মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin)
পরাবৃত্ত (Parabola) : মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin):
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S, নিয়ামকরেখা MZM′।
MZM′ এর উপর SZ লম্ব টানি এবং SZ কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি।
তাহলে, A পরাবৃত্তের মূলবিন্দু এবং শীর্ষ বিন্দু।
ZSX পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা।
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো চলমান বিন্দু P(x,y) এবং ZA=AS=a ।
P হতে নিয়ামকের ওপর PM ও AX এর ওপর PN লম্ব অঙ্কন করি। S,P যোগ করি।∴ পরাবৃত্তের ∴ ফোকাস S(a,0)
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে পাই, PMSP=e=1
⇒SP=PM⇒SP=ZN⇒SP=AZ+AN⇒SP=a+x
⇒SP2=(a+x)2
⇒(x−a)2+(y−0)2=(a+x)2
⇒y2=(x+a)2−(x−a)2
∴y2=4ax
এই সমীকরণ হলো পরাবৃত্তের আদর্শ বা প্রমিত সমীকরণ (Standard Equation)।
পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন: y2=4ax (Graphic the parabola y2=4ax
মনে করি, y2=4ax;a>0 পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামকরেখা MM’
নিয়ামকের উপর SZ লম্ব আঁকি।
এবং SZ কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি।
∴SZ=AZ
সংজ্ঞানুসারে, AZSA=1
অঙ্কন:
১) পরাবৃত্তের ওপর A একটি বিন্দু বর্ধিত AS এর উপর যেকোনো বিন্দু N নিই ও ZS⊥PP′ আঁকি।
২) S কে কেন্দ্র করে ZN এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যেন তা PNP′ কে P ও P′ বিন্দুতে ছেদ করে।
৩) এখন, নিয়ামকের ওপর PM ও P′M′ লম্ব আঁকি। ফলে, SP=ZN=PM
/therefore সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের ওপর P একটি বিন্দু।
৪) একইভাবে, AS এর ওপর N1,N2…… ইত্যাদি বিন্দু দিয়ে পরাবৃত্তের ওপর Q,Q′;R,R′ ইত্যাদি বিন্দু পাওয়া যায়।
৫) এই বিন্দুগুলি একটি সুষম বক্ররেখা দ্বারা যোগ করলে একটি পরাবৃত্তের লেখচিত্র পাওয়া যায়।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Length of the epicenter perpendicular to the parabola):
y2=4axপরাবৃত্তের,
উপকেন্দ্র S, নিয়ামক MZM’,
শীর্ষবিন্দু A, অক্ষ ZS এবং
উপকেন্দ্রিক লম্ব LSL’ ।
তাহলে, S এর স্থানাঙ্ক (a, 0)
LM ⊥ MM’ হলে,
SL = LM= ZS =AZ + AS
= a + a= 2a
∴LL‘= SL + SL
=2a + 2a= 4a
∴ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = |4a|
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য =2× উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব
=4× শীর্ষবিন্দু ও ফোকাসের দূরত্ব
=4× শীর্ষবিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ: (y2=4ax) (The vertex of the parabola, Coordinates of the epicenter, Equilibrium of the control line)
মনে করি,y2=4ax;a>0 পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামকরেখা MZM’। MZM’ এর উপর SZ লম্ব টানি এবং SZ কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি। তাহলে A পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু। ধরি, XAX’ ও YAY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ।
তাহলে শীর্ষবিন্দু A এর স্থানাঙ্ক (0,0)
AS = a হলে ZA = a হবে।
∴পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক S(a, 0) এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক Z (-a, 0)। y অক্ষের সমান্তরাল ও Z(-a, 0) বিন্দুগামী নিয়ামকরেখা MZM’ এর সমীকরণ
x=-a
⇒x+a=0
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু α,β এবং অক্ষরেখা x অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ (y−β)2=4a(x−α)
মনে করি, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু A (α,β) এবং ZA = AS = a
পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা x অক্ষের সমান্তরাল।
