Math Basic | বাস্তব সংখ্যা, সংখ্যার ধারণা, সেট

বিভিন্ন প্রকার সংখ্যা( Different Kinds of Numbers)

বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers): শূন্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।

উদাহরণ স্বরূপ: 0, 1, 2, 3, -0, -1, -2, -1/2 সব। বাস্তব সংখ্যার সেট R দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

অবাস্তব সংখ্যা (Imaginary Numbers): কোনো সংখ্যাকে বর্গ করলে যদি ঋণাত্মক সংখ্যা পাওয়া যায়, তাহলে তাকে অবাস্তব সংখ্যা বলে। যেমন: √-2, √-5 

(√-2)^2 = -2। বাস্তব সংখ্যার সাথে i থাকলে তা অবাস্তব সংখ্যা হয়, যেমন: 3i, 5i, 7i। 

জটিল সংখ্যা( Complex Numbers): বাস্তব ও অবাস্তব সংখ্যা মিলে যে সংখ্যা তৈরি হয় তাকে জটিল সংখ্যা বলে। ইহাকে a \pm ib আকারে প্রকাশ করা হয়। যেমন: 2+ 3i , 5- 4i, 7 +2i 

অনুবন্ধী সংখ্যা (Complex Conjugate Numbers): কোনো জটিল সংখ্যার অবাস্তব অংশের পূর্বে যে চিহ্ন বিদ্যমান থাকে উহার বিপরীত চিহ্নযুক্ত জটিল সংখ্যাকে ১ম জটিল সংখ্যার অনুবন্ধী সংখ্যা বলে। যেমন: 3 + 5i এর অনুবন্ধী সংখ্যা হবে 3 – 5i, 7 – 4i এর অনুবন্ধী সংখ্যা 7+4i. 

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers): 1,2,3,4,… ইত্যাদি স্বাভাবিক সংখ্যা। 2, 3, 5, 7 ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং 4, 6, 8, 9 ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা। দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক বলা হয়। যেমন 6 ও 35 পরস্পরের সহমৌলিক 1। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ হয়। 

পূর্ণসংখ্যা (Integer): শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখন্ডক সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ -3 , -2 , -1 , 0 ,1 , 2, 3 ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা।

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Numbers): 𝑝/𝑞 আকারে কোনো সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশ বলে। যেখানে q ≠ 0 এবং q ≠ 1। যেমন 1/2, 3/2 ইত্যাদি সাধারণ ভগ্নাংশ। কোনো সাধারণ 𝑝/𝑞 ভগ্নাংশে p < q হলে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। যেমন: 5/13 প্রকৃত ভগ্নাংশ আবার 13/5 অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers):  𝑝/𝑞 আকারের যেকোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলে, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসেবেও লেখা যায়। সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা। যেমন 3/1 = 3, 11/2 = 5.5, 5/3 = 1.666 … সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers): যে সংখ্যাকে 𝑝/𝑞 আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন: √2 = 1.414213…., কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

মৌলিক সংখ্যার কেবলমাত্র দুটো পৃথক উৎপাদক আছে- ১ এবং ঐ সংখ্যাটি নিজে। 

মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক দ্বারা প্রকাশ করা হলে তাকে দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন- 1.66, 1.65  ইত্যাদি। 

সেটের ধারণা (Set)

বাস্তব বা  চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। উদাহরণ: 2, 6, 8 সংখ্যা তিনটির সেট A= {2, 6, 8 }।

• সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
• যে সেটের উপাদানসমূহকে গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, তাকে সসীম সেট বলে। উদাহরণ- E= {2, 6, 8, ……, 98}
• যে সেটের উপাদানসমূহ গণনা করে শেষ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে। উদাহরণ, N= { 2, 4, 6, … }
• যে সেটের কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে “Φ” চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• কোনো সেট থেকে যতগুলো সেট তৈরি করা যায় তাদের প্রত্যেকটি সেই সেটের উপসেট বলে। যেমন- A= {a, b}। এখান থেকে সেটের উপাদানগুলোকে নিয়ে {a, b}; {a} ; {b}- আরো কিছু সেট তৈরি করা যায়। নতুন তৈরি প্রত্যেকটি সেট, পূর্বের সেট A এর উপসেট। উপসেট বোঝাতে “⊂” চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
• দুইটি সেটের উপাদান একই হলে, সেট দুটিকে সমান বলা হয়।
• দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলা হয়। সংযোগ সেটকে  “∪” চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। A∪B দ্বারা বোঝায় A ও B সেটের সকল উপাদানকে নিয়ে গঠিত নতুন সেটকে।
• দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে। ছেদ সেটকে “∩” চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে তাদের নিশ্ছেদ সেট বলা হয়।

উদাহরণ

• ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: ১-১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫, ৭ 

১১-২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১১, ১৩, ১৭, ১৯ 

২১-৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৩, ২৯ 

সুতরাং ১-৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি 

• কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩৪৬কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান: ৩৪৬ থেকে ৩১ বাদ দিলে থাকে ৩৪৬-৩১=৩১৫ 

৩১৫ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: 

১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১৫, ২১, ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫ 

এর মধ্যে ৩১ এর চেয়ে বড় সংখ্যা দ্বারা ৩৪৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে। 

তাহলে ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫ দ্বারা ৩৪৬ কে  ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে।

• কোনো ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২, ৩, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান: ২, ৩, ৫, ৬ এর লসাগু ৩০। 

৩০+১=৩১ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যাকে ২, ৩, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে। 

• একটি সেট A = {x ∈ N : x^2 > 15 এবং x^8 < 225} দেয়া আছে। একে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন।

x^2 > 15 \\ \Rightarrow  x > \sqrt{15} \\ x^8 < 225 \\ \Rightarrow x < 8 \sqrt{225} 

তালিকা পদ্ধতিতে \sqrt{15}<x<8\sqrt{225}

• যদি A = {১, ২, ৩}, B = {২, ৩, ৫} হয়, তবে A \ B = কত? 

A \ B = {১, ২, ৩} – {২, ৩, ৫} = {১} 

• 2x^2+5x+3<0 এর সমাধান কোনটি?

2x^2 + 5x + 3 < 0 \\
\Rightarrow 2x^2 +2x +3x + 3 < 0\\
\Rightarrow 2x(x+1) + 3 (x+1) < 0\\
\Rightarrow (2x+3) (x+1) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি যেকোনো একটি উৎপাদক ঋণাত্মক বা শূন্য থেকে ছোট হয়।

(2x+3)>0 এবং (x+1)<0

x> -\frac{3}{2} এবং x<-1

অর্থাৎ -\frac{-3}{2}<x<-1