গোলকের জন্য মহাকর্ষীয় সূত্রের ব্যবহার (Use of Gravitational law for sphere)

নিরেট গোলকের অভ্যন্তরে মহাকর্ষীয় সূত্রের ব্যবহার :বিভব ও প্রাবল্য নির্ণয়  (Uses of Gravitational law inside a solid sphere :Determination of potential and intensity) 

 যখন বিন্দুটি গোলকের ভেতর অবস্থিত: 

মনে করি P বিন্দুটি গোলকের উপাদানের ভেতর কেন্দ্র হতে দূরে অবস্থিত । O-কে কেন্দ্র করে। ব্যাসার্ধের । একটি গোলক আঁকা হলো। বলা যায়, সমগ্র গোলকটি দুটি গোলকের যোগফল একটি হলো ।  a ব্যাসার্ধের নিরেট গোলক এবং অপরটি (a–r)  বেধের ফাঁপা গোলক। নিরেট গোলকের দরুন P বিন্দুতে মহাকর্ষ সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

বিভব, \left(V_{p}\right)_{1} =-\frac{G M}{r} =–\frac{-G \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho}{r} =-\frac{4}{3} \pi \rho G r^{2}

এখানে, M= গোলকের ভর =\frac{4}{3} \pi r^{3}

       \rho = উপাদানের ঘনত্ব ।  

আবার (a–r)  বেধের ফাঁপা গোলকটিকে x ব্যাসার্ধের এবং dx বেধের অনেকগুলি পাতলা খলকের সমষ্টি ভাবা যেতে পারে। এরকম একটি খোলকের দরুন খোলকের ভেতরের বিন্দু P তে বিভব

\left(d V_{p}\right)_{2} =\frac{G 4 \pi x^{2} d x \rho}{x} =-4 \pi G \rho x d x

(a-r) বেধের সমগ্র গোলকের দরুন বিভব,

\left(V_{p}\right)_{2} =-4 \pi G \rho \int_{r}^{a} x d x ==-2 \pi G \rho \left(a^{2}-r^{2}\right)  

তাহলে সমগ্র নিরেট গোলকের দরুন P বিন্দুর বিভব, 

\left(V_{p}\right)_{t} =\left(V_{p}\right)_{1} +\left(V_{p}\right)_{2}

=-\frac{4}{3} \pi G \rho r^{2}–2 \pi G \rho\left(a^{2}-r^{2}\right) =-2 \pi G \rho\left(\frac{2}{3} r^{2}+a^{2}-r^{2}\right)

=-2 \pi G \rho \left(a^{2}-\frac{r^{2}}{3}\right) =-2 \pi G\frac{M}{\frac{4}{3} \pi a^{2}} (a^{2}-\frac{r^{2}}{3}) (∵\rho =\frac{M}{V} =\frac{M}{\frac{4}{3} \pi a^{3}} )

∴\left(V_{p}\right)_{t} =-\frac{-3 G M}{2 a^{3}} (a^{2}-\frac{r^{2}}{3} )

এবং ক্ষেত্র প্রাবল্য,

\left(E_{p}\right)_{t} =\frac{d}{d r} \left(V_{p}\right) =\frac{d}{d r}  \left(V_{p}\right)_{t} =\frac{3 G M}{2 a^{3}} x\frac{2 r}{3}

∴\left(E_{p}\right)_{t}=\frac{G M}{a^{3}} r

নিরেট গোলকের বাইরে কোনো বিন্দুতে মহাকর্ষ সূত্রের ব্যবহার :বিভব ও প্রাবল্য নির্ণয়) (Use of gravitational law outside the sphere :Determination of potential and intensity)

যখন বিন্দুটি গোলকের বাইরে অবস্থিত: 

 চিত্রানুযায়ী a ব্যাসার্ধ এবং M ভরের নিরেট গোলকের কেন্দ্র O হতে r দূরে গোলকের বাইরে P বিন্দু  অবস্থিত। সমগ্র গোলকটিকে xব্যাসার্ধের এবং dx বেধের অনেকগুলো সমকেন্দ্রিক পাতলা খোলকের সমষ্টি ভাবা যেতে পারে।

