10 Minute School
Log in

পরাবৃত্তের পরিচিতি (Introduction to the parabola)

পরাবৃত্ত (Parabola)

Graph of a Parabola

y^{2}=4 a x 

 [a>0

x^{2}=4 a y 

 [a>0

(y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha)  [a>0] (x-\alpha)^{2}=4 a(y-\beta)  [a>0]
চিত্র  y2=4ax   [a>0]  Parabola x2=4ay   [a>0]  Parabola (y-)2=4a(x-)  [a>0] Parabola (x-)2=4a(y-)  [a>0] Parabola
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (A) (0, 0) (0, 0) (\alpha, \beta) (\alpha, \beta)
ফোকাস/ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (S) (a, 0) (0, a) (a+\alpha, \beta) (\alpha, a+\beta)
দিকাক্ষ/ নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-a, 0) (0, -a) (-a+\alpha, \beta) (\alpha,-a+\beta)

 

দিকাক্ষ/ নিয়ামকরেখার সমীকরণ  

x+a=0

\Rightarrowx = a – 1

 

𝐲+𝐚=𝟎
⇒𝐲=−𝐚
𝐱−𝛂+𝐚=𝟎 𝐲−𝛃+𝐚=𝟎
অক্ষরেখার সমীকরণ y=0 x=0 \begin{array}{c} y=\beta \\ \Rightarrow y-\beta=0 \end{array} \begin{array}{c} x=\alpha \\ \Rightarrow x-\alpha=0 \end{array}
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ x=a y=a \begin{array}{c} x-\alpha-a=0 \\ \Rightarrow x-\alpha=a \end{array} \begin{array}{c} y-\beta-a=0 \\ \Rightarrow y-\beta=a \end{array}
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 4 |a| 4 |a| 4 |a| 4 |a|
উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় (a, ±2a) (±2a, a) (a+\alpha, \pm 2 a+\beta) (\pm 2 a+\alpha, a+\beta)
ফোকাস দূরত্ব/ উপকেন্দ্রিক দূরত্ব SP=x+a SP=y+a x-+a y-+a
শীর্ষে স্পর্শকের সমীকরণ x=0 y=0 x=α

⇒x-α=0

y=β

⇒y-β=0

উপকেন্দ্র ও শীর্ষের দূরত্ব a a
পরামিতিক সমীকরণ \begin{array}{c} x=a t^{2} \\ y=2 a t \end{array} \begin{array}{l} y=a t^{2} \\ x=2 a t \end{array}
পোলার স্থানাঙ্কে সমীকরণ r=

4acotθcosecθ

r=

4atanθsecθ

 

  • x অক্ষের সমান্তরাল অক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ:x=a y^{2}+b y+c

শীর্ষ \left(-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a},-\frac{b}{2 a}\right) উপকেন্দ্রিক লম্ব =\frac{1}{|a|}

  • y অক্ষের সমান্তরাল অক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ: y=a x^{2}+b x+c

শীর্ষ  \left(-\frac{b}{2 a},-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right) উপকেন্দ্রিক লম্ব =\frac{1}{|a|}

  • Y^{2}=4 a x পরাবৃত্তের \left(x_{1}, y_{1}\right) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: y y_{1}=2 a\left(x+x_{1}\right)
  • e=0 হলে একটি বিন্দু বৃত্ত পাওয়া যায়। 

[e এর আর এমন কোনো মান নাই যে, কণিকের সংজ্ঞা হতে বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যায়। এই কারণে বৃত্তকে কণিক বলা যায় না।]

  • দিকাক্ষ যার সমান্তরাল তার উপর বর্গ, অর্থাৎ অক্ষ যার সমান্তরাল তার বিপরীতে বর্গ। 
  • পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু হলে, সমীকরণ: y^{2}=4 a(x+a)
  • পরাবৃত্তের দিকাক্ষ ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু মূলবিন্দু হলে, সমীকরণ: y^{2}=4(x-a)
  •  অক্ষরেখা হতে পরাবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বের বর্গের ও শীর্ষ স্পর্শক হতে ঐ  বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান। অর্থাৎ, y^{2}=4 a x পরাবৃত্তে অক্ষ হতে দূরত্বশীর্ষে স্পর্শক হতে দূরত্ব =4|a|
  • \left(x_{1}, y_{1}\right) বিন্দুটি y^{2}=4 a x পরাবৃত্তের 

                বাইরে অবস্থান করবে যদি y_{1}^{2}-4 a x_{1}>0 হয়।

                উপরে অবস্থান করবে যদি y_{1}^{2}-4 a x_{1}=0 হয়।

                ভিতরে অবস্থান করবে যদি y_{1}^{2}-4 a x_{1}<0হয়।

y^{2}=4 a x পরাবৃত্ত: y^{2}=-4 a x পরাবৃত্ত:
y2=4ax পরাবৃত্ত y2=-4ax পরাবৃত্ত
x^{2}=4 a y পরাবৃত্ত: x^{2}=-4 a yপরাবৃত্ত:
x2=4ay পরাবৃত্ত x2=-4ay পরাবৃত্ত
(y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha) পরাবৃত্ত: (y-\beta)^{2}=-4 a(x-a) পরাবৃত্ত:
(y-β)2=4a(x-α) পরাবৃত্ত (y-β)2=-4a(x-α) পরাবৃত্ত
(x-\alpha)^{2}=4 a(y-\beta) পরাবৃত্ত:  (x-\alpha)^{2}=-4 a(y-\beta) পরাবৃত্ত:
(x-α)2=4a(y-β) পরাবৃত্ত (x-α)2=-4a(y-β) পরাবৃত্ত