ভেক্টর গুণন ও স্কেলার গুণন (Vector Multiplication & Scalar Multiplication)

দুটি দিক রাশি বা ভেক্টর রাশির গুণফল সাধারণ দুই প্রকার, যথাঃ

• স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (Scalar or Dot product)
• ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector or Cross product)

স্কেলার গুণন বা ডট গুণন (Scalar or Dot product):

দুটি ভেক্টর রাশির গুণনে গুণফল একটি স্কেলার রাশি হলে এই গুণনকে স্কেলার গুণন বলে। এই গুণনে গুণফলের মান ভেক্টর দুটি মানের গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের (cosine) গুণফলের সমান হয়। দুটি ভেক্টরকে স্কেলার গুণন করতে হলে উহাদের মাঝে একটি ডট (.) চিহ্ন দিতে হয়। এই জন্য এ গুণনের অপর নাম ডট গুণন।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, \vec{P} ও \vec{Q} দুটি ভেক্টর রাশি। তীর অভহিত OA ও OC সরলরেখা রাশি দুটির মান ও দিক নির্দেশ এরা পরস্পরের সাথে \alpha কোণে আনত। এদেরর স্কেলার বা ডট গুণফল = \overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Q}} দ্বারা নির্দেশ করা হয় এবং পড়তে হয় \vec{P} ডট \vec{Q}। কাজেই সংজ্ঞা অনুসারে পাই,

\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\mathrm{PQ} \cos \alpha=\mathrm{QP} \cos \alpha

এখানে 0 \leq \alpha \leq \pi

বিশেষ ক্ষেত্র :

(ক) যদি \alpha=0^{\circ} হয়, তবে \overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\mathrm{PQ} \cos 0^{\circ}=\mathrm{PQ}। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল হবে

(খ) যদি \alpha=90^{\circ}  হয়, তবে \overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\mathrm{PQ} \cos 90^{\circ}=\mathrm{0}। এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

(গ) যদি \alpha=180^{\circ} হয়, তবে \overrightarrow{\mathrm{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\mathrm{PQ} \cos 180^{\circ}=\mathrm{-PQ} । এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল এবং বিপরীতমুখী হবে।

আয়ত একক ভেক্টরগুলোর স্কেলার গুণফল :

\begin{array}{l} \hat{\imath} . \hat{\imath}=\hat{\jmath} \cdot \hat{\jmath}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1 \\ \hat{\imath} \cdot \hat{\jmath}=\hat{\jmath} \cdot \hat{k}=\hat{l} \cdot \hat{k}=0 \end{array}

উপাংশে বিভাজিত দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল :

ধরি, \begin{array}{c} \vec{A}=A_{x} \hat{\imath}+A_{y} \hat{\jmath}+A_{z} \hat{k} \\ \vec{B}=B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}+B_{z} \hat{k} \\ \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=\left(A_{x} \hat{\imath}+A_{y} \hat{\jmath}+A_{z} \hat{k}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}+B_{z} \hat{k}\right) \\ =A_{x} \hat{\imath} \cdot\left(B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}+B_{z} \hat{k}\right)+A_{y} \hat{\jmath} \cdot\left(B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}+B_{z} \hat{k}\right)+A_{z} \hat{k} \cdot\left(B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}+B_{z} \hat{k}\right) \\ =A_{x} B_{x} \hat{\imath} \cdot \hat{\imath}+A_{x} B_{y} \hat{\imath} \cdot \hat{\jmath}+A_{x} B_{z} \hat{\imath} \cdot \hat{k}+A_{y} B_{x} \hat{\jmath} \cdot \hat{\imath}+A_{y} B_{y} \hat{\jmath} \cdot \hat{\jmath}+A_{y} B_{z} \hat{\jmath} \cdot \hat{k}+A_{z} B_{x} \hat{k} \cdot \hat{\imath} \\ +A_{z} B_{y} \hat{k} \cdot \hat{\jmath}+A_{z} B_{z} \hat{k} \cdot \hat{k} \\ \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=A_{x} B_{x}+0+0+0+A_{y} B_{y}+0+0+0+A_{z} B_{z} \\ {[\because \hat{\imath} \cdot \hat{\imath}=\hat{\jmath} \cdot \hat{\jmath}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1 ; \hat{\imath} \cdot \hat{\jmath}=\hat{\jmath} ; \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{\jmath}=\hat{k} \cdot \hat{\imath}=\hat{\imath} \cdot \hat{k}=0]} \\ \therefore \vec{A} \cdot \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \end{array}

