জটিল সংখ্যার যোগ, বিয়োগ ও গুণের জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometric representation of the addition, subtraction, multiplication of complex number)

জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometric representation of Complex Number)

মনে করি, আর্গন্ড চিত্রে $P$ ও $Q$ যথাক্রমে $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ এবং $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$ , জটিল সংখ্যা নির্দেশ করে। তাহলে, $P$ ও $Q$ বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ এবং $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ .

$OP$ এবং $OQ$ কে সন্নিহিত বাহু ধরে $OPRQ$ সামন্তরিক অঙ্কন করি। $O, R$ যোগ করি। $P, Q$ ও $R$ হতে $OX$ এর উপর যথাক্রমে $PL, QM$ ও $RN$ লম্ব আঁকি।

Complex Number

যেহেতু যেকোনো সরলরেখার উপর $OR$ এর অভিক্ষেপ ঐ একই রেখার উপর $OP$ এবং $PR$ অথবা $OQ [\because OQ||PR$ এবং $OQ=PR]$ -এর অভিক্ষেপের বীজগণিতীয় যোগফলের সমান। সুতরাং $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)$ । অতএব, $R$ বিন্দু $\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)$ জটিল সংখ্যা নির্দেশ করে।

কিন্তু $z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)$ । অতএব, $R$ বিন্দু $P$ ও $Q$ বিন্দু দ্বারা নির্দেশিত জটিল সংখ্যা দুইটির যোগফল নির্দেশ করে।

এখন $P$ বিন্দু দিয়ে $Q O || P S$ আঁকি যেন $Q O = P S$ হয়। $O, S$ যোগ করি। তাহলে $S$ বিন্দু $z_{1}-z_{2}$ , জটিল সংখ্যা নির্দেশ করবে এবং জটিল সংখ্যা দুইটি দ্বারা সূচিত বিন্দুর দূরত্ব $=Q P=O S=\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

গুণের জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometrical representation of multiplication of Complex Number)

Complex Number

মনে করি, $P$ ও $Q$ বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে $z_1$ ও $z_2$ জটিল সংখ্যাদ্বয় এবং $R$ বিন্দু দ্বারা $z=z_1z_2$ সংখ্যাটি সূচিত করে। তাহলে গুণফলের মডুলাস $|z|=OR=OP\times OQ$ এবং $z$ এর অর্থাৎ গুণফলের আর্গুমেন্ট $\angle R O X=\angle P O X+\angle Q O X$ । মনে করি $OX$ বরাবর $OA$ রেখাংশ একক দৈর্ঘ্য সূচিত করে। তাহলে,

$\frac{OR}{OQ}=\frac{OP}{OA}$ এবং $\angle ROQ=\angle ROX-\angle QOX=\angle POX=\angle POA$

সুতরাং $POA$ এবং $ROQ$ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ। তাই দুইটি জটিল সংখ্যার গুণনের প্রতিরূপ বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে হলে $OX$ বরাবর একক দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট $OA$ অংশ কেটে নিয়ে $OQ$ এর উপর $OQ$ এর যে পাশে $OP$ তার বিপরীত পাশে এরূপ একটি $OQR$ ত্রিভুজ অঙ্কন করতে হবে যা $OPA$ ত্রিভুজের সদৃশ। তাহলে $R$ বিন্দু দুইটি $z_1$ ও $z_2$ এর গুণফল $z$ সূচিত করবে।

অর্থাৎ, দুইটি জটিল সংখ্যার ভাগফলের আর্গুমেন্ট তাদের পৃথক পৃথক ভাবে আর্গুমেন্টের বিয়োগফলের সমান।

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:

মনে করি, চিত্রে $P$ ও $Q$ বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে $z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right)$ এবং $z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right)$ জটিল সংখ্যা প্রকাশ করে এবং $z_1$ ও $z_2$ এর ভাগফল $=\frac{z_1}{z_2}=z$ দ্বারা প্রকাশিত বিন্দু $R$ তাহলে $O P=r_{1}=\left|z_{1}\right|, O Q=r_{2}=\left|z_{2}\right|, O R=\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}=\frac{O P}{O Q}$

Complex Number

\angle POX=\theta_1,\angle QOX=\theta_2 \;এবং\; \angle ROX=\theta_2-\theta_1

$OX$ বরাবর $OA=1$ বিবেচনা করি এবং $OP$ এর যে পাশে $OQ$ আছে, তার বিপরীত পাশে $\angle QOX$ এর সমান $\angle POR$ অঙ্কন করি যেন $\angle QOP$ এর সমান $\angle OAR$ হয়।

চিত্রানুসারে,

\angle QOX=\theta2=\angle POR\\ বা,\; \angle QOP+\angle POX=\angle POX+\angle XOR\\ বা,\; \angle QOP=\angle XOR=\angle AOR\\ আবার,\; \angle OQP=\angle OAR

সুতরাং $OPQ$ এবং $AOR$ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

তাহলে, $\frac{OR}{OP}=\frac{AR}{PQ}=\frac{OA}{OQ}$

বা, $OR=\frac{OP}{OQ}. OA=\frac{OP}{OQ} [\because OA=1]$

আবার, $\angle XOR=\angle POR-\angle POX=\theta_2-\theta_1$

অতএব, $R$ বিন্দুই দুইটি জটিল সংখ্যা $z_1$ ও $z_2$ এর ভাগফল $\frac{z_1}{z_2}$ প্রকাশ করে।

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics