জটিল সংখ্যার পোলার আকৃতি  (Polar form of complex number)

\cos \theta =\frac{x}{r} \Rightarrow x=r\cos \theta\\ \sin \theta =\frac{y}{r} \Rightarrow y=r\sin \theta\\ \therefore x+iy=r(\cos \theta+i \sin \theta) 

এখানে- r=Modulas (পরমমান)

\theta= Argument (নতি)

• Modulus (পরমমান):

z=x+iy

ও মূলবিন্দু থেকে z এর সরাসরি বা ক্ষুদ্রতম দূরত্বকে Modulus বা পরমমান বলে।

• Argument (নতি): ধনাত্মক x অক্ষের সাথে OP রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে Argument/নতি বলে। একে arg(Z) বা amp(Z) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

x অক্ষের ধনাত্মক অংশ হতে ঘড়ির কাটার দিকে, ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে একাধিক ঘূর্ণনে অসংখ্য আর্গুমেন্ট পাওয়া সম্ভব। 

\therefore Argument এর সাধারণরূপ-

arg (z) =2n\pi+ \theta\\ \Rightarrow arg (z) =2n \pi+\tan^{-1}\frac{y}{x} 

• মূখ্য আর্গুমেন্ট (Main argument): যদি -\pi<\theta \leq \pi হয় তবে \theta কে মূখ্য আর্গুমেন্ট বলা হয়। হিসাবের ক্ষেত্রে সবসময় মূখ্য আর্গুমেন্ট  ব্যবহৃত হয়।

চিত্র সহ P(x, y) বিন্দুর বিভিন্ন চতুর্ভাগে অবস্থানের জন্য জটিল সংখ্যা z=x+iy এর আর্গুমেন্ট নির্ণয়:

• অয়লারের সূত্র (Euler’s formula):

\cos \theta +i \sin \theta=e^{i\theta}\\ \cos \theta-i \sin \theta=e^{-i\theta}\\ (\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta +i \sin n \theta

• অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা (Conjugate complex numbers): z=x+iy এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা \bar{z}=x-iy। বাস্তব অক্ষ (x-অক্ষ) থেকে z=x+iy ও \bar{z}=x-iy এর দূরত্ব সমান। তাদের পরমমান সমান অর্থাৎ, |z|=|\bar{z}|=\sqrt{x^2+y^2} ,তাদের নতির সাংখ্যিক মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত অর্থাৎ, z=x+iy এর নতি হলে \bar{z}=x-iy এর নতি (-\theta) হবে। \therefore arg (\bar{z}) =-arg (z) .

আবার, z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=(\sqrt{x^2+y^2})^2=|z|^2

\therefore z\bar{z}=|z|^2, অর্থাৎ কোনো জটিল সংখ্যা এবং তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার গুণফল জটিল সংখ্যার পরমমানের বর্গের সমান।

জটিল সংখ্যার ধর্ম (Properties of Complex Number):

• x+iy=0 হলে, x=0, y=0

প্রমাণ: x+iy=0 \Rightarrow x=-iy \Rightarrow x^2=(-iy)^2=i^2y^2=-1.y^2 \Rightarrow x^2+y^2=0 

যেহেতু দুইটি বাস্তব সংখ্যা (x ও y) পৃথকভাবে শূন্য না হলে তাদের বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে পারে না, সুতরাং x=0, y=0

দুইটি জটিল সংখ্যা x_1+iy_1 ও x_2+iy_2 সমান হবে যদি ও কেবল যদি x_1=x_2 ও y_1=y_2 হয়।

প্রমাণ:

x_1+iy_1=x_2+iy_2 \Rightarrow x_1-x_2=i(y_2-y_1) \Rightarrow x_1-x_2+i(y_1-y_2)=0\\ \therefore x_1-x_2=0 \Rightarrow x_1=x_2\; এবং\; y_1-y_2=0 \Rightarrow y_1=y_2

• দুইটি অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা >x+iy ও x-iy এর সমষ্টি  এবং গুণফল বাস্তব সংখ্যা। 

প্রমাণ: সমষ্টি =x+iy+x-iy=2x, যা বাস্তব সংখ্যা। 

গুণফল =(x+iy)(x-iy)=x^2-(iy)^2=x^2-i^2y^2=x^2-(-1).y^2=x^2+y^2, যা বাস্তব সংখ্যা। 

• অনুবন্ধী নয় এরূপ দুইটি জটিল সংখ্যা x_1+iy_1 ও x_2+iy_2 (y_1\neq y_2) এর সমষ্টি, বিয়োগফল, গুণফল ও ভাগফল প্রত্যেকটিই জটিল সংখ্যা হবে।

প্রমাণ: সমষ্টি =x_1+iy_1+x_2+iy_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2), যা জটিল সংখ্যা। 

বিয়োগফল =x_1+iy_1-(x_2+iy_2)=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2), যা জটিল সংখ্যা। 