অর্থাৎ দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল = রাশি দুটির X উপাংশের মানের গুণফল + রাশি দুটির Y উপাংশের মানের গুণফল + রাশি দুটির Z উপাংশের মানের গুণফল।

ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন (Vector or Cross product)

দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয়, তবে ঐ গুণনকে ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন বলে। এই ভেক্টর গুণফলের মান ভেক্টর রাশি দুটির মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। দুটি ভেক্টরকে ভেক্টর গুণন করতে হলে উহাদের মাঝে একটি ক্রস (x) চিহ্ন দিতে হয় এইজন্য এই গুণনের অপর নাম ক্রস গুণন। ভেক্টেরর গুণফলের দিক ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ণয় করা হয়।

ব্যাখ্যা : মনে করি \vec{P} ও \vec{Q} দুটি ভেক্টর রাশি। এরা পরস্পরের সাথে \alpha কোণে O বিন্দুতে ক্রিয়া করে। অতএব এদের ভেক্টর গুণফল বা ক্রস গুণফল\overrightarrow{\mathrm{R}}=\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\eta} \overrightarrow{|\mathrm{P}|} \overrightarrow{|Q|} \sin \alpha 0 \leq \alpha \leq \pi, এখানে \hat{\eta} গুণণফলের দিক নির্দেশ করে।

\begin{aligned} \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{R}} &=\overrightarrow{\mathrm{Q}} \times \overrightarrow{\mathrm{P}} \\ &=\hat{\eta} Q P \sin \alpha 0 \leq \alpha \leq \pi \end{aligned}

ডান হাতি স্ক্রু নিয়ম (Right Hand Screw Rule)

ভেক্টর দুটি যে সমতলে অবস্থিত সেই সমতলের উপর লম্বভাবে একটি ডান হাতি স্ক্রুকে রেখে প্রথম ভেক্টর হতে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘুরালে স্কুটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেই দিকই হবে \vec{R} তথা \hat{\eta} এর দিক।

উপরোক্ত নিয়ম অনুসারে \vec{P} \times \vec{Q} এর অভিমুখ হবে উপরের দিকে। [চিত্র] এবং ঐ \vec{Q} \times \vec{P} এর অভিমুখে হবে নিচের দিকে [চিত্র] অর্থাৎ প্রথম ক্ষেত্রে ডান হাতি স্ক্রুর দিক হবে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী (Clockwise) এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ঘড়ির কাটার দিকে (Clockwise)। Anti-clockwise direction-কে positive (ধনাত্মক) ধরা হয় এবং clockwise direction-কে Negative (ঋণাত্মক) ধরা হয়।

বিশেষ ক্ষেত্র :

(ক) যদি \alpha=0^{\circ} হয়, তবে \overrightarrow{\mathrm{R}}=\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\eta} \mathrm{PQ} \sin 0^{\circ}=0 এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পরের সমান্তরাল হবে।

(খ) যদি \alpha=90^{\circ}  তবে \overrightarrow{\mathrm{R}}=\overrightarrow{\mathrm{P}} \times \overrightarrow{\mathrm{Q}}=\hat{\eta} \mathrm{PQ} \sin 90^{\circ}=\mathrm{PQ}  এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরপর লম্ব হবে।

(গ) যদি \alpha=180^{\circ}  তবে \vec{R}=\vec{P} \times \vec{Q}=\hat{\eta} P Q \sin 180^{\circ}=0 এক্ষেত্রে ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল এবং বিপরীতমুখী হবে।

আয়ত একক ভেক্টরগুলোর ভেক্টর গুণফল :

\begin{array}{c} \hat{\jmath} \times \hat{\jmath}=\hat{k} \times \hat{k}=\overrightarrow{0} \\ \therefore \hat{\imath} \times \hat{\imath}=\hat{\jmath} \times \hat{\jmath}=\hat{k} \times \hat{k}=\overrightarrow{0} \end{array}

উপাংশে বিভাজিত দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল :

\vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{array}\right|

প্রমাণ : ধরা যাক,

\begin{array}{c} \vec{A}=\hat{\imath} A_{x}+\hat{\jmath} A_{y}+\hat{k} A_{z} \\ \vec{B}=\hat{\imath} B_{x}+\hat{\jmath} B_{y}+\hat{k} B_{z} \\ \therefore \vec{A} \times \vec{B}=\left(\hat{\imath} A_{x}+\hat{\jmath} A_{y}+\hat{k} A_{z}\right) \times\left(\hat{\imath} B_{x}+\hat{\jmath} B_{y}+\hat{k} B_{z}\right) \\ =(\hat{\imath} \times \hat{\imath}) A_{x} B_{x}+(\hat{\imath} \times \hat{\jmath}) A_{x} B_{y}+(\hat{\imath} \times \hat{k}) A_{x} B_{z}+(\hat{\jmath} \times \hat{\imath}) A_{y} B_{x}+(\hat{\jmath} \times \hat{\jmath}) A_{y} B_{y} \\ +(\hat{\jmath} \times \hat{k}) A_{y} B_{z}+(\hat{k} \times \hat{\imath}) A_{z} B_{x}+(\hat{k} \times \hat{\jmath}) A_{z} B_{y}+(\hat{k} \times \hat{k}) A_{z} B_{z} \\ =\overrightarrow{0}+\widehat{K} A_{x} B_{y}-\hat{\jmath} A_{x} B_{z}-\widehat{K} A_{y} B_{x}+\overrightarrow{0}+\hat{\imath} A_{y} B_{z}+\hat{\jmath} A_{z} B_{x}-\hat{\imath} A_{z} B_{y}+\overrightarrow{0} \\ =\hat{\imath}\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right)+\hat{\jmath}\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\right)+\hat{k}\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) \\ \therefore \vec{A} \times \vec{B}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{array}\right| \end{array}

ত্রিগুণফল (Triple Product) :

দুটি ভেক্টর রাশির ক্রস গুণফলের সাথে তৃতীয় ভেক্টরটির ডট গুণন করা হলে গুণফল হবে একটি স্কেলার রাশি আর এ ধরনের গুণনকে বলা হয় স্কেলার ত্রিগুণ এবং গুণফলকে বলে স্কেলার ত্রিগুণফল। \vec{A}, \vec{B} ও \vec{C} তিনটি ভেক্টর রাশির স্কেলার ত্রিগুণন হতে পারে নিম্নোক্তভাবে-

\begin{aligned} \vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C}) & \Rightarrow \vec{B} \cdot(\vec{C} \times \vec{A}) \Rightarrow \vec{C} \cdot(\vec{A} \times \vec{B}) \\ \vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C}) &=\vec{B} \cdot(\vec{C} \times \vec{A})=\vec{C} \cdot(\vec{A} \times \vec{B}) \end{aligned}

তিনটি ভেক্টর \vec{A}, \vec{B} ও \vec{C}  যদি একটি ঘন সামান্তরিক বা সামান্তরক বা প্যারালেলেপাইপড(parallelepiped)-এর তিনটি বাহু নির্দেশ করে (চিত্র) তাহলে ঐ ঘন সামান্তরিক বা সমান্তরকের আয়তন হবে

\begin{aligned} \text { আয়তন , } & V=\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C}) \\ \text { এখন , ভেক্টর, } & \vec{A}=A_{x} \hat{\imath}+A_{y} \hat{\jmath}+A_{z} \hat{k} \\ & \vec{B}=B_{x} \hat{i}+B_{y} \hat{\jmath}+B_{z} \hat{k} \\ & \vec{C}=C_{x} \hat{i}+C_{y} \hat{\jmath}+C_{z} \hat{k} \\ \therefore \vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})=\left|\begin{array}{lll} A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \\ C_{x} & C_{y} & C_{z} \end{array}\right| \end{aligned}|

 \vec{A}, \vec{B} ও \vec{C} ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হওয়ার অর্থ ঘন সামান্তরিক বা সামান্তরকটির উচ্চতা শূন্য অর্থাৎ । সামান্তরকটির আয়তনও শূন্য। সুতরাং তিনটি ভেক্টরের স্কেলার ত্রিগুণফল শূন্য হলে ভেক্টর তিনটি সমতলীয় বা একই সমতলে অবস্থিত হবে। অর্থাৎ\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C})=0 হলে  \vec{A}, \vec{B} ও \vec{C} ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হবে।