৩২তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (32nd BCS Preli Question Bank)

32nd BCS – MCQ

“Every (a) man or woman should vote (b) for (c) the candidate of their (d) choice.”

উপরের চিত্রানুযায়ী, ধরা যাক O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত। যার, OD = OB = ব্যাসার্ধ = 7 সে.মি.। তবে, BD = ব্যাস = ( 7 + 7 ) সে.মি. = 14 সে.মি. এবং ABCD একটি বর্গক্ষেত্র, যার AB = BC = CD = DA এবং কর্ণ, BD = AC = বৃত্তের ব্যাস = 14 সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = \sqrt{2} (এক বাহুর দৈর্ঘ্য) একক

ধরি, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

\therefore বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ = \sqrt{2} \times a = \sqrt{2}a সে.মি.

প্রশ্নমতে, \sqrt{2}a = 14

\therefore a = \frac{14}{\sqrt{2}} সে.মি. ​

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^2 বর্গ একক

= \left( \frac{14}{\sqrt{2}} \right)^2 বর্গ সে.মি.

= \frac{14 \times 14}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} বর্গ সে.মি.

= \frac{196}{2} বর্গ সে.মি.

= 98 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98 বর্গ সে.মি.।

এই গাণিতিক সমস্যাটি আরো এক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যায়। নিম্নে তা উপস্থাপন করা হলো:

প্রশ্নানুযায়ী, 7 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত রয়েছে এবং বৃত্তটির অন্ত:স্থ একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে।

উপরের চিত্রানুযায়ী, ধরা যাক O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত। যার, OD = ব্যাসার্ধ = 7 সে.মি.। তবে, BD = ব্যাস = ( 7 + 7 ) সে.মি. = 14 সে.মি. এবং ABCD একটি বর্গক্ষেত্র, যার AB = BC = CD = DA এবং কর্ণ BD = AC = বৃত্তের ব্যাস = 14 সে.মি.

ABCD বর্গক্ষেত্রের মধ্যে \triangle {BCD} এবং \triangle {BAD} দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ। এখন, \triangle {BCD} -এ,

BC^2 + CD^2 = BD^2 [ \because \text{পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী} ]

বা, BC^2 + BC^2 = 14^2 [ \because BC =CD ]

বা, 2BC^2 = 196

বা, BC^2 = \frac{196} {2}

বা, BC = \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{(7)^2 \times 2} = 7 \sqrt {2}

\therefore BC = 7 \sqrt {2} সে.মি.

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^2 বর্গ একক

= \left( 7 \sqrt {2} \right)^2 বর্গ সে.মি.

= (7)^2 \times (\sqrt{2})^2 বর্গ সে.মি.

= 49 \times 2 বর্গ সে.মি.

= 98 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98 বর্গ সে.মি.।

=\frac {\sqrt{2} \left( \sqrt{6} - 2 \right)} {\left( \sqrt{6} + 2 \right) \left( \sqrt{6} - 2 \right)} \space \left[ \space \because \space লব \space ও \space হরকে \space \left( \sqrt {6} - \sqrt {2} \right) দ্বারা \space গুণ \space করে \right]

= \frac {\sqrt{2} \left( \sqrt{6} - 2 \right)} {\left(\sqrt {6}\right)^2 - \left(2\right)^2}

= \frac {\sqrt{2} \left( \sqrt{6} - 2 \right)} {6-4}

= \frac {\sqrt{2} \left( \sqrt{6} - 2 \right)} {2}

= \frac {\sqrt{12} - 2 \sqrt{2}} {2}

= \frac { 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}} {2}

= \frac{2 \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)}{2}

= \sqrt{3} - \sqrt{2} \space \bm { \left[ Ans.\right] }​

ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং \angle{A} =90 \degree

আমরা জানি,

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু সমূহ পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণ গুলো সমকোণ, ঐ চতুর্ভুজটিকে আয়তক্ষেত্র বলে।

