বৃত্তীয় বা বৃত্তাকার গতি (Circular Motion)

কোনো বস্তু যদি কোনো বিন্দু বা অক্ষকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার পথে গতিশীল হয়, তখন তার গতিকে বৃত্তাকার গতি (Circular Motion) বলে।

বৃত্তাকার গতি বিষয়ক বিভিন্ন রাশি ( Terms Related to Circular Motion)

কৌণিক সরণ (Angular Displacement)

বস্তুটি বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তার সাহায্যে আমরা বস্তুটির অবস্থান বর্ণনা করতে পারি। এখানে কৌণিক সরণ বা কৌণিক দূরত্ব(Angular Displacement) । পরিমাপের জন্য রেডিয়ান ব্যবহার করা হয়। একে ডিগ্রিতেও মাপা যেতে পারে। কোণকে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে আমরা পাই,

কোণ = চাপব্যাসার্ধ

∴θ=Sr

বা, S=θr

যেহেতু কোণ হচ্ছে = চাপব্যাসার্ধ ,  কাজেই কোণের মাত্রা হবে  =LL=1

অর্থাৎ কোণের কোনো মাত্রা নেই।

রেডিয়ানের সংজ্ঞা: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে রেডিয়ান বলে।

এখন কোনো বস্তু যদি সম্পূর্ণ বৃত্তাকার পথে একবার ঘুরে আসে তাহলে কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ।

=পরিধিব্যাসার্ধ=2πrr=2π radian

সুতরাং বৃত্তাকার পথে 1 বার ঘুরে আসা আর বৃত্তের কেন্দ্রে 2π rad কোণ অতিক্রম করা একই কথা।

অতএব, 1 ঘূর্ণন =1 revolution (rev) = 2π radian (rad) = 360 degree

∴1 rad =3602π=57.3 প্রায়

কৌণিক বেগের সংজ্ঞার আগে গড় কৌণিক বেগের সংজ্ঞা আলোচনা  করা যাক।

গড় কৌণিক বেগের সংজ্ঞা: কোনো বিন্দু বা অক্ষকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার পথে চলমান কোনো বস্তুর যেকোনো সময় ব্যবধানে গড়ে প্রতি একক সময়ে যে কৌণিক সরণ হয় তাকে বস্তুটির গড় কৌণিক বেগ ( average angular velocity) বলে।

ব্যাখ্যা: ধরা যাক t সময় ব্যবধানে কোনো বস্তুর কৌণিক সরণ হলো তাহলে, 

গড় কৌণিক বেগ, =t

কৌণিক বেগ বা তাৎক্ষণিক কৌণিক বেগের সংজ্ঞা: সময় ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি হলে কোনো বিন্দু বা অক্ষকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার পথে চলমান কোনো বস্তুর সময়ের সাথে কৌণিক সরণের হারকে কৌণিক বেগ (angular velocity)বলে।

ব্যাখ্যা:

t সময় ব্যবধানে কোনো বস্তুর কৌণিক সরণ হলে, কৌণিক বেগ

ω=t→0 t

কিন্তু  t→0 t হচ্ছে  t– এর সাপেক্ষে  – এর অন্তরক অর্থাৎ  dθdt

বা, ω=dθdt

অর্থাৎ সময়ের সাপেক্ষে কৌণিক সরণের অন্তরককে কৌণিক বেগ বলে।

বস্তু একক সময়ে বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তাই কৌণিক বেগের মান বা কৌণিক দ্রুতি।

বৃত্তাকার পথটি সম্পূর্ণ একবার ঘুরে আসতে বস্তুটির যে সময় লাগে তাকে পর্যায় কাল বলে। কোনো বস্তুর পর্যায়কাল T হলে,

ω=2πT

বস্তু প্রতি সেকেন্ডে যতগুলো পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করে তাকে কম্পাঙ্ক বলে। 

কম্পাঙ্ক   f   হলে,  f=1T

∴ω=2πf

আবার বস্তুটি  t সময়ে  N সংখ্যক ঘূর্ণন সম্পন্ন করলে  f=Nt

∴ω=2πNt

 

কৌণিক বেগের মাত্রা : কৌণিক বেগের মাত্রা হচ্ছে  কোণসময় এর মাত্রা।

∴=LL×T=T-1

 

কৌণিক বেগের একক : কৌণিক বেগের একক হবে কোণসময় এর একক অর্থাৎ রেডিয়ান সেকেন্ড  s-1

কৌণিক বেগকে অনেক সময় revolution per second  বা rps  অর্থাৎ প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা দ্বারাও প্রকাশ করা হয়। 

