মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ(Work Done by Gravitational Force)

মহাকর্ষ বল \left(F \propto \frac{1}{r^{2}}\right) দ্বারা কৃত কাজ(Work Done by Gravitational Force)

আমরা জানি, এ মহাবিশ্বের যেকোনো দুটি বস্তুকণা একে অপরকে একটি বল দ্বারা আকর্ষণ করে। এ বলকে মহাকর্ষ বল বলা হয়। এটি একটি পরিবর্তনশীল বল—দুটি নির্দিষ্ট বস্তুর জন্য এ বলের মান তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের উপর নির্ভর করে। প্রকৃতপক্ষে, এ বল (F) বস্তুদ্বয়ের দূরত্বের বর্গের\left(r^{2}\right)ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ

\left(F \propto \frac{1}{r^{2}}\right)। এখন আমরা এই মহাকর্ষ বলের জন্য কৃত কাজ হিসাব করবো। আমরা জানি, m এবং M ভরের দুটি কণা পরস্পর থেকে r দূরত্বে থাকলে মহাকর্ষ সূত্র অনুসারে তাদের মধ্যে বল,

\left(F=-\frac{G M m}{r^{2}}\right)

এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন আকর্ষণ বল নির্দেশ করছে।

মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজের হিসাব(Calculation of Work Done by Gravitational Force)

ধরা যাক, কোনো স্থানে P বিন্দুতে M ভরের একটি বস্তু অবস্থিত। P থেকে r দূরত্বে Q বিন্দুতে m ভরের আরেকটি বস্তু অবস্থিত (চিত্র)। সুতরাং মহাকর্ষ সূত্রানুসারে তাদের মধ্যকার আকর্ষণ বল,

 

F=-G \frac{M m}{r^{2}}

m ভরের বস্তুর উপর এই বল QP বরাবর ক্রিয়াশীল। এখন m ভরের বস্তুটিকে Q থেকে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র দূরত্ব d rসরিয়ে R বিন্দুতে নিতে মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ,

d W=F d r \cos 0^{\circ}

=F d r

ধরা যাক, বস্তু দুটির মধ্যে আদি দূরত্ব ছিল r_{a}। এখন তাদের মধ্যে r_{b} দূরত্ব সৃষ্টি করতে এই বলের দ্বারা কৃত কাজ W_{a b}, উপরিউক্ত সমীকরণকে যোগজীকরণ করলেই পাওয়া যায়। এই সমীকরণকে r=r_{a}থেকে r=r_{b} এই সীমার মধ্যে যোগজীকরণ করে আমরা মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ পাই,

\begin{array}{l} W_{a b}=\int_{r_{a}}^{r_{b}} F d r=-\int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{G M m}{r^{2}} d r \\ \quad=-G M m \int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{d r}{r^{2}}=-G M m\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{a}}^{r_{b}} \\ \therefore W_{a b}=G M m\left(\frac{1}{r_{b}}-\frac{1}{r_{a}}\right) \end{array}

মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত ধনাত্মক কাজ(Positive Work Done by Gravitational Force)

সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, দুটি বস্তু কণার মধ্যে দূরত্ব হ্রাস করা হলে অর্থাৎ r_{b}<r_{a} হলে \frac{1}{r_{b}}>\frac{1}{r_{a}} হয়, ফলে W_{a b} ধনাত্মক হয়; সুতরাং মহাকর্ষ বল ধনাত্মক কাজ সম্পন্ন করে। যেমন আমরা যদি উপর থেকে একটি বস্তু ছেড়ে দেই, এটি মহাকর্ষ বলের (এ ক্ষেত্রে অভিকর্ষ বল) প্রভাবে বলের দিকে নিচে পড়বে অর্থাৎ পৃথিবী ও বস্তুর মধ্যে দূরত্ব হ্রাস পাবে। এর ফলে মহাকর্ষ বল বস্তুটির উপর ধনাত্মক কাজ করবে।

মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত ঋণাত্মক কাজ(Negative Work Done by Gravitational Force)

