i এর পরিচয় এবং জটিল সংখ্যা (Identification of i and Complex Number)

i এর পরিচয় এবং জটিল সংখ্যা (Identification of i and Complex Number):

যখন, x^2-1=0\Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm \sqrt{1} \therefore x=\pm1

এরূপ সমীকরণ সমাধান করতে কোনো সমস্যা হয় না।

কিন্তু, যখন x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1\Rightarrow x=\sqrt{\pm-1}......(i)

কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হয় না।

∴ ঋণাত্মক সংখ্যাকে বর্গমূল করলে কোন বাস্তব সংখ্যা পাওয়া যায় না।

তাই, ধরা হয়, \sqrt{-1}=i, i^2=-1......(ii)

যেখানে i একটি কাল্পনিক সংখ্যা (Imaginary number) তাহলে (i) নং সমীকরণে \sqrt{-1} এর মান বসালে, x=\pm i

এখন (ii) নং সমীকরণের ক্ষেত্রে, i^2=-1 কিন্তু এখান থেকে, i=\pm 1 লেখা যাবে না কারণ i=-1 (সংজ্ঞায়িত) তাই এক্ষেত্রে \pm  নেওয়া যাবে না, শুধুমাত্র + চিহ্ন নিতে হবে।

x এবং y বাস্তব সংখ্যা হলে, x+iy আকারের সকল সংখ্যাকে বলা হয় জটিল সংখ্যা (Complex Number) দ্বিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় (x,y)(x,y) এর অবস্থান যেখানে x+iy এর অবস্থানও সেখানে।

x+iy আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল (x,y)

3+4i আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল (3,4)

5=5+0.i আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল (5,0)

5i=0+5.i আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল (0,5)

তাহলে দেখা যাচ্ছে, 5 এর অবস্থান x অক্ষের উপর এবং 5i এর অবস্থান y অক্ষের উপর।

অর্থাৎ চিত্র হতে দেখা যায় যে, 5 কে i দ্বারা গুণ করার ফলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে \frac{\pi}{2} কোণে ঘুরে যায়।

সুতরাং সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে, i এমনই একটি অপারেটর যা দ্বারা যেকোনো সংখ্যাকে গুণ করলে সংখ্যাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে \frac{\pi}{2} কোণে ঘুরে যায়।

∴ কোনো সংখ্যাকে i^2 দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে 2.\frac{\pi}{2} কোণে ঘুরে যায়।

কোনো সংখ্যাকে i^3 দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে 3.\frac{\pi}{2} কোণে ঘুরে যায়।

কোনো সংখ্যাকে i^4 দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে 4.\frac{\pi}{2} কোণে ঘুরে যায়।

কোনো সংখ্যাকে i^n দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে n.\frac{\pi}{2} কোণে ঘুরে যায়।

তাহলে লক্ষ্যণীয় যে, i^2 দ্বারা কোনো সংখ্যাকে গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে 2.\frac{\pi}{2} বা 180^{\circ} কোণে ঘুরে যায়। আর আমরা জানি যে, যে কোনো জিনিসকে তার স্বাভাবিক অবস্থান থেকে 180^{\circ} কোণে ঘুরালে সেটি বিপরীত হয়ে যায়। সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে ধনাত্মক সংখ্যাকে 180^{\circ} কোণে ঘুরালে সেটি ঋণাত্মক হয়ে যায়।

\therefore 5i^2=-5\\ \therefore i^2=-1 

এবার উপরের চিত্রে লক্ষ্য করো-

1 কে i দ্বারা গুণ করলে i, A অবস্থান থেকে B অবস্থানে যায়।

i কে i দ্বারা গুণ করলে i^2, B অবস্থান থেকে C অবস্থানে যায়।

i^2 কে i দ্বারা গুণ করলে i^3, C অবস্থান থেকে D অবস্থানে যায়।

i^3 কে i দ্বারা গুণ করলে i^4, D…… পুনরায় A অবস্থানে যায়।

\therefore i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1 

\therefore n পূর্ণসংখ্যা হলে, i^{4n}=1

\therefore i^{4n+1}=i^{4n}.i=i,i^{4n+2}=i^{4n}.i^2=-1 \therefore i^{4n+p}=i^p

আবার, i^{4n}+i^{4n+1}+i^{4n+2}+i^{4n+3}=1+i-1-i=0

Note: 4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3 চারটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা

a,b,c,d চারটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হলে ia+ib+ic+id=0 

এবার চলো, i^{01717722655}=i^{4\times 439430663+3}=i^3=-i

যদি কষ্ট হয় তবে শোনো-

i-এর Power এর শেষ দুটি ডিজিটকে 4 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যা হবে সেটাই i এর Power হবে এবং সেটিই হবে সঠিক Answer: যেমন, 55 কে 4 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ =3

\therefore i^{01717722655}=i^3=-i (Answer)

আবার, i এর ধারা:

লক্ষ্য কর:

i+i^2=i-1\\ i+i^2+i^3+i^4+i^5=i^1\\ i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6=i^5+i^6=i+i^2\\ i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7=i^5+i^6+i^7=i+i^2+i^3

 

লক্ষ্য করে বলোতো ……….. আমিই বলি,

ধারাটির সর্বোচ্চ Power কে 4 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ সংখ্যাটি যত পাওয়া যাচ্ছে প্রথম হতে i এর Power যেখানে ভাগশেষের …. ততদূর পর্যন্ত রাখলেই ধারাটির Answer পাওয়া যাচ্ছে।

এবার একটা সমস্যা সমাধান করি-

1+i+i^2+i^3+...+i^{202}=? 

এখানে সর্বোচ্চ Power 202 কে 4 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ =2

∴ Answer হবে i+i^2