কয়েকটি আদর্শ যোগজ নির্ণয়

কয়েকটি আদর্শ যোগজ নির্ণয়

(Determining few Ideal Integrals)

 

A.  \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+c

B.  \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c, x \neq \pm a

C.  \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+c, x \neq \pm a

D. \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+c

E. \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}=\ln \left|\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x\right|+c

F. \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln \left|\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x\right|+c

G. \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+c

 

প্রমাণ (Proof):

A.  \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\int \frac{d x}{a^{2}\left\{1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}\right\}}=\frac{1}{a^{2}} \int \frac{a\left(\frac{1}{a} d x\right)}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}\left[\because d\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{1}{a} d x\right]

=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+c \quad\left[\because \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+c\right]

       

 

\text { B. } \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\int \frac{d x}{(a-x)(a+x)}

=\int \frac{1}{2 a}\left\{\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}\right\} d x=\frac{1}{2 a}\left\{\int \frac{d x}{a+x}+\int \frac{-(-d x)}{a-x}\right\}

=\frac{1}{2 a}\{\ln |x+a|-\ln |x-a|\}+c

 

=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c

 

C. \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\int \frac{d x}{(x-a)(x+a)}

=\int \frac{1}{2 a}\left\{\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right\} d x=\frac{1}{2 a}\left\{\int \frac{d(x-a)}{x-a}-\int \frac{d x(x+a)}{x+a}\right\}

= \frac{1}{2 a}\{\ln |x-a|-\ln |x+a|\}+c

 

=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+c

     

D. \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}\left\{1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}\right.}}=\int \frac{a \cdot\left(\frac{1}{a} d x\right)}{a \sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+c

 

 E. মনে করি, x=a \tan \theta \quad \therefore d x=\operatorname{asec}^{2} \theta d \theta

\therefore \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}=\int \frac{\operatorname{asec}^{2} \theta d \theta}{\sqrt{a^{2}\left(1+\tan ^{2} \theta\right)}}

=\int \frac{\operatorname{asec}^{2} \theta d \theta}{\sqrt{a^{2} \sec ^{2} \theta}}=\int \sec \theta d \theta

=\ln |\sec \theta+\tan \theta|+c_{1}

=\ln \mid \sqrt{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x}{a}} \mid+c_{1}

=\ln \left|\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x}{a}\right|+c_{1}

=\ln \left|\sqrt{a^{2}+x^{2}}+x\right|-\ln |a|+c_{1}

=\ln \left|\sqrt{x^{2}+a^{2}}+x\right|+c

 

F. মনে করি, x=a \sec \theta \quad \therefore d x=a \sec \theta \tan \theta d \theta

\therefore \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\int \frac{\operatorname{asec} \theta \tan \theta d \theta}{\sqrt{a^{2}\left(\sec ^{2} \theta-1\right)}}

=\int \frac{\sec \theta \tan \theta d \theta}{\tan \theta}=\int \sec \theta d \theta

=\ln |\sec \theta+\tan \theta|+c_{1}

=\ln \left|\sec \theta+\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\right|+c_{1}

=\ln \left|\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}\right|+c_{1}

\ln \left|\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x\right|+c

 

G. মনে করি,, x=a \sin \theta \Rightarrow \theta=\sin ^{-1} \frac{x}{a} \text { এবং } d x=a \cos \theta d \theta

\therefore \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\int \sqrt{a^{2}\left(1-\sin ^{2} \theta\right)} a \cos \theta d \theta

=\int a \sqrt{\left(1-\sin ^{2} \theta\right)} a \cos \theta d \theta

=a^{2} \int \cos ^{2} \theta d \theta=a^{2} \int \frac{1}{2}(1+\cos 2 \theta) d \theta

=\frac{a^{2}}{2}\left(\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right)+c

=\frac{a^{2}}{2}\left(\theta+\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2}\right)+c

=\frac{a^{2}}{2}\left(\theta+\sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}\right)+c

=\frac{a^{2}}{2}\left(\sin ^{-1} \frac{x}{a}+\frac{x}{a} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\right)+c

=\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+\frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{x}{a^{2}} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+c

=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+c

 

দ্রষ্টব্য (Note):