∴ পরাবৃত্তটির ফোকাস S (α+a, β) এবং নিয়ামক রেখার পাদবিন্দু Z(α-a, β)
∴ নিয়ামকরেখার সমীকরণ x = α – a
⇒ x – α + a = 0
∴ পরাবৃত্তের সমীকরণ: {x−(α+a)}2+(y−β)2=(x−α+a)2
⇒{x−(α+a)}2+(y−β)2={x−(α−a)}2
(⇒(y−β)2={x−(α−a)}2−{x−(α+a)}2
⇒(y−β)2=(x−a+a+x−a−a)(x−a+a−x+a+a)
⇒(y−β)2=2(x−α)⋅2a
∴(y−β)2=4a(x−α)
প্রদত্ত শর্তানুযায়ী ইহাই পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন, (y−β)2=4a(x−α)
⇒y2−2βy+β2=4ax−4aα
⇒4ax=y2−2βy+β2+4aα
⇒x=4a1y2+(2a−β)y+4aβ2+4aα
∴ x অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ
অনুরূপভাবে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (α,β) এবং অক্ষরেখা y অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ x=ay2+by+c
∴ y অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ y=ax2+bx+c
y2 = 4ax পরাবৃত্তে y = mx+c সরলরেখাটি স্পর্শক হওয়ার শর্ত
মনে করি, y2=4ax……(i)
পরাবৃত্তের উপর P একটি বিন্দু এবং PQ যেকোনো একটি ছেদক জ্যা। Q বিন্দু ক্রমশ P বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে P বিন্দুর উপর সমাপতিত হলে ছেদকটি P বিন্দুতে উক্ত পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে।
মনে করি, PQ ছেদকের সমীকরণ
y=mx+c……(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
(mx+c)2=4ax
m2x2+2(mc−2a)x+c2=0
PQ ছেদক (i) নং পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি (iii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।
কিন্তু মূলদ্বয় সমান হলে এর পৃথায়ক শূন্য হবে, অর্থাৎ 4(mc−2a)2−4m2c2=0
⇒4m2c2−4.2.mc.2a+4.4a2−4m2c2=0
⇒16a2−16mca=0
⇒a2−mca=0
⇒a−mc=0
⇒mc=a
∴c=ma
∴y = mx + c রেখা y2=4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি c=ma হয়।
(iii) নং সমীকরণে c=ma বসিয়ে পাই,
m2x2+2(m⋅ma−2a)x+(ma)2=0
⇒(mx−ma)2=0
⇒mx=ma
∴x=m2a
∴y=mx+c
⇒y=m(m2a)+ma
⇒ma+ma=m2a
∴ স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (m2a,m2a)
∴y=mx+c সরলরেখাটি y2=4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে c=ma হবে। অতএব, m এর (m≠0) সকল মানের জন্য y=mx+ma সরলরেখাটি y2=4ax পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ প্রকাশ করে এবং স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (m2a,m2a)।
তদ্রূপ, x2=4ay পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ y=mx−am2। যেখানে, c=−am2 এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক =(2am,am2)
সমস্যা (Problem): দেখাও যে, lx+my+n=0 সরলরেখাটি y2=4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি ln=am2 হয়। [রা.’০৫; কু.’০৫]
সমধান (Solution): দেওয়া আছে, lx + my + n = 0
⇒ my= -l x -n
⇒y=−mlx−mn
এবার, y=−mbx−mn সরলরেখাটি y2=4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার ক্ষেত্রে, y=−mlx−mncosy=mx+cএর সাথে তুলনা করে পাই,
m=−ml এবং c=−mn
আমরা জানি, c=ma
⇒−mn=−mla
⇒−mn=−lam
⇒ln=am2 (দেখানো হলো)
অথবা, প্রদত্ত পরাবৃত্ত y2=4ax
x=4ay2……(i)
এবং সরলরেখা lx + my + n = 0……(ii)
(i) নং হতে প্রাপ্ত x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
l⋅4ay2+my+n=0
⇒4aly2×4a+my×4a+n×4a=0 [উভয়পক্ষকে 4a দ্বারা গুণ করে]
⇒ly2+4 may +4na=0……(iii)
যা y এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
∴(iii) নং সমীকরণ থেকে y এর দুটি মান পাওয়া যাবে।
(ii) নং রেখটি (i) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি y এর মান দুইটি সমান হয়। অর্থাৎ (iii) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক বা পৃথায়ক শূন্য হয়। (iii) নং সমীকরণ থেকে b2−4ac=0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
(4ma)2−4. L. 4na=0
⇒16m2a2−16nal=0
⇒m2a−nl=0
∴ln=am2 (দেখানো হলো)