উপরোক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যাচ্ছে ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। কারণ, চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহু সমূহ পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণ সমূহ সমকোণ।

= x^2 - (y^2 - 2y + 1)

= x^2 - (y - 1)^2 \space [ \space \because \space a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 ]

= (x + y - 1) \{ x - (y-1) \} \space [ \space \because \space a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)]

= (x + y - 1) (x - y + 1)

উপরোক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায়, (x^2 - y^2 + 2y - 1) এর একটি উৎপাদক: (x + y – 1)

= \log_{2}2^{3}

= 3 \log_{2}2 \space [ \space \because \space \log_a {a^2} = 2 \log_a {a} ]

= 3 \times 1 \space [ \space \because \space \log_a {a} = 1 ]

= 3\space \bm { \left[ Ans.\right] }

= 2(x + x + 4 ) মিটার

= 2(2x + 4) মিটার

= 4x + 8 মিটার

প্রশ্নানুযায়ী, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 32 মিটার

প্রশ্নমতে,

4x + 8 = 32

বা, 4x = 32 – 8

বা, 4x = 24

বা, x = \frac{24}{4}

দৈর্ঘ্য = x + 4 মিটার = 6 + 4 মিটার = 10 মিটার

\therefore \text{ঘরটির দৈর্ঘ্য} = 10 মিটার \bm { \left[ Ans.\right] }

\therefore সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল, A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 বর্গ মিটার

প্রশ্নানুযায়ী, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 3 \sqrt{3} বর্গ মিটার বেড়ে যায়।

\therefore সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বৃদ্ধি হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য = a + 2 মিটার।

\therefore বাহুর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়ায় সমবাহু ত্রিভুজটির নতুন ক্ষেত্রফল, A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(a+2)^2 বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,

সুতরাং সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার \bm { \left[ Ans.\right] }

\therefore প্রদত্ত \space রাশি, \space x^3 - \frac {1} {x^3} &  = \left( x - \frac {1} {x} \right)^3 + 3 \times x \times \frac {1} {x}\left( x - \frac {1} {x} \right)

& = \left(7 \right)^3 + 3 \times 7

& = 343 + 21

& = 364 ​\space \bm { \left[ Ans.\right] }

এখানে, A = { x \in \N : x^2 \gt 8, x^3 \lt 30 } এর অর্থ হচ্ছে x এর মধ্যে যে উপাদান গুলো থাকবে তা হবে স্বাভাবিক সংখ্যা, x এর মানটিকে বর্গ করলে 8 এর বড় হয় এবং ঘন করলে 30 এর ছোট হয় ।

তাহলে, x = 1 হলে, x^2 = 1^2 = 1 \ngtr 8 \space এবং \space x^3 = 1^3 = 1 \lt 30 , যা গ্রহণযোগ্য নয়।

x = 2 হলে, x^2 = 2^2 = 4 \ngtr 8 \space এবং \space x^3 = 2^3 = 8 \lt 30 , যা গ্রহণযোগ্য নয়।

x = 3 হলে, x^2 = 3^2 = 9 \gt 8 \space এবং \space x^3 = 3^3 = 27 \lt 30 , যা গ্রহণযোগ্য।

x = 4 হলে, x^2 = 4^2 = 16 \gt 8 \space এবং \space x^3 = 4^3 = 64 \nless 30 , যা গ্রহণযোগ্য নয়।

এখানে, x = 1, 2 এবং 4 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ, x = 1, 2 প্রদান করলে এর বর্গের মান 8 এর ছোট হয়। কিন্তু, x এর বর্গের মান শর্তানুযায়ী 8 এর বড় হতে হবে।

x = 4 প্রদান করলে এর ঘনের মান 30 এর বড় হয়। কিন্তু, x এর ঘনের মান শর্তানুযায়ী 30 এর ছোট হতে হবে। তাই, x = 1, 2 এবং 4 গ্রহণযোগ্য নয়।

\therefore A = {3} \bm { \left[ Ans.\right] }