(a) যদি যোজ্য রাশি f(x),\left(a^{2}-x^{2}\right)^{1 / 2},\left(a^{2}-x^{2}\right)^{3 / 2} ইত্যাদি আকারে থাকে তবে, x = a sinθ ধরতে হয়।

(b) যদি যোজ্য রাশি f(x),\left(a^{2}+x^{2}\right)^{1 / 2},\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2} ইত্যাদি আকারে থাকে তবে, x = a tanθ ধরতে হয়।

(c) যদি যোজ্য রাশি f(x),\left(x^{2}-a^{2}\right)^{1 / 2},\left(x^{2}-a^{2}\right)^{3 / 2} ইত্যাদি আকারে থাকে তবে, x = a secθ ধরতে হয়।

 

উদাহরণ-৫: নিচের যোগজগুলির মান নির্ণয় কর:

Example – 5: Determine the following integrals

(a) \int \frac{d x}{9 x^{2}+4}

(b) \int \frac{d x}{\sqrt{9-16 x^{2}}}

সমাধান (Solution):

(a) \int \frac{d x}{9 x^{2}+4}=\int \frac{\frac{1}{3} \cdot(3 d x)}{2^{2}+(3 x)^{2}}

=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{3 x}{2}+c

 

=\frac{1}{6} \tan ^{-1} \frac{3 x}{2}+c     (Ans)

 

(b) \int \frac{d x}{\sqrt{9-16 x^{2}}}=\int \frac{d x}{\sqrt{3^{2}-(4 x)^{2}}}

=\frac{1}{4} \int \frac{(4 d x)}{\sqrt{3^{2}-(4 x)^{2}}}=\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{4 x}{3}+c   (Ans)

 

ধরন-৩ (Type – 3):

\int \frac{p x+q}{a x^{2}+b x+c} d x, \int \frac{p x+q}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}} d x, \int(p x+q) \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x ; p \neq 0, a \neq 0

নিয়ম (Rule): p x+q=m \times \frac{d}{d x}\left(a x^{2}+b x+c\right)+n, \text { এখানে, } m=\frac{p}{2 a} \text {এবং } n=q-\frac{p b}{2 a}

অর্থাৎ ‘একঘাত রাশিমালার স্থলে দ্বিঘাত রাশিমালার অন্তরক সহগ’ লিখে একঘাত রাশিমালার সমতাবিধান করতে হয়।

 

উদাহরণ-৬: \int \frac{3 x+5}{\sqrt{x^{2}+3 x}} d x নির্ণয় কর।

Example – 6: Determine \int \frac{3 x+5}{\sqrt{x^{2}+3 x}} d x

সমাধান (Solution):

\int \frac{3 x+5}{\sqrt{x^{2}+3 x}} d x=\int \frac{\frac{3}{2}(2 x+3)+5-\frac{9}{2}}{\sqrt{x^{2}+3 x}} d x

 

=\int \frac{3}{2}\left\{\frac{2 x+3}{\sqrt{x^{2}+3 x}}+\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}}\right\} d x

=\frac{3}{2} \frac{\left(x^{2}+3 x\right)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+\ln \left|\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}+\left(x+\frac{3}{2}\right)\right|+c

=\frac{3}{2} \cdot 2\left(x^{2}+3 x\right)^{\frac{1}{2}}+\ln \left|\sqrt{x^{2}+3 x}+x+\frac{3}{2}\right|+c

=3 \sqrt{x^{2}+3 x}+\ln \left|\sqrt{x^{2}+3 x}+x+\frac{3}{2}\right|+c   (Ans)

 

ধরন-৪ (Type – 4):

\int \frac{p x^{2}+q x+r}{a x^{2}+b x+c} d x, \int \frac{p x^{2}+q x+r}{\sqrt{a x^{2}+b x+c}} d x, \int \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta} d x, \int \frac{a x+\beta}{\sqrt{\gamma x+\delta}} d x, \int \frac{a x+\beta}{(\gamma x+\delta)^{n}} d x

 

নিয়ম (Rule): লবের রাশিমালার ঘাত হরের রাশিমালার ঘাতের সমান বা বেশি হলে, লবের স্থলে হুবহু হর লিখে সমতাবিধান করার পর ভাগ করে নিতে হয়।

 