যদি r_{b}>r_{a} হয়, অর্থাৎ যদি কণা দুটির মধ্যে দূরত্ব বৃদ্ধি পায়, তাহলে \frac{1}{r_{b}}<\frac{1}{r_{a}} হয়, ফলে সমীকরণে W_{a b} ঋণাত্মক হয়, অর্থাৎ মহাকর্ষ বল ঋণাত্মক কাজ সম্পন্ন করে। কণাদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব বৃদ্ধি করতে হলে বাইরে থেকে বল প্রয়োগ করতে হবে, সেই বাহ্যিক প্রযুক্ত বল দ্বারা কৃত কাজ অবশ্য ধনাত্মক হবে।

যদি বস্তুটিকে উপরে ওঠাতে যাই অর্থাৎ পৃথিবী ও বস্তুর মধ্যে দূরত্ব বৃদ্ধি করতে যাই, তাহলে মহাকর্ষ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হবে ফলে মহাকর্ষ বলের জন্য কাজ ঋণাত্মক হবে, কিন্তু আমাদের প্রযুক্ত বলের জন্য ধনাত্মক কাজ হবে।

বাহ্যিক বল প্রয়োগে বিকৃত বস্তুর উপর কাজ(Work Done on a Deformed object by External Force)

এখন আমরা একটি তার বা দন্ডকে প্রসারিত করতে অর্থাৎ অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতির ক্ষেত্রে কাজ সম্পর্কে আলোচনা করব। একটি তারের দৈর্ঘ্য বরাবর বাহ্যিক প্রসারাঙ্ক বল ক্রিয়া করলে তারটিতে অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন প্রযুক্ত হয়, ফলে সেটি দৈর্ঘ্যে বাড়ে। অতএব প্রযুক্ত বলের প্রয়োগ বিন্দুর কিছুটা সরণ হয় অর্থাৎ কাজ করা হয়। স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কাজ বিকৃত বস্তুটিতে স্থিতিস্থাপক শক্তিরূপে বা স্থিতিস্থাপকরূপে সঞ্চিত হয়। কোনো বস্তুকে ধীরে ধীরে প্রসারিত করলে প্রযুক্ত বল F কর্তৃক কৃত কাজ বা স্থিতিস্থাপক বল  F_{C} কর্তৃক ধনাত্মক কাজ দিয়ে বস্তুর স্থিতিস্থাপক শক্তির পরিবর্তন পরিমাপ করা যায়। নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী F_{C} প্রযুক্ত বল F-এর সমান ও বিপরীত।

মনে করি, সুষম প্রস্থচ্ছেদের একটি তারের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য L এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল A। প্রসারক বল F এর ক্রিয়ায় তারটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি হলো। অতএব

অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতি ==\frac{l}{L}, অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন ==\frac{F}{A}

∴ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, Y=\frac{F / A}{l / L}=\frac{F L}{A l}

অতএব, F=\frac{\text { YAl }}{\text { L }}

∴\therefore F_{c}=\frac{Y A l}{L}

নির্দিষ্ট তারের ক্ষেত্রে Y A এবং L ধ্রুবক। সুতরাং \mathrm{F}_{c} \propto l , অর্থাৎ স্থিতিস্থাপক বল দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির সমানুপাতিক। দৈর্ঘ বৃদ্ধি যখন শূন্য থেকে বেড়ে l হয়, \mathrm{F}_{c} তখন শূন্য থেকে রৈখিকভাবে বেড়ে, \frac{\mathrm{YAl}}{\mathrm{L}} হয়।

অতএব তারটির l পরিমাণ বৃদ্ধির সময় স্থিতিস্থাপক বলের গড় মান, \frac{Y A l}{2 L} । সুতরাং প্রয়োগ বিন্দুরlপরিমাণ সরণের জন্য এই বল দ্বারা কাজ =-\frac{Y A I}{2 L} \times l

অতএব প্রসারিত তারের স্থিতিস্থাপক বল দ্বারা কাজ বা

স্থিতিস্থাপক স্থিতিশক্তি

\begin{aligned} &=-\left(-\frac{Y A l^{2}}{2 L}\right)=\frac{Y A /^{2}}{2 L} \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{Y A l}{L}\right) \times l=\frac{1}{2} F \times l \end{aligned}

=\frac{1}{2} \timesপ্রযুক্ত বলদৈর্ঘ্য বৃদ্ধি

∴স্থিতিস্থাপক বল দ্বারা কাজ=\frac{1}{2} \timesস্থিতিস্থাপক বলদৈর্ঘ্য বৃদ্ধি