকণার বেগ শূন্য এবং R S বরাবর -V_{A} বেগ প্রয়োগ করলে B বস্তুকণার বেগ হবে V_{B}-V_{A}।
∴ A এর সাপেক্ষে B এর আপেক্ষিক বেগ V_{B A}=V_{B}-V_{A}. অনুরূপভাবে -V_{A} এর পরিবর্তে -V_{B} বেগ প্রয়োগ করা হলে B বস্তুকণার বেগশূন্য এবং A বস্তুকণার বেগ V_{A}-V_{B}; যা B বস্তুকণার সাপেক্ষে A বস্তুকণার আপেক্ষিক বেগ।
∴ B এর সাপেক্ষে A এর আপেক্ষিক বেগ V_{A B}=V_{A}-V_{B}।
ব্যাখ্যা: মনে করি, দুইটি গাড়ি A ও B এর বেগ যথাক্রমে 10 মিটার/সেকেন্ড ও 8 মিটার/সেকেন্ড এবং তাদের দিক একই। B এর সাপেক্ষে A এর আপেক্ষিক বেগ এর অর্থ হচ্ছে B গাড়ির একজন লোক A গাড়িকে কত বেগে চলতে দেখবে। B এর সাপেক্ষে A এর আপেক্ষিক বেগ বের করার জন্য A এর বেগ থেকে B এর বেগ বিয়োগ করতে হবে।
∴ B এর সাপেক্ষে A এর আপেক্ষিক বেগ =V_{A B}=(10-8)=2 মিটার/সেকেন্ড
অসদৃশ অসমান্তরাল বেগের সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ:
আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করতে হলে যার সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করা হবে তাকে স্থির ধরা হয়।
মনে করি, O বিন্দুতে A ও B বস্তু কণাদ্বয়ের উপর ক্রিয়ারত দুইটি বেগ যথাক্রমে V_{A} এবং V_{B} এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ =\alpha। A এর বেগ =V_{A} এবং B এর বেগ =V_{B}
B বস্তুকে স্থির করতে হলে O বিন্দুতে -V_{B} বেগ প্রয়োগ করতে হবে।
সুতরাং B বস্তুর সাপেক্ষে A বস্তুর আপেক্ষিক বেগ, V_{A B}=V_{A}+\left(-V_{B}\right)
\therefore\left|V_{A B}\right|=\sqrt{V_{A}^{2}+V_{B}^{2}+2 V_{A} V_{B} \cos (\pi-\alpha)}
\quad \quad \quad =\sqrt{V_{A}{ }^{2}+V_{B}{ }^{2}+2 V_{A} V_{B} \cos \alpha}
এবং যদি V_{A} বেগের সাথে লব্ধি বেগ \theta কোন উৎপন্ন করে তবে
\tan \theta=\frac{V_{B} \sin (\pi-\alpha)}{V_{A}+V_{B} \cos (\pi-\alpha)}=\frac{V_{B} \sin \alpha}{V_{A}-V_{B} \cos \alpha}
\therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{V_{B} \sin \alpha}{V_{A}-V_{B} \cos \alpha}
অনুসিদ্ধান্ত:
(1) লব্ধি বেগের সাথে V_{B} বেগের আনতি =\alpha+\theta=\alpha+\tan ^{-1} \frac{V_{B} \sin \alpha}{V_{A}-V_{B} \cos \alpha}
(2) B বস্তুর প্রকৃত বেগ V_{B} এবং B বস্তুর সাপেক্ষে A বস্তুর বেগ V_{AB} হলে, A বস্তুর প্রকৃত বেগ, V_{A}=V_{A B}+V_{B}
ব্যাখ্যা: ধরি গাড়ির বেগ V_{C} এবং ট্রাকের বেগ V_{T}। গাড়ির সাপেক্ষে ট্রাকের বেগ V_{TC} নির্ণয়ের জন্য আমাদের ট্রাকের বেগ V_{T} থেকে গাড়ির বেগ V_{C} বিয়োগ করতে হবে।
অর্থাৎ V_{T C}=V_{T}+\left(-V_{C}\right) এবং V_{T}=V_{T C}+V_{C}
লক্ষ্য রাখতে হবে যে এটা ভেক্টর বিয়োগ শুধু ট্রাকের সাংখ্যিক মান থেকে গাড়ির বেগের সাংখ্যিক মান বিয়োগ করলে চলবে না। অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত কোণ বিবেচনা করতে হবে।
[বি: দ্র: যার সাপেক্ষে আপেক্ষিক বেগ বের করতে হবে তার বেগকে বিয়োগ করতে হবে।]
সরলরেখায় সমত্বরণে চলমান বস্তুকণার গতিসূত্রসমূহ (Formulae of a particle moving along a straight line with constant acceleration)
কোনো বস্তুকণা u আদিবেগে t সময়ে f সমত্বরণে চলে s দূরত্ব অতিক্রম করে v বেগ প্রাপ্ত হলে গতির সমীকরণসমূহ নিম্নরূপ:
| সমত্বরণের ক্ষেত্রে | সমমন্দনের ক্ষেত্রে |
|
|
প্রমাণ কর: v=u+f t
