লব্ধি বল (Resultant Force)

বলের লব্ধি ও অংশক (Resultant of Force and Components)

কোনো বস্তুকণার উপর একই সময়ে একাধিক বল কার্যরত হলে, এদের সম্মিলিত ক্রিয়াফল যদি একটি মাত্র বলের বা কোনো একক বলের ক্রিয়াফলের সমান হয়, তবে ঐ একটিমাত্র বলকে বা একক বলকে একাধিক বলের লব্ধি বলে এবং একাধিক বলের প্রত্যেকটিকে লব্ধি বলের অংশক বা উপাংশ বলে। চিত্রে O বিন্দুতে ক্রিয়ারত P ও Q বল দুইটির সম্মিলিত ক্রিয়াফল একটি মাত্র R বলের ক্রিয়াফলের সমান হলে, R কে P ও Q এর লব্ধি এবং P ও Q এর প্রত্যেককে R এর অংশক বা উপাংশ বলে।
ভেক্টর প্রতীকের সাহায্যে লব্ধি, \bar{R}=\bar{P}+\bar{Q}

দুইটি বলের লব্ধি (Resultant of two forces)   

একই সময় কোনো বস্তুর উপর দুইটি বল প্রযুক্ত হলে, এই বলদ্বয়ের সম্মিলিত ক্রিয়াফল যদি বস্তুকণাটির উপর নির্দিষ্ট দিকে একটি মাত্র বলের ক্রিয়াফলের সমান হয়, তবে ঐ একটি মাত্র বলকে প্রযুক্ত বল দুইটির লব্ধি বল বলে। 

চিত্রে O একটি বস্তুকণা এবং O তে ক্রিয়ারত দুইটি বল P ও Q এর সম্মিলিত ক্রিয়াফল অপর বল R এর সমান হলে, R বলকে P ও Q বল দুইটির লব্ধি বল বলে। এখানে R=P+Q

বাস্তব পরিচয় (Identity)

দুর্ঘটনাবশত: একটি রেলগাড়ী ট্রেন লাইনচ্যুত হয়ে পার্শ্বে পড়ে আছে। এই গাড়ীখানা লাইনের উপরে উঠানোর জন্য কোনো রিলিফ ট্রেনের দুইটি ক্রেন একত্রে ব্যবহার করতে হয়। কিন্তু অন্য আর একটি রিলিফ ট্রেন আছে যার একটি ক্রেন ব্যবহার করেই ঐ রেলগাড়ীটি লাইনের উপরে উঠানো যায়। এখানে পূর্বোক্ত ক্রেন দুটির লব্ধি বল হলো পরবর্তী একটি ক্রেনের বল।

কাজ (Work): দুইটি বলের লব্ধি বলের মান কখন শূন্য হয়, এরকম কয়েকটি উদাহরণ দাও।

দুইটি বলের লব্ধির মান ও দিক (Magnitude and direction of resultant of two forces)

একই সরলরেখায় একই দিকে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের লব্ধির মান হবে বলদ্বয়ের সমষ্টির সমান এবং দিক হবে বলদ্বয়ের দিক বরাবর। 

আবার একই সরলরেখায় বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের লব্ধির মান হবে বলদ্বয়ের অন্তরের সমান এবং দিক হবে বৃহত্তর মানের দিক বরাবর।

PICTURE MISSING

১ম চিত্রানুসারে, P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি R হলে R = P + Q এবং দিক হবে প্রদত্ত P ও Q এর দিকে।

২য় চিত্রানুসারে, P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি R এবং P>Q হলে, R=P-Q এবং R এর দিক হবে P এর দিকে।

আবার, \mathrm{Q}>\mathrm{P} হলে R=Q-P এবং R এর দিক হবে Q এর দিকে।

কোনো বস্তুর একটি বিন্দুতে দুইটি বল একই সময়ে ভিন্ন ভিন্ন দিকে ক্রিয়াশীল হলে, তাদের লব্ধি “বলের সামান্তরিক সূত্রের” দ্বারা নির্ণয় করা হয়।

বলের সামান্তরিক সূত্র (Parallelogram law of forces)    

বর্ণনা (Statement): যদি কোন সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি বলের মান ও দিক সূচিত হয় তবে তাদের লব্ধির মান ও দিক সামান্তরিকের উক্ত বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী কর্ণ দ্বারা সূচিত হবে। 

