10 Minute School
Log in

মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin)

পরাবৃত্ত (Parabola) : মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ (Equation of Parabola Passing through origin):

ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S, নিয়ামকরেখা M Z M^{\prime}

M Z M^{\prime} এর উপর S Z লম্ব টানি এবং S Z কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি।

তাহলে, A পরাবৃত্তের  মূলবিন্দু এবং শীর্ষ বিন্দু।

Z S X পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা।

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো চলমান বিন্দু P(x, y) এবং Z A=A S=a

P  হতে নিয়ামকের ওপর P M  ও  A X এর ওপর P N লম্ব অঙ্কন করি। S, P যোগ করি।Graph Represents The Equation of Parabola Passing through origin পরাবৃত্তের \therefore ফোকাস S(a, 0)

 পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে পাই, \frac{S P}{P M}=e=1

\begin{array}{l} \Rightarrow S P=P M \\ \Rightarrow S P=Z N \\ \Rightarrow S P=A Z+A N \\ \Rightarrow S P=a+x \end{array}

\Rightarrow S P^{2}=(a+x)^{2}

\Rightarrow(x-a)^{2}+(y-0)^{2}=(a+x)^{2}

\Rightarrow y^{2}=(x+a)^{2}-(x-a)^{2}

\therefore y^{2}=4 a x

এই সমীকরণ হলো পরাবৃত্তের আদর্শ বা প্রমিত সমীকরণ (Standard Equation)।

পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন: y^{2}=4 a x (Graphic the parabola y^{2}=4 a x

মনে করি, y^{2}=4 a x ; a>0  পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামকরেখা MM’

নিয়ামকের উপর SZ লম্ব আঁকি।

এবং SZ কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি।

\therefore S Z = A Z 

সংজ্ঞানুসারে, \frac{S A}{A Z}=1

অঙ্কন:

Graph of the Parabola ( y^2=4ax)

১) পরাবৃত্তের ওপর A একটি বিন্দু বর্ধিত A S এর উপর যেকোনো বিন্দু N নিই ও Z S \perp P P^{\prime} আঁকি।

২) S কে কেন্দ্র করে Z N এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যেন তা P N P^{\prime} কে PP^{\prime} বিন্দুতে ছেদ করে। 

৩) এখন, নিয়ামকের ওপর P MP^{\prime} M^{\prime} লম্ব আঁকি। ফলে, S P=Z N=P M

/therefore সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের ওপর P একটি  বিন্দু।

৪) একইভাবে, A S এর ওপর N_1, N_2…… ইত্যাদি বিন্দু দিয়ে পরাবৃত্তের ওপর Q, Q^{\prime} ; R, R^{\prime} ইত্যাদি বিন্দু পাওয়া যায়। 

৫) এই বিন্দুগুলি একটি সুষম বক্ররেখা দ্বারা যোগ করলে একটি পরাবৃত্তের লেখচিত্র পাওয়া যায়।

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Length of the epicenter perpendicular to the parabola):

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব এর দৈর্ঘ্য

y^{2}=4 a xপরাবৃত্তের, 

উপকেন্দ্র S, নিয়ামক  MZM’,

শীর্ষবিন্দু A, অক্ষ  ZS এবং

উপকেন্দ্রিক লম্ব LSL’  

তাহলে, S এর স্থানাঙ্ক (a, 0)

LM ⊥ MM’ হলে,

SL = LM= ZS =AZ + AS 

  = a + a= 2a

∴LL= SL + SL 

      =2a + 2a= 4a

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = |4a|

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য =2× উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব 

=4× শীর্ষবিন্দু ও ফোকাসের দূরত্ব 

=4× শীর্ষবিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ: (y^{2}=4 a x) (The vertex of the parabola, Coordinates of the epicenter, Equilibrium of the control line)

The vertex of the parabola, Coordinates of the epicenter, Equilibrium of the control line