উদাহরণ-৭: \int \frac{x d x}{\sqrt{1-x}} নির্ণয় কর।

Example 7 – Determine \int \frac{x d x}{\sqrt{1-x}}

সমাধান (Solution):

\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x}}=\int \frac{-(1-x)+1}{\sqrt{1-x}} d x

=\int \frac{-(1-x)}{\sqrt{1-x}} d x+\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} d x =\int-\sqrt{1-x} d x+\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} d x =+\int(1-x)^{\frac{1}{2}} d(1-x)-\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} d(1-x) =\frac{(1-x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-2 \sqrt{1-x}+c

 

=\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-2 \sqrt{1-x}+c    (Ans)

 

ধরন-৫: \int \frac{\sqrt{a x+b}}{\sqrt{c x+d}} d x

Type – 5: \int \frac{\sqrt{a x+b}}{\sqrt{c x+d}} d x

নিয়ম (Rule): লব ও হরকে লব দ্বারা গুণ করে লবকে √ মুক্ত করতে হবে।

 

উদাহরণ-৮: \int \sqrt{\frac{a+x}{x}} d x নির্ণয় কর।

Example – 8: Determine \int \sqrt{\frac{a+x}{x}} d x

সমাধান (Solution):

\int \sqrt{\frac{a+x}{x}} d x=\int \frac{(\sqrt{a+x})^{2}}{\sqrt{x(a+x)}} d x

 

=\int \frac{a+x}{\sqrt{x^{2}+a x}} d x

=\int \frac{\frac{1}{2}(2 x+a)+\frac{a}{2}}{\sqrt{x^{2}+a x}} d x

=\frac{1}{2} \int \frac{2 x+a}{\sqrt{x^{2}+a x}} d x+\frac{a}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}}

=\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{x^{2}+a x}+\frac{a}{2} \ln \left|\sqrt{\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}+x+\frac{a}{2}\right|+c

=\sqrt{x^{2}+a x}+\frac{a}{2} \ln \left|\sqrt{x^{2}+a x}+x+\frac{a}{2}\right|+c   (Ans)

 

ধরন-৬: \int \frac{1}{g(x) \sqrt{\varphi(x)}} d x

(a) g(x) ও φ(x) উভয়ে একঘাত হলে, φ(x) = z^{2}  ধরতে হয়।

(b) g(x) একঘাত ও φ(x) দ্বিঘাত হলে, g(x) = \frac{1}{z}  ধরতে হয়।

(c) g(x) দ্বিঘাত ও φ(x) একঘাত হলে, φ(x) = z^{2} ধরতে হয়।

(d) g(x) ও φ(x) উভয়ে দ্বিঘাত হলে, x = \frac{1}{z} ধরতে হয়।

(e) \int \frac{x}{g(x) \sqrt{\varphi(x)}} d x এবং g(x) ও φ(x) উভয়ে দ্বিঘাত হলে, φ(x) = z^{2}  ধরতে হয়।

 

উদাহরণ-৯: \int \frac{d x}{(1-x) \sqrt{1-x^{2}}}  নির্ণয় কর।

(Example – 9: Determine \int \frac{d x}{(1-x) \sqrt{1-x^{2}}})

সমাধান (Solution):

ধরি, I=\int \frac{d x}{(1-x) \sqrt{1-x^{2}}} \text { এবং } 1-x=\frac{1}{z}, \text { তাহলে, } z=\frac{1}{1-x} \text { এবং }-d x=-\frac{1}{z^{2}} d z

\therefore I=\int \frac{d z}{z^{2} \cdot \frac{1}{z} \sqrt{1-\left(1-\frac{1}{z}\right)^{2}}}=\int \frac{d z}{z \sqrt{1-1+2 \frac{1}{z}-\frac{1}{z^{2}}}}

=\int \frac{d z}{\sqrt{2 z-1}}

=\frac{1}{2} \int \frac{d(2 z-1)}{\sqrt{2 z-1}}

=\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2 z-1}+c

\therefore \int \frac{d x}{(1-x) \sqrt{1-x^{2}}}=\sqrt{2 \cdot \frac{1}{1-x}-1}+c

=\sqrt{\frac{2-1+x}{1-x}}+c

 

=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+c     (Ans)

 

ধরন-৭ (Type – 7):