গোলকটির ভর dm=4 \pi r^{2} d x \rho ,  এখানে ρ= উপাদানের ঘনত্ব। dmকে O বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত ভাবা যেতে পারে। সুতরাং P বিন্দুতে এর দরুন বিন্ধুতে বিভব, d V_{p} =-\frac{G d m}{r}

এবং সমগ্র গোলকের দরুন P বিন্দুতে বিভব, \left(V_{p}\right)_{0} =\frac{-G \sum d m}{r} =\frac{-G M}{r}

এবং প্রাবল্য \left(E_{p}\right)_{0} =-\frac{d}{d r}\left(\frac{-G M}{r}\right)=+\frac{G M}{r^{2}}

যখন বিন্দুটি গোলকের পৃষ্ঠের উপর অবস্থিত: 

 সমীকরণে r=a বসিয়ে পাই,

বিভব \left(V_{p}\right)_{0} =-\frac{G M}{a^{2}}

এবং প্রাবল্য \left(E_{p}\right)_{0} =+\frac{G M}{a^{2}}

ফাঁপা গোলকের বাইরে মহাকর্ষীয় সূত্রের ব্যবহার :বিভব ও প্রাবল্য নির্ণয় (    Use of gravitational law outside the hollow sphere :Determination of potential and intensity) 

যখন বিন্দুটি গোলকের বাইরে অবস্থিত:

 চিত্রে ফাঁপা গোলকের কেন্দ্র O ভেতরের পিঠের ব্যাসার্ধ b এবং বাইরের পিঠের ব্যাসার্ধ a। P হলো বাইরের একটি বিন্দু, যখন OP = r। গোলকটিকে অনেকগুলি সমকেন্দ্রিক সরু বেধের খোলকের সমষ্টি ভাবা যেতে পারে। এরকম একটি খোলক নেয়া হলো যার ব্যাসার্ধ x এবং বেধ dt  গোলকের উপাদানের ঘনত্ব হলে, সরু বেধের খোলকের ভর =4 \pi x^{2} d x \rho

উক্ত গোলকের P বিন্দুতে দরুন বিভব d V_{p} =-G \frac{\text { খোলকের ভর }}{r}=-\frac{-G 4 \pi x^{2} d x \rho}{r}

∴ সমগ্র গোলকের বিভব V_{p} =-\frac{4 \pi G \rho}{r} \int_{b}^{a} x^{2} d x =\frac{-4 \pi G \rho}{r} \frac{\left(a^{3}-b^{3}\right)}{3} =\frac{-G M}{r}

আবার P বিন্দুতে ক্ষেত্র প্রাবল্য \left(V_{p}\right)_{0} =\frac{d}{d r} (\frac{-G M}{r} )=\frac{+G M}{r}

ফাঁপা গোলকের ভেতরে মহাকর্ষীয় সূত্রের ব্যবহার :বিভব ও প্রাবল্য নির্ণয়  (Use of gravitational law inside the hollow sphere :Determination of potential and intensity) 

যখন বিন্দুটি গোলকের ভেতর অবস্থিত:

গোলকের ভেতর ফাঁপা অংশে P বিন্দু নেয়া হলো । OP =r ; a ব্যাসার্ধের এবং dx বেধের একটি পাতলা খোলক নেয়া হলো। গোলকটির ভর =4 \pi x^{2} d x \rho

উক্ত খোলকের P বিন্দুতে দরুন বিভব d V_{p} =-G\frac{\text { খোলকের ভর }}{x}

                                          =-G \frac{4 \pi x^{2} d x \rho}{x} =-4 \pi G \rho x d x

কারণ খোলকের ফাঁপা অংশের ভেতর বিভব সর্বত্র সমান এবং যার মান =-G\frac{খোলকের ভর} {খোলকের ব্যাসার্ধ }  

তাহলে, সমগ্র গোলকের দরুন বিভব, 

d V_{p} =-4 \pi G \rho \int_{b}^{a} x d x =-2 \pi G \rho

এবং প্রাবল্য, d E_{p} =+\frac{d V_{p}}{d r} =0