i এর পরিচয় এবং জটিল সংখ্যা (Identification of i and Complex Number)

জটিল সংখ্যা i এর মান কত (Identification of i and Complex Number)

যখন, $x^2-1=0\Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm \sqrt{1} \therefore x=\pm1$

এরূপ সমীকরণ সমাধান করতে কোনো সমস্যা হয় না।

কিন্তু, যখন $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1\Rightarrow x=\sqrt{\pm-1}......(i)$

কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হয় না।

∴ ঋণাত্মক সংখ্যাকে বর্গমূল করলে কোন বাস্তব সংখ্যা পাওয়া যায় না।

তাই, ধরা হয়, $\sqrt{-1}=i, i^2=-1......(ii)$

যেখানে $i$ একটি কাল্পনিক সংখ্যা (Imaginary number) তাহলে $(i)$ নং সমীকরণে $\sqrt{-1}$ এর মান বসালে, $x=\pm i$

এখন $(ii)$ নং সমীকরণের ক্ষেত্রে, $i^2=-1$ কিন্তু এখান থেকে, $i=\pm 1$ লেখা যাবে না কারণ $i=-1$ (সংজ্ঞায়িত) তাই এক্ষেত্রে $\pm$ নেওয়া যাবে না, শুধুমাত্র $+$ চিহ্ন নিতে হবে।

$x$ এবং $y$ বাস্তব সংখ্যা হলে, $x+iy$ আকারের সকল সংখ্যাকে বলা হয় জটিল সংখ্যা (Complex Number) দ্বিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় $(x,y)$ (x,y) এর অবস্থান যেখানে $x+iy$ এর অবস্থানও সেখানে।

$x+iy$ আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল $(x,y)$

$3+4i$ আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল $(3,4)$

$5=5+0.i$ আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল $(5,0)$

$5i=0+5.i$ আকারের জটিল সংখ্যার ক্রমযুগল $(0,5)$

তাহলে দেখা যাচ্ছে, $5$ এর অবস্থান $x$ অক্ষের উপর এবং $5i$ এর অবস্থান $y$ অক্ষের উপর।

অর্থাৎ চিত্র হতে দেখা যায় যে, $5$ কে $i$ দ্বারা গুণ করার ফলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $\frac{\pi}{2}$ কোণে ঘুরে যায়।

সুতরাং সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে, $i$ এমনই একটি অপারেটর যা দ্বারা যেকোনো সংখ্যাকে গুণ করলে সংখ্যাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $\frac{\pi}{2}$ কোণে ঘুরে যায়।

∴ কোনো সংখ্যাকে $i^2$ দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $2.\frac{\pi}{2}$ কোণে ঘুরে যায়।

কোনো সংখ্যাকে $i^3$ দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $3.\frac{\pi}{2}$ কোণে ঘুরে যায়।

কোনো সংখ্যাকে $i^4$ দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $4.\frac{\pi}{2}$ কোণে ঘুরে যায়।

কোনো সংখ্যাকে $i^n$ দ্বারা গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $n.\frac{\pi}{2}$ কোণে ঘুরে যায়।

তাহলে লক্ষ্যণীয় যে, $i^2$ দ্বারা কোনো সংখ্যাকে গুণ করলে সেটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $2.\frac{\pi}{2}$ বা $180^{\circ}$ কোণে ঘুরে যায়। আর আমরা জানি যে, যে কোনো জিনিসকে তার স্বাভাবিক অবস্থান থেকে $180^{\circ}$ কোণে ঘুরালে সেটি বিপরীত হয়ে যায়। সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে ধনাত্মক সংখ্যাকে $180^{\circ}$ কোণে ঘুরালে সেটি ঋণাত্মক হয়ে যায়।

\therefore 5i^2=-5\\ \therefore i^2=-1

এবার উপরের চিত্রে লক্ষ্য করো-

$1$ কে $i$ দ্বারা গুণ করলে $i$ , $A$ অবস্থান থেকে $B$ অবস্থানে যায়।

$i$ কে $i$ দ্বারা গুণ করলে $i^2$ , $B$ অবস্থান থেকে $C$ অবস্থানে যায়।

$i^2$ কে $i$ দ্বারা গুণ করলে $i^3$ , $C$ অবস্থান থেকে $D$ অবস্থানে যায়।

$i^3$ কে $i$ দ্বারা গুণ করলে $i^4$ , $D$ …… পুনরায় $A$ অবস্থানে যায়।

\therefore i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1

$\therefore n$ পূর্ণসংখ্যা হলে, $i^{4n}=1$

\therefore i^{4n+1}=i^{4n}.i=i,i^{4n+2}=i^{4n}.i^2=-1 \therefore i^{4n+p}=i^p

আবার, $i^{4n}+i^{4n+1}+i^{4n+2}+i^{4n+3}=1+i-1-i=0$

Note: $4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3$ চারটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা

$a,b,c,d$ চারটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হলে $ia+ib+ic+id=0$

এবার চলো, $i^{01717722655}=i^{4\times 439430663+3}=i^3=-i$

যদি কষ্ট হয় তবে শোনো-

$i$ -এর Power এর শেষ দুটি ডিজিটকে $4$ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট যা হবে সেটাই $i$ এর Power হবে এবং সেটিই হবে সঠিক Answer: যেমন, $55$ কে $4$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $=3$

\therefore i^{01717722655}=i^3=-i (Answer)

আবার, $i$ এর ধারা:

লক্ষ্য কর:

i+i^2=i-1\\ i+i^2+i^3+i^4+i^5=i^1\\ i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6=i^5+i^6=i+i^2\\ i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7=i^5+i^6+i^7=i+i^2+i^3

লক্ষ্য করে বলোতো ……….. আমিই বলি,

ধারাটির সর্বোচ্চ Power কে $4$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ সংখ্যাটি যত পাওয়া যাচ্ছে প্রথম হতে $i$ এর Power যেখানে ভাগশেষের …. ততদূর পর্যন্ত রাখলেই ধারাটির Answer পাওয়া যাচ্ছে।

এবার একটা সমস্যা সমাধান করি-

1+i+i^2+i^3+...+i^{202}=?

এখানে সর্বোচ্চ Power $202$ কে $4$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $=2$

∴ Answer হবে $i+i^2$

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

i এর পরিচয় এবং জটিল সংখ্যা (Identification of i and Complex Number)

জটিল সংখ্যা i এর মান কত (Identification of i and Complex Number)

Other Topics