মনে করি,y^{2}=4 a x ; a>0 পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামকরেখা MZM’MZM’ এর উপর SZ লম্ব টানি এবং SZ কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি। তাহলে A পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু। ধরি, XAX’YAY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ।

তাহলে শীর্ষবিন্দু A এর স্থানাঙ্ক (0,0)

AS = a হলে ZA = a হবে।

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক S(a, 0) এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক Z (-a, 0)y অক্ষের সমান্তরাল ও Z(-a, 0) বিন্দুগামী নিয়ামকরেখা MZM’ এর সমীকরণ

  x=-a

⇒x+a=0

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} এবং অক্ষরেখা x অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ  (\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\beta})^{2}=4 \boldsymbol{a}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\alpha})

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (α,β) এবং অক্ষরেখা x অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ (y-β)2=4a(x-α)

মনে করি, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু A (α,β) এবং ZA = AS = a

পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা x অক্ষের সমান্তরাল। 

পরাবৃত্তটির ফোকাস S (α+a, β) এবং নিয়ামক রেখার পাদবিন্দু Z(α-a, β)

নিয়ামকরেখার সমীকরণ x = α – a 

          ⇒ x – α + a = 0

পরাবৃত্তের সমীকরণ: \{x-(\alpha+a)\}^{2}+(y-\beta)^{2}=(x-\alpha+a)^{2}

\Rightarrow\{x-(\alpha+a)\}^{2}+(y-\beta)^{2}=\{x-(\alpha-a)\}^{2}

(\Rightarrow(y-\beta)^{2}=\{x-(\alpha-a)\}^{2}-\{x-(\alpha+a)\}^{2}

\Rightarrow(y-\beta)^{2}=(x-a+a+x-a-a)(x-a+a-x+a+a)

\Rightarrow(y-\beta)^{2}=2(x-\alpha) \cdot 2 a \therefore(y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha)

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী ইহাই পরাবৃত্তের সমীকরণ।

এখন, (y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha)

\Rightarrow y^{2}-2 \beta y+\beta^{2}=4 a x-4 a \alpha

\Rightarrow 4 a x=y^{2}-2 \beta y+\beta^{2}+4 a \alpha

\Rightarrow x=\frac{1}{4 a} y^{2}+\left(\frac{-\beta}{2 a}\right) y+\frac{\beta^{2}+4 a \alpha}{4 a}

∴ x  অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ

অনুরূপভাবে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (α,β) এবং অক্ষরেখা y অক্ষের সমান্তরাল হলে এর সাধারণ সমীকরণ   x=a y^{2}+b y+c

∴ y অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ y=a x^{2}+b x+c

\bf y^{2} = 4ax পরাবৃত্তে  y = mx+c সরলরেখাটি স্পর্শক হওয়ার শর্ত

y2=4ax পরাবৃত্তে y=mx+c সরলরেখাটি স্পর্শক হওয়ার শর্তমনে করি, y^{2}=4 a x \ldots \ldots(i)

পরাবৃত্তের উপর P একটি বিন্দু এবং PQ যেকোনো একটি ছেদক জ্যা। Q বিন্দু ক্রমশ P বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে P বিন্দুর উপর সমাপতিত হলে ছেদকটি P বিন্দুতে উক্ত পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে।

মনে করি, PQ ছেদকের সমীকরণ 

y=mx+c……(ii)

(i)(ii) নং সমীকরণ হতে পাই, 

(m x+c)^{2}=4 a x

m^{2} x^{2}+2(m c-2 a) x+c^{2}=0

PQ ছেদক (i) নং পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি (iii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।

কিন্তু মূলদ্বয় সমান হলে এর পৃথায়ক শূন্য হবে, অর্থাৎ 4(m c-2 a)^{2}-4 m^{2} c^{2}=0

