কাল দীর্ঘায়ন, দৈর্ঘ্য সংকোচন ও ভর বৃদ্ধি (Time dilation, length contraction and increase of mass)

আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে সময় প্রসারণ (Time dilation according to the theory of relativity)

কোনো জড় বা স্থির কাঠামোতে সংঘটিত ঘটনা উক্ত কাঠামো সাপেক্ষে গতিশীল অন্য কোনো কাঠামো থেকে লক্ষ্য করলে দেখা যাবে ঘটনার সময় ব্যবধান বৃদ্ধি পেয়েছে। এ বিষয়টিকে সময় প্রসারণ বা কাল দীর্ঘায়ন (Time dilation) বলে।

বুঝার সুবিধার্থে ধরা যাক মহাশূন্যে অবস্থানকারী কোনো ব্যক্তি মহাশূন্যযানে একটি ঘটনা t_0 সময় ধরে পর্যবেক্ষণ করলেন। ভূপৃষ্ঠ থেকে কোনো ব্যক্তি ওই একই ঘটনা t সময় ধরে পর্যবেক্ষণ করলেন। তাহলে দেখা যাবে যে, সময় t, সময় t_0 অপেক্ষা দীর্ঘতম হবে।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, S এবং S’ দুটি কাঠামো। এদের মধ্যে S স্থির কাঠামো। একে অচ-কাঠামো বলি। অপরটি S’ কাঠামো যা বেগে +ve X অক্ষের দিকে S কাঠামো সাপেক্ষে গতিশীল। একে চ-কাঠামো বলি।

 

ধরি চ-কাঠামোর x’ বিন্দুতে একটি ঘড়ি রয়েছে। উক্ত কাঠামোতে স্থিতিশীল একজন পর্যবেক্ষক কোনো ঘটনার সময় \mathrm{t}_{1}' নির্ণয় করলেন। অচ-কাঠামোর একজন পর্যবেক্ষক বেগে গতিশীল হওয়ায় ওই ঘটনার সময় t_1 নির্ণয় করলেন। এখন লরেঞ্জ-এর বিপরীত রূপান্তর সমীকরণ অনুসারে (Lorentz’s inverse transformation)

\mathrm{t}_{1}=\frac{\mathrm{t}_{1}{ }^{\prime}+\vartheta x^{\prime} / c^{2}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}           …           …              [1]

এখন t_0 সময় পর চ-কাঠামোর পর্যবেক্ষক দেখতে পাবে তার ঘড়ি অনুসারে সময় \mathrm{t}_{2}'’; অর্থাৎ \mathrm{t}_{0}=\mathrm{t}_{2}{ }^{\prime}-\mathrm{t}_{1}{ }^{\prime}\mathrm{t}_{2}=\frac{\mathrm{t}_{2}{ }^{\prime}+\vartheta x^{\prime} / c^{2}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}} কিন্তু অচ-কাঠামোর পর্যবেক্ষকের মতে তাঁর ঘড়ি অনুসারে সময় হলো t_2  এবং

\mathrm{t}_{2}=\frac{\mathrm{t}_{2}{ }^{\prime}+\vartheta x^{\prime} / c^{2}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}             …           …           [2]

সুতরাং এই পর্যবেক্ষকের কাছে ঘটনার সময় কাল

\mathrm{t}=\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}=\frac{\mathrm{t}_{2}{ }^{\prime}-\mathrm{t}_{1}{ }^{\prime}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}

\begin{array}{c} =\frac{\mathrm{t}_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}} \\ \therefore \mathrm{t}_{0}=\mathrm{t} \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}} \end{array}          …            …        [3]

সমীকরণ (3) হতে প্রমাণিত হয় যে t > t_0 অর্থাৎ গতিশীল কাঠামোতে সময় দীর্ঘ হয়। একে সময় প্রসারণ (Time dilation) বলে।