ব্যাখ্যা (Explanation): মনে করি, OABC সামান্তরিকের O বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বল P ও Q যথাক্রমে সন্নিহিত বাহু OA ও OC দ্বারা সূচিত। 

অর্থাৎ ভেক্টর সূচকে প্রকাশ করলে \overrightarrow{O A}=P এবং \overrightarrow{O C}=Q। এখানে P ও Q উভয়েই ভেক্টর রাশি। সুতরাং ভেক্টর যোজনের সামান্তরিক বিধি অনুসারে তাদের যোগফল বা লব্ধি সামান্তরিক OABC এর কর্ণ OB দ্বারা সূচিত হবে। ধরি, P ও Q এর লব্ধি R; তাহলে R এর মান ও দিক কর্ণ OB দ্বারা সূচিত হবে। 

ভেক্টর সূচকে প্রকাশ করলে পাই, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B} অর্থাৎ P + Q = R

জেনে রাখো

বিখ্যাত বৃটিশ বিজ্ঞানী স্যার আইজাক নিউটন ১৬৮৭ সালে বলের সামান্তরিক সূত্রটি বর্তমান আকারে লিপিবদ্ধ করেন।

পরস্পর \alpha কোণে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়    

মনে করি, O বিন্দুতে একটি কণার উপর একই সময়ে \alpha কোণে দুইটি বল P ও Q ক্রিয়াশীল। OA এবং OB রেখাংশ দ্বারা যথাক্রমে P ও Q বলের মান ও দিক সূচিত করা হলো। এখানে \angle A O B=\alpha, O A C B সামান্তরিক অঙ্কন করি।

ধরি P ও Q বল দুইটির লব্ধি বল R এবং এই বলটি P বলের সাথে \theta  কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে বলের সামান্তরিক সূত্র অনুসারে OC কর্ণটি R এর মান ও দিক নির্দেশ করে। 

১ম চিত্রানুসারে, OA এর বর্ধিতাংশ এর উপর CD লম্ব অঙ্কন করি,

তাহলে \triangle A D C হতে, \cos C A D=\frac{A D}{A C} বা, \cos \alpha=\frac{A D}{A C}   [\because A C \| O B]

বা, A D=Q \cos \alpha \quad[\because Q=O B=A C]

\sin \alpha=\frac{C D}{A C} বা, C D=Q \sin \alpha এবং O D=O A+A D=P+Q \cos \alpha

২য় চিত্রানুসারে, OA এর উপর CD লম্ব অঙ্কন করি।

\triangle A C D হতে, \cos C A D=\frac{A D}{A C} বা, \cos (\pi-\alpha)=\frac{A D}{A C} বা, A D=-Q \cos \alpha

\sin C A D=\frac{C D}{A C} বা, C D=Q \sin \alpha এবং O D=O A-A D=P+Q \cos \alpha

এখন উভয় চিত্রের ক্ষেত্রেই, \triangle O C D হতে পাই, O C^{2}=O D^{2}+C D^{2}

বা, R^{2}=(P+Q \cos \alpha)^{2}+(Q \sin \alpha)^{2}=P^{2}+2 P Q \cos \alpha+Q^{2} \cos ^{2} \alpha+Q^{2} \sin ^{2} \alpha

=P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha 

\therefore R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha} , যা লব্ধির মান। 

আবার, P ও R বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \theta অর্থাৎ \angle C O D=\theta

সুতরাং \triangle O C D হতে পাই, \tan \theta=\frac{C D}{O D}=\frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha}

\therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha} যা লব্ধির দিক নির্দেশ করে। 

বিকল্প পদ্ধতি (ভেক্টর পদ্ধতি) Alternative method (vector method):

PICTURE MISSING

এখানে P,Q ও R বল তিনটির প্রত্যেকেই ভেক্টর এবং যথাক্রমে \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B} ও \overrightarrow{O C} দ্বারা সূচিত। 

সুতরাং \triangle O A C হতে পাই, \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C} বা, \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}

\therefore R=P+Q \quad \ldots \ldots(i)

বা, R \cdot R=(P+Q) \cdot(P+Q)=P \cdot P+2 P \cdot Q+Q \cdot Q

বা, R^{2}=P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha

∴ লব্ধির মান R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha}  

আবার, \text { P. } R=P \cdot(P+Q)=P \cdot P+P \cdot Q=P^{2}+P Q \cos \alpha   [(i) নং দ্বারা]