(a) যদি কোনো যোগজ \int \frac{a+b x^{l}}{p+q x^{m}} d x আকারে থাকে, যেখানে l ও m উভয়ে ভগ্নাংশ এবং তাদের হরের ল.সা.গু n হয়, তবে x = z^{n} ধরতে হয়।

(b) \int \frac{d x}{x\left(a+b x^{n}\right)} আকারের যোগজের জন্য x^{n}=\frac{1}{z} ধরতে হয়।

(c) \int \frac{d x}{x \sqrt{a+b x^{n}}} আকারের যোগজের জন্য x^{n}=\frac{1}{z^{2}} ধরতে হয়।

(d) \int \frac{d x}{x^{m}(a+b x)^{n}} আকারের যোগজের জন্য a+b x=z x ধরতে হয়।

(e) \int \frac{d x}{(x-a)^{m}(x-b)^{n}} আকারের যোগজের জন্য z=\frac{x-b}{x-a} ধরতে হয়।

 

উদাহরণ-১০: \int \frac{d x}{x^{1 / 2}-x^{1 / 4}} নির্ণয় কর।

Example 10 – Determine \int \frac{d x}{x^{1 / 2}-x^{1 / 4}}

সমাধান (Solution):

এখানে, 2 ও 4 এর ল.সা.গু 4। মনে করি, x=z^{4} \quad \therefore x^{1 / 4}=z \text  {এবং }  d x=4 z^{3} d z

∴\int \frac{d x}{x^{1 / 2}-x^{1 / 4}}=\int \frac{4 z^{3} d z}{\left(z^{4}\right)^{1 / 2}-z} 

=\int \frac{4 z^{3} d z}{z^{2}-z} 

=4 \int \frac{z^{2}}{z-1} d z 

=4 \int \frac{z(z-1)+(z-1)+1}{z-1} d z 

=4 \int\left(z+1+\frac{1}{z-1}\right) d z

=4\left(\frac{z^{2}}{2}+z+\ln |z-1|\right)+c

=2 x^{1 / 2}+4 x^{1 / 4}+4 \ln \left|x^{1 / 4}-1\right|+c     (Ans)

 

ধরন-৮ (Type – 8):

\text { (a) } \int \frac{\left(x^{2} \pm 1\right) d x}{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+b x+a}, a \neq 0

নিয়ম (Rule): \frac{d}{d x}\left(x \pm \frac{1}{x}\right) বলে, লব ও হরকে \left(1 \pm \frac{1}{x^{2}}\right) \&\left(x \pm \frac{1}{x}\right) আকারে প্রকাশ করতে হয়।

\text { (b) } \int \frac{x^{2} d x}{a x^{4}+b x^{2}+c}, a \neq 0

 

নিয়ম (Rule): x^{2} \text { এর স্থলে } \frac{1}{2 \sqrt{a}}\left\{\left(\sqrt{a} x^{2}+\sqrt{c}\right)+\left(\sqrt{a} x^{2}-\sqrt{c}\right)\right\}  লিখতে হয়।

\text { (c) } \int \frac{d x}{a x^{4}+b x^{2}+c}, a \neq 0

 

নিয়ম (Rule): লবে \frac{1}{2 \sqrt{c}}\left\{\left(\sqrt{a} x^{2}+\sqrt{c}\right)-\left(\sqrt{a} x^{2}- \sqrt{c}\right)\right\} লিখতে হয়।

 

উদাহরণ-১১:\int \frac{x^{-3 / 4}}{1+\sqrt{x}} d x নির্ণয় কর।

Example 11 – Determine \int \frac{x^{-3 / 4}}{1+\sqrt{x}} d x

সমাধান (Solution):

মনে করি, x=z^{4} তাহলে, d x=4 z^{3} d z

∴\int \frac{x^{-3 / 4}}{1+\sqrt{x}} d x=\int \frac{\left(z^{4}\right)^{-3 / 4}}{1+\sqrt{z^{4}}} 4 z^{3} d z

=\int \frac{z^{-3}}{1+z^{2}} 4 z^{3} d z

=4 \int \frac{d z}{1+z^{2}} 

=4 \tan ^{-1} z+c

=4 \tan ^{-1}\left(x^{1 / 4}\right)+c    (Ans)