\Rightarrow 4 m^{2} c^{2}-4.2 . m c .2 a+4.4 a^{2}-4 m^{2} c^{2}=0 \Rightarrow 16 a^{2}-16 m c a=0\\ \Rightarrow a^{2}-m c a=0 \Rightarrow a-m c=0 \Rightarrow m c=a \therefore c=\frac{a}{m}

∴y = mx + c রেখা y^{2}=4 a x পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি c=\frac{a}{m} হয়। 

(iii) নং সমীকরণে c=\frac{a}{m} বসিয়ে পাই,

m^{2} x^{2}+2\left(m \cdot \frac{a}{m}-2 a\right) x+\left(\frac{a}{m}\right)^{2}=0 \Rightarrow\left(m x-\frac{a}{m}\right)^{2}=0 \Rightarrow m x=\frac{a}{m} \therefore x=\frac{a}{m^{2}}

∴y=mx+c 

\Rightarrow y=m\left(\frac{a}{m^{2}}\right)+\frac{a}{m}

   \Rightarrow\frac{a}{m}+\frac{a}{m}=\frac{2 a}{m}

স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \left(\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m}\right)

∴y=mx+c সরলরেখাটি y^{2}=4 a x পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে c=\frac{a}{m} হবে। অতএব, m এর (m≠0) সকল মানের জন্য y=m x+\frac{a}{m} সরলরেখাটি y^{2}=4 a x পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ প্রকাশ করে এবং স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \left(\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m}\right)

তদ্রূপ, x^{2}=4 a y পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ y=m x-a m^{2}। যেখানে, c=-a m^{2} এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক =\left(2 a m, a m^{2}\right)

সমস্যা (Problem): দেখাও যে, lx+my+n=0 সরলরেখাটি y^{2}=4 a x  পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি l n=a m^{2} হয়।     [রা.’০৫; কু.’০৫]

সমধান (Solution): দেওয়া আছে, lx + my + n = 0 

                                      ⇒ my= -l x -n 

\Rightarrow y=-\frac{l x}{m}-\frac{n}{m}

এবার, y=-\frac{b x}{m}-\frac{n}{m} সরলরেখাটি y^{2}=4 a x পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার ক্ষেত্রে, y=-\frac{l x}{m}-\frac{n}{m} \cos y=m x+cএর সাথে তুলনা করে পাই, 

m=-\frac{l}{m} \text { এবং } c=-\frac{n}{m}

আমরা জানি, c=\frac{a}{m}

\Rightarrow-\frac{n}{m}=\frac{a}{-\frac{l}{m}} \Rightarrow-\frac{n}{m}=-\frac{a m}{l}

\Rightarrow l n=a m^{2} (দেখানো হলো)

অথবা, প্রদত্ত পরাবৃত্ত y^{2}=4 a x

  x=\frac{y^{2}}{4 a} \ldots \ldots(i)

এবং সরলরেখা lx + my + n = 0……(ii)

(i) নং হতে প্রাপ্ত x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, 

l \cdot \frac{y^{2}}{4 a}+m y+n=0

\Rightarrow \frac{l y^{2}}{4 a} \times 4 a+m y \times 4 a+n \times 4 a=0 [উভয়পক্ষকে 4a দ্বারা গুণ করে]

\Rightarrow l y^{2}+4 \text { may }+4 n a=0……(iii)

যা y এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। 

∴(iii) নং সমীকরণ থেকে y এর দুটি মান পাওয়া যাবে। 

(ii) নং রেখটি (i) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি y এর মান দুইটি সমান হয়। অর্থাৎ (iii) নং সমীকরণের নিশ্চায়ক বা পৃথায়ক শূন্য হয়। (iii) নং সমীকরণ থেকে b^{2}-4 a c=0 এর সাথে তুলনা করে পাই,

(4 m a)^{2}-4 . \text { L. } 4 n a=0 \Rightarrow 16 m^{2} a^{2}-16 n a l=0 \Rightarrow m^{2} a-n l=0

\therefore \ln =a m^{2}     (দেখানো হলো)