মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin)

পরাবৃত্ত (Parabola) : মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin):

ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S, নিয়ামকরেখা $M Z M^{\prime}$ ।

$M Z M^{\prime}$ এর উপর $S Z$ লম্ব টানি এবং $S Z$ কে $A$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি।

তাহলে, $A$ পরাবৃত্তের মূলবিন্দু এবং শীর্ষ বিন্দু।

$Z S X$ পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা।

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো চলমান বিন্দু $P(x, y)$ এবং $Z A=A S=a$ ।

$P$ হতে নিয়ামকের ওপর $P M$ ও $A X$ এর ওপর $P N$ লম্ব অঙ্কন করি। $S, P$ যোগ করি। Graph Represents The Equation of Parabola Passing through origin ∴ পরাবৃত্তের $\therefore$ ফোকাস $S(a, 0)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে পাই, $\frac{S P}{P M}=e=1$

\begin{array}{l} \Rightarrow S P=P M \\ \Rightarrow S P=Z N \\ \Rightarrow S P=A Z+A N \\ \Rightarrow S P=a+x \end{array}

$\Rightarrow S P^{2}=(a+x)^{2}$

$\Rightarrow(x-a)^{2}+(y-0)^{2}=(a+x)^{2}$

$\Rightarrow y^{2}=(x+a)^{2}-(x-a)^{2}$

$\therefore y^{2}=4 a x$

এই সমীকরণ হলো পরাবৃত্তের আদর্শ বা প্রমিত সমীকরণ (Standard Equation)।

পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন: $y^{2}=4 a x$ (Graphic the parabola $y^{2}=4 a x$

মনে করি, $y^{2}=4 a x ; a>0$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামকরেখা MM’

নিয়ামকের উপর SZ লম্ব আঁকি।

এবং SZ কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি।

$\therefore S Z = A Z$

সংজ্ঞানুসারে, $\frac{S A}{A Z}=1$

অঙ্কন:

Graph of the Parabola ( y^2=4ax)

১) পরাবৃত্তের ওপর $A$ একটি বিন্দু বর্ধিত $A S$ এর উপর যেকোনো বিন্দু $N$ নিই ও $Z S \perp P P^{\prime}$ আঁকি।

২) $S$ কে কেন্দ্র করে $Z N$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যেন তা $P N P^{\prime}$ কে $P$ ও $P^{\prime}$ বিন্দুতে ছেদ করে।

৩) এখন, নিয়ামকের ওপর $P M$ ও $P^{\prime} M^{\prime}$ লম্ব আঁকি। ফলে, $S P=Z N=P M$

$/therefore$ সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের ওপর $P$ একটি বিন্দু।

৪) একইভাবে, $A S$ এর ওপর $N_1, N_2$ …… ইত্যাদি বিন্দু দিয়ে পরাবৃত্তের ওপর $Q, Q^{\prime} ; R, R^{\prime}$ ইত্যাদি বিন্দু পাওয়া যায়।

৫) এই বিন্দুগুলি একটি সুষম বক্ররেখা দ্বারা যোগ করলে একটি পরাবৃত্তের লেখচিত্র পাওয়া যায়।

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Length of the epicenter perpendicular to the parabola):

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব এর দৈর্ঘ্য

$y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তের,

উপকেন্দ্র S, নিয়ামক MZM’,

শীর্ষবিন্দু A, অক্ষ ZS এবং

উপকেন্দ্রিক লম্ব LSL’ ।

তাহলে, S এর স্থানাঙ্ক (a, 0)

LM ⊥ MM’ হলে,

SL = LM= ZS =AZ + AS

= a + a= 2a

∴LL‘= SL + SL

=2a + 2a= 4a

∴ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = |4a|

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য =2× উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব

=4× শীর্ষবিন্দু ও ফোকাসের দূরত্ব

=4× শীর্ষবিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ: ( $y^{2}=4 a x$ ) (The vertex of the parabola, Coordinates of the epicenter, Equilibrium of the control line)

The vertex of the parabola, Coordinates of the epicenter, Equilibrium of the control line

