জটিল সংখ্যার যোগ, বিয়োগ ও গুণের জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometric representation of the addition, subtraction, multiplication of complex number)
মনে করি, আর্গন্ড চিত্রে P ও Q যথাক্রমে z_{1}=x_{1}+i y_{1} এবং z_{2}=x_{2}+i y_{2}, জটিল সংখ্যা নির্দেশ করে। তাহলে, P ও Q বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \left(x_{1}, y_{1}\right) এবং \left(x_{2}, y_{2}\right).
OP এবং OQ কে সন্নিহিত বাহু ধরে OPRQ সামন্তরিক অঙ্কন করি। O, R যোগ করি। P, Q ও R হতে OX এর উপর যথাক্রমে PL, QM ও RN লম্ব আঁকি।
যেহেতু যেকোনো সরলরেখার উপর OR এর অভিক্ষেপ ঐ একই রেখার উপর OP এবং PR অথবা OQ [\because OQ||PRএবং OQ=PR]-এর অভিক্ষেপের বীজগণিতীয় যোগফলের সমান। সুতরাং R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)। অতএব, R বিন্দু \left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right) জটিল সংখ্যা নির্দেশ করে।
কিন্তু z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)। অতএব, R বিন্দু P ও Q বিন্দু দ্বারা নির্দেশিত জটিল সংখ্যা দুইটির যোগফল নির্দেশ করে।
এখন P বিন্দু দিয়ে Q O || P S আঁকি যেন Q O = P S হয়। O, S যোগ করি। তাহলে S বিন্দু z_{1}-z_{2}, জটিল সংখ্যা নির্দেশ করবে এবং জটিল সংখ্যা দুইটি দ্বারা সূচিত বিন্দুর দূরত্ব =Q P=O S=\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}
জটিল সংখ্যার গুণের জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometrical representation of multiplication of complex number)
মনে করি, P ও Q বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে z_1 ও z_2 জটিল সংখ্যাদ্বয় এবং R বিন্দু দ্বারা z=z_1z_2 সংখ্যাটি সূচিত করে। তাহলে গুণফলের মডুলাস |z|=OR=OP\times OQ এবং z এর অর্থাৎ গুণফলের আর্গুমেন্ট \angle R O X=\angle P O X+\angle Q O X। মনে করি OX বরাবর OA রেখাংশ একক দৈর্ঘ্য সূচিত করে। তাহলে,
\frac{OR}{OQ}=\frac{OP}{OA} এবং \angle ROQ=\angle ROX-\angle QOX=\angle POX=\angle POA
সুতরাং POA এবং ROQ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ। তাই দুইটি জটিল সংখ্যার গুণনের প্রতিরূপ বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে হলে OX বরাবর একক দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট OA অংশ কেটে নিয়ে OQ এর উপর OQ এর যে পাশে OP তার বিপরীত পাশে এরূপ একটি OQR ত্রিভুজ অঙ্কন করতে হবে যা OPA ত্রিভুজের সদৃশ। তাহলে R বিন্দু দুইটি z_1 ও z_2 এর গুণফল z সূচিত করবে।
অর্থাৎ, দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের বিয়োগফলের সমান।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:
মনে করি, চিত্রে P ও Q বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right) এবং z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right) জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং z_1 ও z_2 এর ভাগফল =\frac{z_1}{z_2}=z দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু R তাহলে O P=r_{1}=\left|z_{1}\right|, O Q=r_{2}=\left|z_{2}\right|, O R=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}=\frac{O P}{O Q}
OX বরাবর OA=1 বিবেচনা করি এবং OP এর যে পাশে OQ আছে, তার বিপরীত পাশে \angle QOX এর সমান \angle POR অঙ্কন করি যেন \angle QOP এর সমান \angle OAR হয়।
চিত্রানুসারে,
\angle QOX=\theta2=\angle POR\\ বা,\; \angle QOP+\angle POX=\angle POX+\angle XOR\\ বা,\; \angle QOP=\angle XOR=\angle AOR\\ আবার,\; \angle OQP=\angle OARসুতরাং OPQ এবং AOR ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে, \frac{OR}{OP}=\frac{AR}{PQ}=\frac{OA}{OQ}
বা, OR=\frac{OP}{OQ}. OA=\frac{OP}{OQ} [\because OA=1]
আবার, \angle XOR=\angle POR-\angle POX=\theta_2-\theta_1
অতএব, R বিন্দুই দুইটি জটিল সংখ্যা z_1 ও z_2 এর ভাগফল \frac{z_1}{z_2} প্রকাশ করে।