মনে করি, কোনো বস্তুকণা O বিন্দু থেকে u আদি বেগে f সমত্বরণে t সময়ে s দূরত্ব অতিক্রম করে P বিন্দুতে v বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার বস্তুকণাটি অতিক্ষুদ্র \delta t সময়ে \delta s দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি t+\delta t সময়ে s+\delta s দূরত্ব অতিক্রম করে Q বিন্দুতে পৌছে v+\delta v বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে।
P বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ, \displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{v+\delta v-v}{t+\delta t-t}
বা, \displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta t} বা, f=\frac{d v}{d t} বা, d v=f d t
যখন t=0 তখন v=u এবং যখন t=t তখন v=vউক্ত সীমায় যোগজীকরণ করে পাই,
\int_{u}^{v} d v=\int_{0}^{t} f d t
বা, [v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}
বা, v-u=f(t-0)
\therefore v=u+f t
প্রমাণ কর: s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}
মনে করি, কোনো বস্তুকণা O বিন্দু থেকে u আদি বেগে f সমত্বরণে t সময়ে s দূরত্ব অতিক্রম করে P বিন্দুতে v বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার বস্তুকণাটি অতিক্ষুদ্র \delta t সময়ে \delta s দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি t+\delta t সময়ে s+\delta s দূরত্ব অতিক্রম করে Q বিন্দুতে পৌছে v+\delta v বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে।
P বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ, \displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{v+\delta v-v}{t+\delta t-t}
বা, \displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta t} বা, f=\frac{d v}{d t} বা, d v=f d t
যখন t=0 তখন v=u এবং যখন t=t তখন v=vউক্ত সীমায় যোগজীকরণ করে পাই,
\int_{u}^{v} d v=\int_{0}^{t} f d t
বা, [v]_{u}^{v}=f[t]_{0}^{t}
বা, v-u=f(t-0)
বা, v=u+f t \ldots \ldots(i)
আবার, আমরা জানি, সরণের পরিবর্তনের হারকে বেগ বলে। সুতরাং P বস্তুকণাটির বেগ,
\displaystyle v=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{s+\delta s-s}{t+\delta t-t}
বা, \displaystyle v=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta s}{\delta t}
বা, v=\frac{d s}{d t}
বা, d s=v d t
বা, d s=(u+f t) d t \quad ...(ii) \quad [(i) হতে v=u+f t]
যখন t=0 তখন s=0 এবং যখন t=t তখন s=sউক্ত সীমায় যোগজীকরণ করে পাই,
\int_{0}^{s} d s=\int_{0}^{t}(u+f t) d t
বা, \int_{0}^{s} d s=u \int_{0}^{t} d t+f \int_{0}^{t} t d t
বা, [s]_{0}^{s}=u[t]_{0}^{t}+f\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{t}
বা, s=u t+\frac{1}{2} f\left(t^{2}-0\right)
\therefore s=u t+\frac{1}{2} f t^{2}
সমত্বরণে u আদিবেগে কোনো চলমান বস্তুকণা t সময় পরে v বেগ প্রাপ্ত হলে অতিক্রান্ত দূরত্ব s=\left(\frac{u+v}{2}\right) t
প্রমাণ: আমরা জানি, কোনো বস্তুকণা u আদিবেগে f সমত্বরণে t সময় পরে s দূরত্ব অতিক্রম করে v বেগ প্রাপ্ত হলে,
s=u t+\frac{1}{2} f t^{2} \quad ... \quad ...(i)
এবং v=u+f t \quad ... \quad ... (ii)
এখন, (i) \Rightarrow s=(2 u+f t) \frac{t}{2}=\{u+(u+f t)\} \frac{t}{2}=\left(\frac{u+v}{2}\right) t [(ii) হতে]
= গড়বেগ \times সময়