সিদ্বান্তঃ গতিশীল অবথায় থাকা ঘড়ি নিশ্চল অবস্থায় থাকা ঘড়ির চেয়ে ধীরে চলে। অর্থাৎ গতিশীল অবস্থায় থাকা ঘড়ির সময় সিথর অবস্থায় থাকা ঘড়ির চেয়ে \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।

আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে দৈর্ঘ্য সংকোচন (Length contraction according to the theory of relativity)

চিরায়ত বলবিদ্যা অনুসারে বস্তুর সাপেক্ষে পর্যবেক্ষকের বেগ বা পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে বস্তুর বেগ যাই হোক না কেন, সকল পর্যবেক্ষকের নিকট বস্তুর দৈর্ঘ্য একই থাকে। কিন্তু আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে বস্তু ও পর্যবেক্ষকের মধ্যে আপেক্ষিক বেগ থাকলে বর দৈর্ঘ্য পর্যবেক্ষকের কাছে কম বলে মনে হয়। একে দৈর্ঘ্য সংকোচন (Length contraction)বলে।

পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর গতিশীল অবস্থার দৈর্ঘ্য, ওই বস্তুর স্থির অবস্থার দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট হয় এবং এই প্রভাবকে দৈর্ঘ্য সংকোচন (Length contraction) বলে।

দৈর্ঘ্য সঙ্কোচন নির্ণয় (Calculating Length Contraction):

আমরা জানি কোনো একটি বস্তুর দুই প্রান্তের মধ্যবর্তী দূরত্বই তার দৈর্ঘ্য। এখন দুটি কাঠামো বিবেচনা করি। একটি S কাঠামো, অপরটি S’ কাঠামো। এখানে S কাঠামো স্থির। একে অচ দিয়ে সূচিত করি এবং S’ গতিশীল কাঠামো। একে চ দিয়ে সূচিত করি। স্থির অবস্থায় AB দণ্ড বিবেচনা করি।

 

মনে করি অচ কাঠামোর X অক্ষ বরাবর একটি দণ্ড শায়িত আছে। এই কাঠামোর কোনো পর্যবেক্ষক যেকোনো সময়ে দুই প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করল x_1  এবং x_2 । তার মতে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য L_0=(x_2- x_1)। এই দৈর্ঘ্য দণ্ডের প্রকৃত এবং স্বকীয় দৈর্ঘ্য অর্থাৎ পর্যবেক্ষক সাপেক্ষে স্থির অবস্থায় প্রাপ্ত দৈর্ঘ্য। চ-কাঠামো অচ-কাঠামোর সাপেক্ষে \vartheta বেগে গতিশীল এবং এই কাঠামোর একজন পর্যবেক্ষক একই সময়ে দণ্ডের প্রান্ত দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করলেন x_{1}^{\prime} এবং x_{2}^{\prime} \mid । সুতরাং তাঁর মাপে দণ্ডের দৈর্ঘ্য,L=\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)।

অতএব লরেঞ্জ-এর বিপরীত রূপান্তর সমীকরণ অনুসারে,

x_{2}=\frac{x_{2}{ }^{\prime}+\vartheta t}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}     …             …            [4]

x_{1}=\frac{x_{1}{ }^{\prime}+\vartheta t}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}      …             …           [5]

এখন সমীকরণ (4) হতে (5)-কে বিয়োগ করে পাই, 

\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}=\frac{\mathrm{x}_{2}^{\prime}-\mathrm{x}_{1}^{\prime}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}      …       …           [6]

আবার, \mathrm{L}_{0}=\frac{L}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}     …       …          [7]

বা, \mathrm{L}=\mathrm{L}_{0} \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}    …         …        [8]

সমীকরণ (8) হতে প্রমাণিত হয় যে, L_0 > L অর্থাৎ কোনো দণ্ডের গতিশীল দৈর্ঘ্য দণ্ডটির নিশ্চল অবস্থার দৈর্ঘ্য এর চেয়ে ছোট হবে। এই ঘটনাকে বলা হয় লরেঞ্জ ফিটজেরাল্ড সংকোচন (Lorentz-Fitz Gerald contraction)।

অতএব S' কাঠামোর কোনো পর্যবেক্ষকের নিকট S’ কাঠামোতে দণ্ডের দৈর্ঘ্য \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}} পরিমাণ ছোট মনে হবে।

• একটি কাল্পনিক ট্রেন কত দ্রুতিতে চললে এর চলমান দৈর্ঘ্য নিশ্চল দৈর্ঘ্য এর এক-তৃতীয়াংশ হবে? 

