৩৮ তম বিসিএস প্রশ্নব্যাংক ও ব্যাখ্যাসহ সমাধান (38th BCS Preli Question Bank)

এখানে, A = { x:x, Fibonacci সংখ্যা এবং x^2 \lt 64 } এর অর্থ হচ্ছে x যেন Fibonacci সংখ্যা হয় এবং x এর মানটিকে বর্গ করলে 64 এর ছোট হয় । \\[5px]

এখন, Fibonacci সংখ্যা সমূহ হচ্ছে: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8….. \\[5px]

তাহলে, x = 0 হলে, x^2 = 0^2 = 0 \lt 64 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 1 হলে, x^2 = 1^2 = 1 \lt 64 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 2 হলে, x^2 = 2^2 = 4 \lt 64 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 3 হলে, x^2 = 3^2 = 9 \lt 64 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 5 হলে, x^2 = 5^2 = 25 \lt 64 , যা গ্রহণযোগ্য। \\[3px]

x = 8 হলে, x^2 = 8^2 = 64 = 64 , যা গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ, x এর বর্গের মান 64 এর ছোট হতে হবে x^2 \lt 64 । কিন্তু, 64 এর বড় বা সমান হতে পারবে না এবং 64 হচ্ছে 64 এর সমান। তাই, 8 গ্রহণযোগ্য নয়। \\[5px]

\therefore A = {0, 1, 2, 3, 5} \\[5px]

\therefore P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2^n = 2^5 = 32 \space \bm { \left[ Ans.\right] }

এখন, মোট 9 জন থেকে 3 জন সদস্য নিয়ে কমিটিটি গঠন করা যাবে ^{9}C_3 উপায়ে। \\[5px]

আমরা জানি, \\[3px]^{n}C_r = \frac {n!} {r!(n-r)!} \\[3px]\implies ^{9}C_3 = \frac {9!} {3!(9-3)!} = \frac {9 \times 8 \times 7 \times 6!} {3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac {504} {6} = 84 \space \bm { \left[Ans.\right] }

30 থেকে 40 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা সমূহ: 31, 37 = 2টি \\[3px]

30 থেকে 40 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সমূহ: 30, 35, 40 = 3টি \\[7px]

30 থেকে 40 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = \frac {2} {11} \\[3px]

30 থেকে 40 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = \frac {3} {11} \\[7px]

\therefore 30 থেকে 40 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = \left( \frac {2} {11} + \frac {3} {11} \right) = \left( \frac {2+3} {11} \right) = \frac {5} {11} \space \bm { \left[ Ans.\right] }

বিক্রয়মূল্য 88 টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100 টাকা \\[5px]

\therefore বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে ক্রয়মূল্য \frac {100} {88} টাকা \\[9px]

10% লাভে বিক্রয়মূল্য = (100 + 10) টাকা = 110 টাকা \\[5px]

ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য 110 টাকা \\[5px]

\therefore ক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য \frac {110} {100} টাকা \\[5px]

\therefore ক্রয়মূল্য \frac {110} {100} টাকা হলে বিক্রয়মূল্য \frac {110} {100} \times \frac {100} {88} টাকা = \frac {110} {88} টাকা \\[9px]

\frac {110} {88} টাকায় বিক্রয় করতে হবে 5টি মার্বেল \\[5px]

\therefore 1 টাকায় বিক্রয় করতে হবে \frac {5} {\frac{110}{88}} টি মার্বেল = 5 \times \frac {88} {110} টি মার্বেল = \frac {440} {88} টি মার্বেল = 4টি মার্বেল \bm { \left[ Ans.\right] }

সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = a \\[3px]

প্রশ্নমতে, a = 4 \\[5px]

সুতরাং বৃহত্তম সংখ্যাটি = 3a = 3 \times 4 = 12 \bm { \left[ Ans.\right] }

মুনাফা-আসল, A = 5500 টাকা \\[3px]

সময়, n = 3 বছর \\[3px]

ধরি, আসল = P \\[3px]

মুনাফা, I = P এর \frac {3} {8} = \frac{3P} {8} \\[3px]

এবং মুনাফার হার, r = ? \\[7px]