মনে করি, $y^{2}=4 a x ; a>0$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামকরেখা MZM’। MZM’ এর উপর SZ লম্ব টানি এবং SZ কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি। তাহলে A পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু। ধরি, XAX’ ও YAY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ।

তাহলে শীর্ষবিন্দু A এর স্থানাঙ্ক (0,0)

AS = a হলে ZA = a হবে।

∴পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক S(a, 0) এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক Z (-a, 0)। y অক্ষের সমান্তরাল ও Z(-a, 0) বিন্দুগামী নিয়ামকরেখা MZM’ এর সমীকরণ

x=-a

⇒x+a=0

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ এবং অক্ষরেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ $(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\beta})^{2}=4 \boldsymbol{a}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha})$

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (α,β) এবং অক্ষরেখা x অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ (y-β)2=4a(x-α)

মনে করি, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু A (α,β) এবং ZA = AS = a

পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা x অক্ষের সমান্তরাল।

∴ পরাবৃত্তটির ফোকাস S (α+a, β) এবং নিয়ামক রেখার পাদবিন্দু Z(α-a, β)

∴ নিয়ামকরেখার সমীকরণ x = α – a

⇒ x – α + a = 0

∴ পরাবৃত্তের সমীকরণ: $\{x-(\alpha+a)\}^{2}+(y-\beta)^{2}=(x-\alpha+a)^{2}$

\Rightarrow\{x-(\alpha+a)\}^{2}+(y-\beta)^{2}=\{x-(\alpha-a)\}^{2}

( $\Rightarrow(y-\beta)^{2}=\{x-(\alpha-a)\}^{2}-\{x-(\alpha+a)\}^{2}$

$\Rightarrow(y-\beta)^{2}=(x-a+a+x-a-a)(x-a+a-x+a+a)$

\Rightarrow(y-\beta)^{2}=2(x-\alpha) \cdot 2 a

\therefore(y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha)

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী ইহাই পরাবৃত্তের সমীকরণ।

এখন, $(y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha)$

\Rightarrow y^{2}-2 \beta y+\beta^{2}=4 a x-4 a \alpha

$\Rightarrow 4 a x=y^{2}-2 \beta y+\beta^{2}+4 a \alpha$

\Rightarrow x=\frac{1}{4 a} y^{2}+\left(\frac{-\beta}{2 a}\right) y+\frac{\beta^{2}+4 a \alpha}{4 a}

∴ x অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ

অনুরূপভাবে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (α,β) এবং অক্ষরেখা y অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ $x=a y^{2}+b y+c$

∴ y অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ $y=a x^{2}+b x+c$

$\bf y^{2}$ = 4ax পরাবৃত্তে y = mx+c সরলরেখাটি স্পর্শক হওয়ার শর্ত

y2=4ax পরাবৃত্তে y=mx+c সরলরেখাটি স্পর্শক হওয়ার শর্ত মনে করি, $y^{2}=4 a x \ldots \ldots(i)$

পরাবৃত্তের উপর P একটি বিন্দু এবং PQ যেকোনো একটি ছেদক জ্যা। Q বিন্দু ক্রমশ P বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে P বিন্দুর উপর সমাপতিত হলে ছেদকটি P বিন্দুতে উক্ত পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে।

মনে করি, PQ ছেদকের সমীকরণ

y=mx+c……(ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই,

(m x+c)^{2}=4 a x

$m^{2} x^{2}+2(m c-2 a) x+c^{2}=0$

PQ ছেদক (i) নং পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি (iii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।

কিন্তু মূলদ্বয় সমান হলে এর পৃথায়ক শূন্য হবে, অর্থাৎ $4(m c-2 a)^{2}-4 m^{2} c^{2}=0$

\Rightarrow 4 m^{2} c^{2}-4.2 . m c .2 a+4.4 a^{2}-4 m^{2} c^{2}=0

\Rightarrow 16 a^{2}-16 m c a=0\\

\Rightarrow a^{2}-m c a=0

\Rightarrow a-m c=0

\Rightarrow m c=a

\therefore c=\frac{a}{m}

∴y = mx + c রেখা $y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি $c=\frac{a}{m}$ হয়।