এখানে, 

কাল্পনিক ট্রেন এর প্রকৃত দৈর্ঘ্য = L_0

কাল্পনিক ট্রেন এর চলমান দৈর্ঘ্য = L

\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}_{0}}=\frac{1}{3} C=3 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}

আমরা জানি,

\mathrm{L}=\mathrm{L}_{0} \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}

বা, \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}_{0}}=\sqrt{1-\vartheta^{2} / \mathrm{c}^{2}}

প্রশ্নানুসারে, \frac{1}{3}=\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}

বা, \frac{1}{9}=1-\vartheta^{2} / c^{2}

বা, \frac{\vartheta^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}

বা, \vartheta^{2}=\frac{8}{9} c^{2}

\therefore \vartheta=\sqrt{\frac{8}{9} \times c^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9} \times\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}}

2.83 \times 10^8 ms^-1

• একটি মহাশূন্যযান কত দ্রুত ভ্রমণ করলে মহাশূন্যে 1 দিন অতিবাহিত হলে পৃথিবীতে 2 দিন অতিবাহিত হওয়ার সমান হবে? 

আমরা জানি,

\begin{array}{l} \mathrm{t}=\frac{\mathrm{t}_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}} \\ \text { বা, } 2=\frac{1}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}} \\ \text { বা, } \frac{1}{2}=\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}} \\ \text { বা, } \frac{1}{4}=1-\vartheta^{2} / c^{2} \\ \text { বা, } \frac{\vartheta^{2}}{c^{2}}=\frac{3}{4} \\ \therefore \vartheta=\sqrt{\frac{3}{4} \times c^{2}}=0.866 \times 3 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1} \\ =2.598 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1} \end{array}

ভর বৃদ্ধি (আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে) [Increase of mass (according to the theory of relativity)]

নিউটনীয় বলবিদ্যায় আমরা জেনেছি বস্তুর ভর ধ্রুব রাশি। স্থান, কাল ও গতির পরিবর্তনের ওপর এটি নির্ভরশীল নয়। কিন্তু আইনস্টাইনের আপেক্ষিক তত্ত্বের মতে দৈৰ্য্য ও সময়ের মতো বস্তুর ভরও গতিশীলতার ওপর নির্ভরশীল। আপেক্ষিক তত্ত্বানুসারে বস্তুর বেগের সাথে ভর বৃদ্ধি পায়। এ ঘটনাকে ভরের আপেক্ষিকতা বলে।

 

ব্যাখ্যা: মনে করি S এবং S’ দুটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামো। S’ কাঠামোটি x-অক্ষের অভিমুখে S কাঠামোর সাপেক্ষে বেগে গতিশীল। কাঠামোগুলোতে অবস্থিত দু’জন পর্যবেক্ষক দুটি কণা A ও B এর স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ পর্যবেক্ষণ করছেন। [উল্লেখ্য, স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকে]। কণা দুটির ভর সমান।

