Bank Jobs | ধারা

সাধারণ গণিত: ধারা

অনুক্রম: কতকগু‌লো সংখ্যা বা রা‌শিকে একটি নি‌র্দিষ্ট নিয়মানুসা‌রে ধারাবাহিকভাবে সাজা‌নো‌কে অনুক্রম বলে।

পদ: অনুক্রমের প্রতিটি সংখ্যা বা রাশিকে পদ ব‌লে।

কতগুলো সংখ্যা বা রাশিকে একটি নির্দিষ্ট নিয়মানুযায়ী প্রথম, দ্বিতীয় এভাবে সাজানোই হলো অনুক্রম আর সেই অনুক্রমের পদগুলোর মাঝে + চিহ্ন ব্যবহার করলেই সেটা ধারা। 

ধারা দুই প্রকার:

• সসীম ধারা,
• অসীম ধারা 

সসীম ধারা আবার দুই প্রকার:

• সমান্তর ধারা ও
• গুণোত্তর ধারা 

সসীম বা সান্ত ধারা: কোনো ধারার পদ সংখ্যা সসীম হলে তাকে সসীম বা সান্ত ধারা বলে।

অসীম ধারা: কোনো ধারার পদ সংখ্যা অসীম হলে তাকে অসীম ধারা বলে।

সমান্তর ধারা: কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য (বিয়োগফল) সর্বদা সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। 

গু‌ণোত্তর ধারা: যে ধারার কোনো প‌দের সা‌থে তার পরবর্তী প‌দের অনুপাত সর্বদাই সমান হয় তাকে গুণোত্তর ধারা বলে।

সমান্তর ধারায় প্রত্যেক পদের মধ্যে একটি সাধারন পার্থক্য থাকে। একে সাধারণ অন্তর বলে। একে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

সমান্তর ধারার উদাহরণ: ৫+ ১০+১৫+২০…………… + n তম পদ 

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বা r তম পদ: প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, r তম পদ = a+(r-1)d

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হ‌লে, তার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S=\frac{n(n+1)}{2}

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ব‌র্গের সমষ্টি, S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি, S=\Big(\frac{n(n+1)}{2}\Big)^2

গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বা n তম পদ: কোনো ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ = ar^{n-1}

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S=a\frac{(1-r^n)}{(1-r)}; যেখা‌নে r < 1

n তম পদ = a+(n-1)d

এখানে, a= প্রথম পদ 

d= সাধারণ অন্তর 

n সংখ্যক পদের সমষ্টি =\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]

• ৫,৯,১৩,১৭,—– সিরিজটির প্রথম ১৭টি সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 

এখানে,  a= 5, n= 17, d=4 

S=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)\\= 17 \frac{10+ (16x4)}{2}\\= 17 x 37 = 629

• The next number in the sequence 3, 6, 11, 18, 27, …. is___ 

Ans: 

The differences are odd numbers as such 3,5,7,9 

So the next difference will be 11 

The next number in the sequence will be = 27 + 11 = 38 

• একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ এবং ১২তম পদের যোগফল ২০। ঐ ধারাটির প্রথম ১৫টি পদের যোগফল কত?

ধরি, ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d

∴ (a+3d) + (a+11d) = 20\\
⇒ 2a + 14d = 20\\
We\; know\; that, \\
S=\frac{n}{2}\Big(2a+(n-1)d\Big)\\
∴ S_{15} = \frac{15}{2}\Big(2a +(15-1)d\Big)\\
= \frac{15}{2}(2a+14d)\\
=15 \times \frac{20}{2} =150

• ২-৪+৮-১৬+……… ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত?

ধারাটি গুণোত্তর।

এখানে প্রথম পদ a= 2, q= -4/2 = -2 <1 

n=7\\
S=\frac{a(1-q^n)}{(1-q)}\\
=\frac{2(1-(-2)^7)}{1-(-2)}\\
=\frac{1(1+128)}{3}\\
=\frac{2\times 129}{3}\\
=86