গুণফল

=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1+i^2y_1y_2\\ =x_1x_2+i(x_1y_2+x_2y_1)-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)

 যা জটিল সংখ্যা।

ভাগফল =\frac{(x_1+iy_1)}{(x_2+iy_2)}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)} [নোট: হরের অনুবন্ধী দ্বারা  লব ও হরকে গুণ দিতে হয়]

 

=\frac{x_1x_2-ix_1y_2+ix_2y_1-i^2y_1y_2}{x_2^2-i^2y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(x_2y_1-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}\\ =\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}

, যা জটিল সংখ্যা। 

বি.দ্র.: কোনো জটিল সংখ্যাকে A+iB আকারে প্রকাশ করতে উপর্যুক্ত পদ্ধতি অনুসরণ করতে হয়।

• z=x+iy জটিল সংখ্যা n এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে Z^n জটিল সংখ্যা হবে।

প্রমাণ: z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+i2xy যা জটিল সংখ্যা।

z^3=(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3=x^3+i3x^2y+3xi^2y^2+i^3y^3\\ =x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)

, যা জটিল সংখ্যা।

অনুরূপভাবে অগ্রসর হলে Z^n একটি জটিল সংখ্যা দেখানো যাবে।

জটিল সংখ্যার পরমমান (মডুলাস) এবং নতি (আর্গুমেন্ট) সংক্রান্ত ধর্ম (Absolute value (modulus) and slope (argument) of complex numbers)

• z=x+iy হলে,

(i) |z|=|\bar{z}|=|-z|=|-\bar{z}|

(ii) |z|^2=|\bar{z}|^2=|-z|^2=|-\bar{z}|^2=z\bar{z}

প্রমাণ:

(a) z=x+iy তাহলে, \bar{z}=x-iy, -z=-x-iy এবং -\bar{z}=-x+iy

\therefore |z|=\sqrt{x^2+y^2} এবং

|\bar{z}|=\sqrt{x^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\\ |-z|=\sqrt{(-x)^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\; এবং\; |-\bar{z}|=\sqrt{(-x)^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}\\ \therefore |z|=|\bar{z}|=|-z|=|-\bar{z}| 

(b) |z|^2=x^2+y^2,|\bar{z}|^2=x^2+y^2,|-z|^2=x^2+y^2,|-\bar{z}|^2=x^2+y^2 এবং z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 

\therefore |z|^2=|\bar{z}|^2=|-z|^2=|-\bar{z}|^2=z\bar{z} 

• z_1 ও z_2 দুইটি জটিল সংখ্যা হলে, |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|

প্রমাণ:

|z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)} [\because |z|^2=z\bar{z}]\\ =(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) [\because \overline {z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}]\\ =z_1\bar{z_1}+z_1\bar{z_2}+z_2\bar{z_1}+z_2\bar{z_2}\\ =\overline{z_1^2}+\overline{z_2^2}+2Re(z_1\overline{z_2}) [\because z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}=2Re(z_1\overline{z_2})]\\ \therefore |z_1+z_2|^2 \leq |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1\overline{z_2}| [\because Re(z)\leq |z|]\\ =|z_1+z_2|^2 \leq |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||\overline{z_2}| [\because |z_1\overline{z_2}|=|z_1||z_2|]\\ =|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||z_2| [\because |\overline{z_2}|=|z_2|]\\ =(|z_1|+|z_2|)^2\\ \therefore |z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2| 

অনুরূপে, নিম্নলিখিত অসমতাগুলোও প্রমাণ করা যায়।

(a) |z_1+z_2+z_3| \leq |z_1|+|z_2|+|z_3|\\ (b) |z_1+z_2+...+z_n| \leq |z_1|+|z_2|+...+|z_n|\\ (c) |z_1-z_2|\leq |z_1|+|z_2| 

প্রমাণ:

|z_1-z_2|^2=(z_1-z_2)\overline{(z1-z2)} [\because |z|^2=z\bar{z}]\\ =(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) [\because \overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}]\\ =z_1\bar{z_1}-z_1\bar{z_2}-z_2\bar{z_1}+z_2\bar{z_2}\\ =|z_1|^2-(z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1})+|z_2|^2 [\because |z|^2=z\bar{z}]\\ =|z_1|^2-(z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}})+|z_2|^2 [\because \bar{\bar{z}}=z]\\ =|z_1|^2-2Re(z_1\bar{z_2})+|z_2|^2 [\because -x \leq \sqrt{x^2+y^2} \Rightarrow -Re(z) \leq |z|]\\ \therefore |z_1-z_2|^2\leq |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1\overline{z_2}|\\ = |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||\overline{z_2}| [\because |z_1\overline{z_2}|=|z_1||\overline{z_2}|]\\ = |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||z_2| [\because |\overline{z_2}|=|z_2|]\\ =(|z_1|+|z_2|)^2\\ \therefore |z_1-z_2| \leq |z_1|+|z_2|