ধরি সংঘর্ষের পূর্বে A কণাটি S কাঠামোতে এবং B কণাটি S’ কাঠামোতে স্থির অবস্থায় রয়েছে। একই মুহুর্তে A কণাটি \vartheta_{A} বেগে +Y অক্ষের দিকে এবং B কণাটি \vartheta_{B}^{\prime} বেগে –Y’ অক্ষের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। এখানে \vartheta_{A}=\vartheta_{B}{ }^{\prime} \mathrm{~}। সুতরাং, S’ কাঠামোতে A কণার আচরণ S’ প্রসঙ্গ কাঠামোতে B কণার আচরণ অভিন্ন। সংঘর্ষের পর A কণাটি –Y-অক্ষের দিকে \vartheta_{A} বেগে এবং B কণাটি +Y’-অক্ষের দিকে \vartheta_{B} বেগে ফিরে আসে। নিক্ষেপের মুহূর্তে কণা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব y হলে উভয় পর্যবেক্ষক দেখবেন যে সংঘর্ষটি \frac{1}{2}y দূরে সংঘটিত হচ্ছে। সুতরাং, অচ-কাঠামোতে A-এর মোট যাতায়াতের সময়

\mathrm{t}_{0}=\frac{y}{\vartheta_{\Lambda}}     …           …                [9]

এবং চ-কাঠামোতে B-এর যাতায়াতের সময় একই থাকবে অর্থাৎ,

\mathrm{t}_{0}=\frac{y}{\vartheta_{\mathrm{B}^{\prime}}}       …           …               [10]

অচ-কাঠামোতে ভরবেগ সংরক্ষিত হলে,

\mathrm{m}_{\mathrm{A}} \vartheta_{\mathrm{A}}=\mathrm{m}_{\mathrm{B}} \vartheta_{\mathrm{B}}    …         …             [11]

এখানে m_A ও m_B এবং A ও B অচ-কাঠামোতে যথাক্রমে A ও B কণার ভর ও বেগ।

অচ-কাঠামোতে B-এর ভ্রমণকাল t হলে,

\mathrm{t}=\frac{y}{\vartheta_{\mathrm{B}}}, বা, \vartheta_{\mathrm{B}}=\frac{y}{t}      …         …          [12]

যদিও উভয় পর্যবেক্ষকই একই ঘটনা নিজ নিজ কাঠামোতে পর্যবেক্ষণ করছেন, তবু ঘটনার সময়ের পরিমাণ সম্বন্ধে একমত হতে পারছেন না।

কিন্তু চ-কাঠামোতে B-এর ভ্রমণকাল t_0 হলে দীর্ঘায়ন নীতি হতে t এবং t_0  মধ্যে হতে আমরা যে সম্পর্ক পাই তা হলো, 

\mathrm{t}=\frac{t_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}

এখন সমীকরণ (12)-এ t-এর মান বসিয়ে পাই,

\vartheta_{\mathrm{B}}=\frac{y}{\frac{t_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}}

বা,   \vartheta_{\mathrm{B}}=y \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}} / t_{0}

এখন সমীকরণ (9)-হতে পাই,

\vartheta_{\mathrm{A}}=\frac{y}{t_{0}}

∴ ভরবেগের সংরক্ষণ সমীকরণ (11)-এ \vartheta_{\mathrm{A}} ও \vartheta_{\mathrm{B}}-এর মান বসিয়ে পাই,

\begin{array}{l} \mathrm{m}_{\mathrm{A}} \frac{y}{t_{0}}=\mathrm{m}_{\mathrm{B}} \frac{y \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}{t_{0}} \\ \therefore \mathrm{m}_{\mathrm{A}}=\mathrm{m}_{\mathrm{B}} \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}} \end{array}     …        …           [13]

সুতরাং, সমীকরণ (13) হতে প্রমাণিত হয় যে,

শুরুতে আমরা ধরে নিলাম যে কণায় একইরূপ (identical), এদের ভর সমান। কিন্তু সমীকরণ (13) থেকে দেখা যায়, তা সঠিক নয়। অর্থাৎ \mathrm{m}_{\mathrm{A}} \neq \mathrm{m}_{\mathrm{B}} \mid। এর অর্থ হলো, স্থান ও সময়ের অনুরূপ ভরের পরিমাপও পর্যবেক্ষক ও পর্যবেক্ষণীয় বর আপেক্ষিক গতির উপরে নির্ভরশীল।