বা, P R \cos \theta=P^{2}+P Q \cos \alpha 

বা, R \cos \theta=P+Q \cos \alpha \quad \ldots . . .(i i)

এবং P \times R=P \times(P+Q)=P \times P+P \times Q=0+P \times Q

বা, P R \sin \theta=P Q \sin \alpha \quad[\because P \times P=0]

বা, R \sin \theta=Q \sin \alpha           … … (iii)

সমীকরণ (ii) ও (iii) হতে পাই, \tan \theta=\frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha}

\therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha} যা লব্ধির দিক নির্দেশ করে। 

দ্রষ্টব্য: \tan \theta=\frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha} সূত্রটি কেবলমাত্র P+Q \cos \alpha \neq 0 এর জন্য প্রযোজ্য।   

৩য় পদ্ধতি (3rd Method) :

PICTURE MISSING

O বিন্দুতে পরস্পর \alpha কোণে একই সময়ে ক্রিয়াশীল P ও Q দুইটি বল মানে ও দিকে যথাক্রমে OA ও OB দ্বারা সূচিত। OACB সামান্তরিকটি অঙ্কন করে O, C যোগ করি। তাহলে বলের সামান্তরিকের সূত্রানুসারে OC কর্ণটি বল দুইটির লব্ধির মান ও দিক সূচিত করবে। ধরি, বল দুইটির লব্ধির মান R, যা OA এর সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ \angle A O C=\theta

OB এর সমান ও সমান্তরাল বলে, AC একই বল Q কে সূচিত করে। এখানে \angle O A C=\pi-\alpha এবং \angle A C O=\alpha-\theta.

0<α<π সীমার মধ্যে \alpha এর যেকোনো মানের জন্য, OAC ত্রিভুজে কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই, 

O C^{2}=O A^{2}+A C^{2}-2 . O A \cdot A C \cos (\pi-\alpha) 

\Rightarrow R^{2}=P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha

\therefore R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha} , যা বল দুইটির লব্ধির মান। 

O A C ত্রিভুজে সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

\frac{O A}{\sin O C A}=\frac{A C}{\sin A O C} \Rightarrow \frac{P}{\sin (\alpha-\theta)}=\frac{Q}{\sin \theta}

\Rightarrow P \sin \theta=Q(\sin \alpha \cos \theta-\sin \theta \cos \alpha) \Rightarrow(P+Q \cos \alpha) \sin \theta=Q \sin \alpha \cos \theta   

\Rightarrow \tan \theta=\frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha}

\therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha} যা বল দুইটির লব্ধির দিক।

লব্ধি R বৃহত্তম হওয়ার শর্ত (Condition for maximum Resultant, R)

\Rightarrow R^{2}=P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha=(P+Q)^{2}-2 P Q(1-\cos \alpha)=(P+Q)^{2}-4 P Q \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}

\therefore \sin \frac{a}{2}=0 \Rightarrow \sin \frac{\alpha}{2}=\sin 0 \Rightarrow \alpha=0 হলে, R বৃহত্তম হবে।

অতএব, R বৃহত্তম হবে যখন α = 0 অর্থাৎ যখন P, Q বল দুইটি একই সরলরেখায় একই দিকে ক্রিয়া করে, এবং লব্ধির বৃহত্তম মান, R_max=P+Q

লব্ধি R ক্ষুদ্রতম হওয়ার শর্ত (Condition for minimum Resultant, R)

\Rightarrow R^{2}=P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos \alpha=(P-Q)^{2}+2 P Q(1+\cos \alpha)=(P-Q)^{2}+4 P Q \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}

\therefore \cos \frac{\alpha}{2}=0 \Rightarrow \cos \frac{a}{2}=\cos \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha=\pi হলে, R ক্ষুদ্রতম হবে। 

অতএব, R ক্ষুদ্রতম হবে যখন \alpha=\pi অর্থাৎ যখন P, Q বল দুইটি একই সরলরেখায় পরস্পর বিপরীত  দিকে ক্রিয়া করে, এবং লব্ধির ক্ষুদ্রতম মান, R_{\min }=P-Q,(P>Q)