আমরা জানি, \\[3px]

সরল মুনাফা, I = Prn \\[3px]

বা, Prn = I \\[3px]

বা, r = \frac {I} {Pn} \\[3px]

বা, r = \frac {\frac{3P} {8}} {P \times 3} \\[3px]

বা, r = \frac {3P} {8} \times 3P \\[3px]

বা, r = \frac {1} {8} \\[3px]

বা, r = \frac {1} {8} \times \frac {1} {100} \times 100 \\[3px]

বা, r = \frac {100} {8} \% \\[3px]

বা, r = \frac {25} {2} \% \\[3px]

\therefore r = 12.5% \bm { \left[ Ans.\right] }

এখন, \\[3px]

30 শতাংশ সম্পদের মূল্য = 720000 টাকা \\[3px]

\therefore 1 শতাংশ সম্পদের মূল্য = \frac {720000} {30} টাকা \\[3px]

\therefore 100 শতাংশ সম্পদের মূল্য = \frac {100 \times 720000} {30} টাকা = 2400000 টাকা \bm { \left[ Ans.\right] }

x= \sqrt {3} + \sqrt {2} \\[3px] \begin {aligned} \therefore \frac {1} {x} & = \frac {1} {\sqrt {3} + \sqrt {2}} \\[9px]& = \frac {1 \left( \sqrt {3} - \sqrt {2} \right) } { \left(\sqrt {3} + \sqrt {2}\right) \left( \sqrt {3} - \sqrt {2} \right)} \space \left[ \space \because \space লব \space ও \space হরকে \space \left( \sqrt {3} - \sqrt {2} \right) দ্বারা \space গুণ \space করে \right] \\[9px]& = \frac {\sqrt {3} - \sqrt {2}} {\left(\sqrt {3}\right)^2 - \left(\sqrt {2}\right)^2} \\[9px]& = \frac {\sqrt {3} - \sqrt {2}} {3-2} \\[5px]& = \frac {\sqrt {3} - \sqrt {2}} {1} \\[5px]& = \sqrt {3} - \sqrt {2}\end {aligned} \\[5px]\therefore x + \frac {1} {x} = \sqrt {3} + \sqrt {2} + \sqrt {3} - \sqrt {2} = 2 \sqrt{3} \\[5px] \begin{aligned} \therefore প্রদত্ত \space রাশি, \space x^3 + \frac {1} {x^3} & = \left( x + \frac {1} {x}\right)^3 - 3 \times x \times \frac {1} {x}\left( x + \frac {1} {x} \right) \\[3px]& = \left( 2 \sqrt {3} \right)^3 - 3 \times 2 \sqrt {3} \\[3px]& = 8 \times \sqrt {3} \times \sqrt {3} \times \sqrt {3} - 6 \sqrt{3} \\[3px]& = 24 \sqrt{3} - 6 \sqrt {3} \\[3px]& = 18 \times \sqrt {3} \\[3px]& = 18 \sqrt {3} \space \bm { \left[ Ans.\right] } \end {aligned}

এখন, ঋণাত্মক মান বিবেচনা করে অসমতাটি সমাধান করা হলো: \\[3px] - (2x - 3) \leq 1 \\[3px]\implies -2x + 3 \leq 1 \\[3px]\implies -2x \leq 1 - 3 \\[3px]\implies -2x \leq -2 \\[3px]\implies -x \leq -1 \\[3px]\implies x \geq 1 \space [ \because \space উভয়পক্ষকে \space (-1) \space দ্বারা \space গুণ \space করে] \\[7px]

অসমতাটি একবার ধনাত্মক এবং একবার ঋণাত্মক ধরে ২টি গাণিতিক সম্পর্ক পাওয়া যাচ্ছে। যথা: \\[3px]

I. x \leq 2 \\[3px]

II. x \geq 1 বা, 1 \leq x \\[7px]

সুতরাং, | 2x - 3 | \leq 1 এর সমাধান: 1\leq x \leq 2 \\[7px]

ঘড়িতে সময় 7 : 20 অতএব বাস্তবে ঘড়িটিতে সময় 7 : 20 ।