(iii) নং সমীকরণে $c=\frac{a}{m}$ বসিয়ে পাই,

m^{2} x^{2}+2\left(m \cdot \frac{a}{m}-2 a\right) x+\left(\frac{a}{m}\right)^{2}=0

\Rightarrow\left(m x-\frac{a}{m}\right)^{2}=0

\Rightarrow m x=\frac{a}{m}

\therefore x=\frac{a}{m^{2}}

∴y=mx+c

\Rightarrow y=m\left(\frac{a}{m^{2}}\right)+\frac{a}{m}

$\Rightarrow\frac{a}{m}+\frac{a}{m}=\frac{2 a}{m}$

∴ স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m}\right)$

∴y=mx+c সরলরেখাটি $y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে c= $\frac{a}{m}$ হবে। অতএব, m এর (m≠0) সকল মানের জন্য $y=m x+\frac{a}{m}$ সরলরেখাটি $y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ প্রকাশ করে এবং স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m}\right)$ ।

তদ্রূপ, $x^{2}=4 a y$ পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ $y=m x-a m^{2}$ । যেখানে, c= $-a m^{2}$ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক $=\left(2 a m, a m^{2}\right)$

সমস্যা (Problem): দেখাও যে, lx+my+n=0 সরলরেখাটি $y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি $l n=a m^{2}$ হয়। [রা.’০৫; কু.’০৫]

সমধান (Solution): দেওয়া আছে, lx + my + n = 0

⇒ my= -l x -n

\Rightarrow y=-\frac{l x}{m}-\frac{n}{m}

এবার, $y=-\frac{b x}{m}-\frac{n}{m}$ সরলরেখাটি $y^{2}=4 a x$ পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার ক্ষেত্রে, y= $-\frac{l x}{m}-\frac{n}{m} \cos y=m x+c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

m=-\frac{l}{m} \text { এবং } c=-\frac{n}{m}

আমরা জানি, $c=\frac{a}{m}$

\Rightarrow-\frac{n}{m}=\frac{a}{-\frac{l}{m}}

\Rightarrow-\frac{n}{m}=-\frac{a m}{l}

$\Rightarrow l n=a m^{2}$ (দেখানো হলো)

অথবা, প্রদত্ত পরাবৃত্ত $y^{2}=4 a x$

$x=\frac{y^{2}}{4 a} \ldots \ldots(i)$

এবং সরলরেখা lx + my + n = 0……(ii)

(i) নং হতে প্রাপ্ত x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

l \cdot \frac{y^{2}}{4 a}+m y+n=0

$\Rightarrow \frac{l y^{2}}{4 a} \times 4 a+m y \times 4 a+n \times 4 a=0$ [উভয়পক্ষকে 4a দ্বারা গুণ করে]

$\Rightarrow l y^{2}+4 \text { may }+4 n a=0$ ……(iii)

যা y এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

∴(iii) নং সমীকরণ থেকে y এর দুটি মান পাওয়া যাবে।

(ii) নং রেখটি (i) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি y এর মান দুইটি সমান হয়। অর্থাৎ (iii) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক বা পৃথায়ক শূন্য হয়। (iii) নং সমীকরণ থেকে $b^{2}-4 a c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

(4 m a)^{2}-4 . \text { L. } 4 n a=0

\Rightarrow 16 m^{2} a^{2}-16 n a l=0

\Rightarrow m^{2} a-n l=0

$\therefore \ln =a m^{2}$ (দেখানো হলো)

মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin)

পরাবৃত্ত (Parabola) : মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin):

পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন: y^{2}=4 a x (Graphic the parabola y^{2}=4 a x

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Length of the epicenter perpendicular to the parabola):

\bf y^{2} = 4ax পরাবৃত্তে y = mx+c সরলরেখাটি স্পর্শক হওয়ার শর্ত

Other Topics

পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন: $y^{2}=4 a x$ (Graphic the parabola $y^{2}=4 a x$

$\bf y^{2}$ = 4ax পরাবৃত্তে y = mx+c সরলরেখাটি স্পর্শক হওয়ার শর্ত