বি.দ্র .: যদিও \pi=0 বা \alpha=\pi এর জন্য কোনো সামান্তরিক অঙ্কন করা যায় না, তথাপি \alpha \in[0, \pi] এর যেকোনো মানের জন্য বলের সামান্তরিক বিধান হতে প্রাপ্ত সূত্রসমূহ সত্য হবে।

কয়েকটি প্রয়োজনীয় অনুসিদ্ধান্ত  

• অনুসিদ্ধান্ত – 1: যখন P ও Q বলদ্বয় সমান ও একই রেখার বিপরীতমুখী, এ ক্ষেত্রে \pi=180^{\circ} এবং

R^{2}=P^{2}+P^{2}+2 P^{2} \cos 180^{\circ}=2 P^{2}-2 P^{2}=0 \quad[\because P=Q] \quad \therefore R=0

সুতরাং একই সরলরেখার একই বিন্দুতে বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল দুইটি সমান বলের লব্ধি শূন্য (0)। অর্থাৎ বলদ্বয়ের কোনো প্রভাব বস্তুকণার ওপর পড়ে না এ অবস্থাকে সাম্যাবস্থা (Equilibrium position) বলে।

• অনুসিদ্ধান্ত – 2: যখন P ও Q বলদ্বয় একই রেখায় ক্রিয়াশীল (মান সমান বা অসমান উভয় ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য); এক্ষেত্রে দুই ধরনের অবস্থা হতে পারে, একটি হল তাদের দিক একই অপরটি হল দিক ভিন্ন।

প্রথমত: P ও Q এর দিক একই হলে, \alpha=0^{\circ} এবং R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos 0^{0}}=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q}=P+Q

সুতরাং কোনো বিন্দুতে একই রেখায় একই দিকে একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের লব্ধি উক্ত বলদ্বয়ের সমষ্টির সমান এবং এটাই বৃহত্তম লব্ধি।

দ্বিতীয়ত: P ও Q এর দিক বিপরীত হলে, \alpha=180^{\circ} এবং R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos 180^{\circ}}=\sqrt{P^{2}+Q^{2}-2 P Q}=(P-Q); যখন P>Q

সুতরাং কোনো বিন্দুতে একই রেখায় বিপরীত দিকে একই সময়ে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের লব্ধি উক্ত বলদ্বয়ের অন্তরের সমান এবং এটাই ক্ষুদ্রতম লব্ধি।

P>Q হলে R=P-Q এবং P<Q হলে R=Q-P অর্থাৎ R এর দিক হবে বড়টির দিকে। 

• অনুসিদ্ধান্ত – 3: P⊥Q অর্থাৎ P ও Q সমকোণে ক্রিয়ারত হলে, \alpha=90^{\circ}  

এক্ষেত্রে R=\sqrt{P^{2}+Q^{2}+2 P Q \cos 90^{\circ}}=\sqrt{P^{2}+Q^{2}} এবং \tan \theta=\frac{Q}{P}

• অনুসিদ্ধান্ত – 4: P ও Q সমান হলে,

R=\sqrt{P^{2}+P^{2}+2 P^{2} \cos \alpha}=\sqrt{2 P^{2}(1+\cos \alpha)}=\sqrt{4 P^{2} \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=2 P \cos \frac{\alpha}{2}

এবং \tan \theta=\frac{P \sin \alpha}{P+P \cos \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2} \therefore \theta=\frac{\alpha}{2}

সুতরাং কোনো বিন্দুতে এই সময়ে ক্রিয়াশীল দুইটি সমান বলের লব্ধি বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।

• অনুসিদ্ধান্ত – 5: দুটি বলের মান একই হারে বৃদ্ধি বা হ্রাস করা হলে তাদের লব্ধির দিকের কোন পরিবর্তন হয় না:

ধরি, P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি R, P বলের সাথে \theta কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে \therefore \theta=\tan ^{-1} \frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha} 

এখন P ও Q বলদ্বয়কে একই হারে ‘a’ গুন করা হল এবং লব্ধি aP বলের সাথে \theta_{1} কোণ উৎপন্ন করে।  

তাহলে \theta_{1}=\tan ^{-1} \frac{a Q \sin \alpha}{a P+a Q \cos \alpha}=\tan ^{-1} \frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha}=\theta

অর্থাৎ লব্ধির দিক অপরিবর্তিত থাকে।

বি: দ্র: উভয়ক্ষেত্রেই P ও Q বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ অপরিবর্তিত বিবেচনা করা হয়েছে।