অতএব, সমত্বরণে চলমান যেকোনো বস্তুকণার কোনো নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব = গড়বেগ \times সময়
প্রমাণ কর: v^{2}=u^{2}+2 f s
মনে করি, কোনো বস্তুকণা O বিন্দু থেকে u আদি বেগে f সমত্বরণে t সময়ে s দূরত্ব অতিক্রম করে P বিন্দুতে v বেগ প্রাপ্ত হয়। আবার বস্তুকণাটি অতিক্ষুদ্র \delta t সময়ে \delta s দূরত্ব অতিক্রম করে।
তাহলে, বস্তুকণাটি t+\delta t সময়ে s+\delta s দূরত্ব অতিক্রম করে Q বিন্দুতে পৌছে v+\delta v বেগ প্রাপ্ত হয়।
আমরা জানি, সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে। P বিন্দুতে বস্তুকণাটির ত্বরণ,
\displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{v+\delta v-v}{t+\delta t-t}
বা, \displaystyle f=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta v}{\delta t}
বা, f=\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}
বা, f=\frac{d v}{d s} \cdot v [∵P বিন্দুতে বস্তুকণাটির বেগ v=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{s+\delta s-s}{t+\delta t-t}=\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta s}{\delta t}=\frac{d s}{d t}]
বা, vdv=fds
যখন আদিবেগ v = u তখন s = 0 এবং যখন শেষ বেগ v = v তখন s = s
উক্ত সীমার মধ্যে যোগজীকরণ করে পাই,
\int_{0}^{s} f d s=\int_{u}^{v} v d v
বা, f[s]_{0}^{s}=\left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{u}^{v}
বা, f[s-0]=\frac{1}{2}\left[v^{2}-u^{2}\right]
বা, 2 f s=v^{2}-u^{2}
\therefore v^{2}=u^{2}+2 f s
বিশেষ এক সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব (Travelled distance in particular second)
t-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব : s_{t h}=u+\frac{1}{2} f(2 t-1)
প্রমাণ: মনে করি, কোনো বস্তুকণা u আদিবেগে t সময়ে f সমত্বরণে s দূরত্ব অতিক্রম করে।
গতির সমীকরণ হতে পাই, s_{t}=u t+\frac{1}{2} f t^{2}
(t - 1) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s_{t-1}=u(t-1)+\frac{1}{2} f(t-1)^{2}
t-তম সেকেন্ডে কোনো বস্তুকণার অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করতে হলে t সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব থেকে (t-1) সেকেন্ডের অতিক্রান্ত দূরত্ব বিয়োগ করতে হবে। t-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব s_{\text {th }} হলে,
বা, s_{t h}=s_{t}-s_{t-1}
বা, s_{t h}=u t+\frac{1}{2} f t^{2}-\left\{u(t-1)+\frac{1}{2} f(t-1)^{2}\right\}
বা, s_{t h}=u t+\frac{1}{2} f t^{2}-u(t-1)-\frac{1}{2} f(t-1)^{2}
বা, s_{t h}=u(t-t+1)+\frac{1}{2} f\left(t^{2}-t^{2}+2 t-1\right)
বা, s_{t h}=u+\frac{1}{2} f(2 t-1)
বিকল্প পদ্ধতি: মনে করি, একটি চলমান বস্তকণা u আদিবেগে এবং f সুষম ত্বরণে যাত্রা করে t সেকেন্ড পর v বেগ অর্জন করে।
আমরা পাই, d s=v d t=(u+f t) d t
\therefore t তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, s_{t}=\int_{t-1}^{t}(u+f t) d t
\begin{array}{l} \text { বা, } s_{t}=\left[u t+\frac{1}{2} f t^{2}\right]_{t-1}^{t} \\ \text { বা, } s_{t}=\left(u t+\frac{1}{2} f t^{2}\right)-\left\{u(t-1)+\frac{1}{2} f(t-1)^{2}\right\} \\ \text { বা, } s_{t}=u+\frac{1}{2} f(2 t-1) \end{array}
দ্রষ্টব্য: মন্দনের ক্ষেত্রে s_{t}=u-\frac{1}{2} f(2 t-1)