পরাবৃত্তের পরিচিতি (Introduction to the parabola)
পরাবৃত্ত (Parabola)
| y^{2}=4 a x [a>0] | x^{2}=4 a y [a>0] | (y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha) [a>0] | (x-\alpha)^{2}=4 a(y-\beta) [a>0] | |
| চিত্র | ![y2=4ax [a>0] Parabola](data:image/svg+xml;nitro-empty-id=MTc5OjQxMw==-1;base64,PHN2ZyB2aWV3Qm94PSIwIDAgMzM5IDE5NSIgd2lkdGg9IjMzOSIgaGVpZ2h0PSIxOTUiIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+) | ![x2=4ay [a>0] Parabola](data:image/svg+xml;nitro-empty-id=MTgwOjQxOA==-1;base64,PHN2ZyB2aWV3Qm94PSIwIDAgMzQyIDIwNyIgd2lkdGg9IjM0MiIgaGVpZ2h0PSIyMDciIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+) | ![(y-)2=4a(x-) [a>0] Parabola](data:image/svg+xml;nitro-empty-id=MTgxOjQyMA==-1;base64,PHN2ZyB2aWV3Qm94PSIwIDAgMzI4IDIyMiIgd2lkdGg9IjMyOCIgaGVpZ2h0PSIyMjIiIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+) | ![(x-)2=4a(y-) [a>0] Parabola](data:image/svg+xml;nitro-empty-id=MTgyOjQxNA==-1;base64,PHN2ZyB2aWV3Qm94PSIwIDAgMzQ3IDIxMSIgd2lkdGg9IjM0NyIgaGVpZ2h0PSIyMTEiIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+) |
| শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (A) | (0, 0) | (0, 0) | (\alpha, \beta) | (\alpha, \beta) |
| ফোকাস/ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (S) | (a, 0) | (0, a) | (a+\alpha, \beta) | (\alpha, a+\beta) |
| দিকাক্ষ/ নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক | (-a, 0) | (0, -a) | (-a+\alpha, \beta) | (\alpha,-a+\beta) |
| দিকাক্ষ/ নিয়ামকরেখার সমীকরণ | x+a=0 \Rightarrowx = a – 1
| 𝐲+𝐚=𝟎 ⇒𝐲=−𝐚 | 𝐱−𝛂+𝐚=𝟎 | 𝐲−𝛃+𝐚=𝟎 |
| অক্ষরেখার সমীকরণ | y=0 | x=0 | \begin{array}{c} y=\beta \\ \Rightarrow y-\beta=0 \end{array} | \begin{array}{c} x=\alpha \\ \Rightarrow x-\alpha=0 \end{array} |
| উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ | x=a | y=a | \begin{array}{c} x-\alpha-a=0 \\ \Rightarrow x-\alpha=a \end{array} | \begin{array}{c} y-\beta-a=0 \\ \Rightarrow y-\beta=a \end{array} |
| উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য | 4 |a| | 4 |a| | 4 |a| | 4 |a| |
| উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় | (a, ±2a) | (±2a, a) | (a+\alpha, \pm 2 a+\beta) | (\pm 2 a+\alpha, a+\beta) |
| ফোকাস দূরত্ব/ উপকেন্দ্রিক দূরত্ব | SP=x+a | SP=y+a | x-+a | y-+a |
| শীর্ষে স্পর্শকের সমীকরণ | x=0 | y=0 | x=α ⇒x-α=0 | y=β ⇒y-β=0 |
| উপকেন্দ্র ও শীর্ষের দূরত্ব | a | a | ||
| পরামিতিক সমীকরণ | \begin{array}{c} x=a t^{2} \\ y=2 a t \end{array} | \begin{array}{l} y=a t^{2} \\ x=2 a t \end{array} | ||
| পোলার স্থানাঙ্কে সমীকরণ | r= 4acotθcosecθ | r= 4atanθsecθ |
- x অক্ষের সমান্তরাল অক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ:x=a y^{2}+b y+c
শীর্ষ \left(-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a},-\frac{b}{2 a}\right) উপকেন্দ্রিক লম্ব =\frac{1}{|a|}
- y অক্ষের সমান্তরাল অক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ: y=a x^{2}+b x+c
শীর্ষ \left(-\frac{b}{2 a},-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right) উপকেন্দ্রিক লম্ব =\frac{1}{|a|}
- Y^{2}=4 a x পরাবৃত্তের \left(x_{1}, y_{1}\right) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: y y_{1}=2 a\left(x+x_{1}\right)
- e=0 হলে একটি বিন্দু বৃত্ত পাওয়া যায়।
[e এর আর এমন কোনো মান নাই যে, কণিকের সংজ্ঞা হতে বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যায়। এই কারণে বৃত্তকে কণিক বলা যায় না।]
- দিকাক্ষ যার সমান্তরাল তার উপর বর্গ, অর্থাৎ অক্ষ যার সমান্তরাল তার বিপরীতে বর্গ।
- পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু হলে, সমীকরণ: y^{2}=4 a(x+a)
- পরাবৃত্তের দিকাক্ষ ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু মূলবিন্দু হলে, সমীকরণ: y^{2}=4(x-a)
- অক্ষরেখা হতে পরাবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বের বর্গের ও শীর্ষ স্পর্শক হতে ঐ বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান। অর্থাৎ, y^{2}=4 a x পরাবৃত্তে অক্ষ হতে দূরত্বশীর্ষে স্পর্শক হতে দূরত্ব =4|a|
- \left(x_{1}, y_{1}\right) বিন্দুটি y^{2}=4 a x পরাবৃত্তের
বাইরে অবস্থান করবে যদি y_{1}^{2}-4 a x_{1}>0 হয়।
উপরে অবস্থান করবে যদি y_{1}^{2}-4 a x_{1}=0 হয়।
ভিতরে অবস্থান করবে যদি y_{1}^{2}-4 a x_{1}<0হয়।
| y^{2}=4 a x পরাবৃত্ত: | y^{2}=-4 a x পরাবৃত্ত: |
 |  |
| x^{2}=4 a y পরাবৃত্ত: | x^{2}=-4 a yপরাবৃত্ত: |
 |  |
| (y-\beta)^{2}=4 a(x-\alpha) পরাবৃত্ত: | (y-\beta)^{2}=-4 a(x-a) পরাবৃত্ত: |
 |  |
| (x-\alpha)^{2}=4 a(y-\beta) পরাবৃত্ত: | (x-\alpha)^{2}=-4 a(y-\beta) পরাবৃত্ত: |
 |  |