যেহেতু, 1 rev =2π rad

∴1rps=1revs=2πrads=2πrads-1

কৌণিক বেগকে revolution per minute বা rpm অর্থাৎ প্রতি মিনিটে ঘূর্ণন সংখ্যা দ্বারাও প্রকাশ করা হয়ে থাকে

∴1rpm=1revmin=2πrad60s=30rads-1

কৌণিক বেগের দিক:  রৈখিক বেগের ন্যায় কৌণিক বেগও একটি ভেক্টর রাশি। একটি ডানহাতি ত্রুর সাহায্যে কৌণিক বেগের দিক নির্দেশ করা যায়। বৃত্তের কেন্দ্রে অভিলম্বভাবে একটি ডানহাতি স্কু স্থাপন করে বৃত্তাকার পথে বস্তুটি যে ক্রমে (order) ঘুরছে সে ক্রমে স্কুটি ঘুরালে স্তু যে দিকে অগ্রসর হবে সেটিই হবে কৌণিক বেগের দিক (চিত্র)।

  

রৈখিক দ্রুতি ও কৌণিক দ্রুতির সম্পর্ক, v=rω (The Angular Velocity Relationship Linear Velocity)

আমরা জানি, r ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে চলমান কোনো বস্তুর অতিক্রান্ত রৈখিক দূরত্ব s এবং কৌণিক দূরত্ব হলে θ হলে, 

s=rθ

উভয় পক্ষকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, 

dsdt=ddtrθ=rdθdt

কিন্তু  dsdt= রৈখিক দ্রুতি =v

এবং dθdt= কৌণিক দ্রুতি=ω

∴v=rω

কৌণিক ত্বরণ (Angular Acceleration) 

কৌণিক বেগের পরিবর্তন হলে কৌণিক ত্বরণ(Angular Acceleration)  হয়। কৌণিক ত্বরণের সংজ্ঞার আগে গড় কৌণিক ত্বরণের সংজ্ঞা আলোচনা করা যাক।  

গড় কৌণিক ত্বরণের সংজ্ঞা: যেকোনো সময় ব্যবধানে কোনো বস্তুর গড়ে প্রতি একক সময়ে কৌণিক বেগের যে পরিবর্তন হয় তাকে গড় কৌণিক ত্বরণ (Angular Acceleration) বলে।

ব্যাখ্যা: Δt সময় ব্যবধানে কোনো বস্তুর কৌণিক বেগের পরিবর্তন যদি হয়, তাহলে গড় কৌণিক ত্বরণ

=t

কৌণিক ত্বরণ বা তাৎক্ষণিক কৌণিক ত্বরণের সংজ্ঞা: সময় ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি হলে সময়ের সাথে বস্তুর কৌণিক বেগের পরিবর্তনের হারকে কৌণিক ত্বরণ বলে।

ব্যাখ্যা : Δt সময় ব্যবধানে কোনো বস্তুর কৌণিক বেগের পরিবর্তন যদি হয়, তাহলে গড় কৌণিক ত্বরণ,

α=t→0 t

কিন্তু α=t→0 t  হচ্ছে t এর সাপেক্ষে এর অন্তরক অর্থাৎ dωdt

∴α=dωdt

কৌণিক ত্বরণের মাত্রা: কৌণিক ত্বরণের মাত্রা হচ্ছে কৌণিক বেগসময় এর মাত্রা।

∴=T-1T=T-2

কৌণিক ত্বরণের একক:  কৌণিক ত্বরণের একক হলো  কৌণিক বেগসময় এর একক অর্থাৎ  রেডিয়ানসেকেন্ড২  বা,  s-2  

তাৎপর্য: কোনো বস্তুর কৌণিক ত্বরণ 3rads-2 বলতে বোঝায় যে, প্রতি সেকেন্ডে বস্তুটির কৌণিক বেগের পরিবর্তন 3 rads-1। 

রৈখিক ত্বরণ ও কৌণিক ত্বরণের মধ্যে সম্পর্ক: a=rα

আমরা জানি, ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান কোনো একটি কণার যেকোনো মুহূর্তে রৈখিক বেগের মান v এবং কৌণিক বেগের মান হলে,

v=rω

উভয় পক্ষকে সময়ের সাথে অন্তরীকরণ করে পাই,

dvdt=ddtrω=rdωdt

কিন্তু dvdt= রৈখিক ত্বরণ =a

এবং dωdt= কৌণিক ত্বরণ =

∴a=rα