উপরের দৃষ্টান্তে A ও B কণাদ্বয় একই প্রসঙ্গ কাঠামো S-এ গতিশীল। এখন একটি বস্তুর গতিশীল অবস্থায় ভর এবং ওই বস্তুর নিশ্চল বা স্থির অবস্থার ভর সম্পর্কীয় সূত্র প্রাপ্তির জন্য ওপত্রের দৃষ্টান্তের অনুরূপ দৃষ্টান্ত বিবেচনা করা যেতে পারে। এক্ষেত্রে \vartheta_{\mathrm{A}} ও \vartheta_{\mathrm{B}}' খুব কম মানের হলে S বা অচ-কাঠামো একজন পর্যবেক্ষক দেখবেন যে A স্থির রয়েছে এবং B, A এর দিকে \vartheta  বেগে অগ্রসর হয়ে মুহূর্তের মধ্যে তির্যকভাবে সংঘর্ষ ঘটিয়ে দ্রুত সামনের দিকে অগ্রসর হচ্ছে।

∴ S (অচ)-কাঠামোকে \mathrm{m}_{\mathrm{A}}=\mathrm{m}_{0}= কণার স্থির অবস্থায় ভর এবং \mathrm{m}_{\mathrm{B}}=\mathrm{m} ধরা হলে, সমীকরণ (13) হতে পাই,

\mathrm{m}_{0}=\mathrm{m} \sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}, \mathrm{~m}_{0}= স্থির অবস্থার ভর, m = চলমান অবস্থার ভর।

বা, \mathrm{m}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}=\quad \frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}       …        …           [14]

এখানে, \beta^{2}=\frac{\vartheta^{2} }{c^{2}}

আবার, গতিশীল S’ বা চ-কাঠামোর একজন পর্যবেক্ষক বিপরীত ক্রিয়া লক্ষ করবেন। তিনি দেখবেন, B স্থির রয়েছে এবং A বস্তুটি B এর দিকে বেগে অগ্রসর হয়ে মুহুর্তের মধ্যে তির্যক স্তরে সংঘর্ষ ঘটিয়ে সামনের দিকে এগিয়ে চলেছে। S এবং S’ কাঠামো থেকে সংঘর্ষ ক্রিয়াটি পর্যবেক্ষণ করলে কীরূপ দেখা যাবে, তা চিত্র ৮.৯-এ দেখানো হয়েছে।

উপরোক্ত সমীকরণ (14) হতে প্রমাণিত হয় যে গতিশীল কোনো বস্তুর ভর ওই বস্তুর নিশ্চল ভরের চেয়ে বেশি। অর্থাৎ বেগের সাথে বস্তুর ভরবৃদ্ধি ঘটে।

কাজঃ আপেক্ষিক তত্ত্বের সাহায্যে দেখাও যে, কোনো বস্তুর বেগ আলোর বেগের সমান হতে পারে না।

Hints: ভরের আপেক্ষিকতা থেকে আমরা জানি, \mathrm{m}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}

\vartheta=\mathrm{c} হলে, \mathrm{m}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-c^{2} / c^{2}}}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-1}}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{0}=\infty হয়, যা অসম্ভব। তাই বস্তুর বেগ আলোর বেগের সমান বা বেশি হতে পারে না।

• একটি ইলেকট্রন 0.99c দ্রুতিতে গতিশীল হলে এর চলমান ভর কত?

এখানে,

\begin{array}{l} \mathrm{m}_{0}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \\ \vartheta=0.99 \mathrm{c} \\ m=? \end{array}

আমরা জানি,

\begin{aligned} \mathrm{m} &=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}}=\frac{9.1 \times 10^{-31}}{\sqrt{1-(0.99)^{2} \mathrm{c}^{2} / c^{2}}} \\ &=\frac{9.1 \times 10^{-31}}{\sqrt{1-0.9801}}=\frac{9.1 \times 10^{-31}}{0.1410} \\ &=6.45 \times 10^{-30} \mathrm{~kg} \end{aligned}