সরল ও দ্বিপদী অসমতা | Simple and Binomial Inequality

অসমতা 

মনে করি একটি ক্লাসে ছাত্রের সংখ্যা 50 জন। অনেক সময় দেখা যায়, একদিনে ঐ ক্লাসের সবাই উপস্থিত থাকে না, আবার সবাই অনুপস্থিতও থাকে না। এখন একটি নির্দিষ্ট দিনে ঐ ক্লাসে উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা x হলে আমরা লিখতে পারি 0 < x < 50 ।

এভাবে “>” বা “<” চিহ্ন ব্যবহার করে অসমতার সমীকরণ প্রকাশ করা হয়ে থাকে।

বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে,

a > b যদি ও কেবল যদি ( a – b) ধনাত্মক অর্থাৎ ( a – b ) > 0

a < b যদি ও কেবল যদি ( a – b) ঋণাত্মক অর্থাৎ ( a – b ) < 0

১। অসমতার উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করলে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয় না। 

২। অসমতার বামপক্ষ ও ডানপক্ষ রাশিকে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ অথবা ভাগ করলে অসমতার দিক পাল্টে যায়। 

৩। ডানপক্ষকে বামপক্ষে এবং বামপক্ষকে ডানপক্ষে আনলে অসমতার দিক পাল্টে যায়। 

৪। অসমতার ভগ্নাংশের লবকে হর এবং হরকে লব বানালে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যায়। 

অসমতার কয়েকটি বিধি

ক) a > b ⇔ b < a

খ) a > b হলে, যেকোনো c এর জন্য,

a + c > b + c এবং a – c > b – c

গ) a > b হলে যেকোনো c এর জন্য,

ac > bc এবং যখন , c > 0

ac < bc এবং যখন, c < 0

সমস্যা- ০১: সমাধান কর- a ( x + b ) < c [ a ≠ 0 ]

সমাধান: a(x+b) < c 

বা, ax + ab < c 

বা, x < \frac{(c-ab)}{a} 

সমস্যা – ০৩: যদি x > 0 এবং \sqrt{\frac{y}{x}}=x  হয় , তাহলে x এর সাপেক্ষে y কত? 

সমাধান: \frac{y}{x}=x^2\\ \Rightarrow y=x^3\\ \therefore x=3\sqrt{y}

সমস্যা – ০৪: যদি x^3<x^2<x হয় , x এর মান কত ?

যখন x এর মান সূচক আকারে কমতে থাকে তার মানে এটার মান ঋণাত্মক।

পরমমান 

। । এই চিহ্নকে পরমমান বলা হয়। পরমমান যুক্ত সংখ্যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। তাই যদি কোনো সংখ্যা বা ভগ্নাংশ পরমমান চিহ্নের ভেতরে থাকে তাহলে তাকে একবার ধনাত্মক এবং আরেকবার ঋণাত্মক ধরে দুই বার হিসেব করতে হয়। 

পরমমানের ভেতরে ঋণাত্মক মান বসলে তা ধনাত্মক হয়ে যায়।

ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক মান

১। xy > 0 এভাবে দুটি সংখ্যার গুণফল 0 থেকে বড় হলে বুঝতে হবে দুটি সংখ্যাই ধনাত্মক অথবা দুটি সংখ্যাই ঋণাত্মক। 

২। xy < 0 এভাবে দুইটি সংখ্যার গুণফল 0 থেকে ছোট হলে বুঝতে হবে একটি সংখ্যা ধনাত্মক অপরটি ঋণাত্মক। 

৩। ডানপক্ষকে বামপক্ষে এবং বামপক্ষকে ডানপক্ষে আনলে অসমতার দিক পাল্টে যায়। 

৪। তিনটি সংখ্যা থাকলে xyz > 0 থাকলে বুঝতে হবে যে সবগুলো ধনাত্মক। 

ভগ্নাংশের অসমতা 

• কোনো ভগ্নাংশের বিপরীতকরণ করে সাধারণ সংখ্যায় পরিবর্তন করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।
• ভগ্নাংশ অসমতার বিপরীতকরণ করতে এক অংশের লবের সাথে অপর অংশের হর গুণ হয়।
• কোনো ভগ্নাংশকে বর্গ করলে তা ছোট হয়ে যায় এবং বর্গমূল করলে তা বড় হয়।

পরমমান থেকে অসমতা সমাধান 

সমাধান করুন । x -3। < 5

• 2 < x < 8
• -2 < x < 8
• – 8 < x < -2
• – 4 < x < 2

সমাধান: ।x -3। এটা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক ও হতে পারে।   

 x – 3 ধনাত্মক হলে, x-3<5 \Rightarrow x<8

আবার, x -3 ঋণাত্নক হলে, -(x-3)<5 \Rightarrow x>-5+3 \Rightarrow x>-2\\ \therefore -2<x<8

পরমমান তৈরি করা

• প্রথমে অসমতার দুই পাশের সংখ্যা যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করে গড় বের করতে হবে।
• গড়কে অসমতার দুই পাশের সংখ্যার সাথে বিয়োগ করে দুই পাশে একই মান বের করতে হয়। এভাবেই পরমমান বানানো যায়

পরমমান থেকে অসমতা সমাধান 

পরমমানে প্রকাশ করুন: 3 < x < 5 

• । x + 4 । < 1 
• । x -3 । < 1
• । x – 4। < 1
• । x + 4 । < 1

সমাধান: 

3+5= 8, 8/2= 4 

3- 4 < x – 4 < 5-4 বা, -1 < x-4  < 1 

সুতরাং । x – 4। < 1