বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)

বহুপদী (Polynomial):

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots \ldots \ldots, a_{n} প্রত্যেকেই ধ্রুবক অর্থাৎ x বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা, a0≠0 এবং n∈N∪{0}  হলে, P(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\ldots \ldots \ldots+a_{n} আকারের যেকোনো রাশিকে x এর n তম ঘাতের বহুপদী রাশি বলা হয়। বহুপদীর পদগুলির মধ্যে x এর গরিষ্ঠ ঘাতকে বহুপদীর ঘাত বা মাত্রা (degree) বলা হয়। বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে মূখ্যপদ এবং বৃহত্তম ঘাত বিশিষ্ট পদের সহগকে মূখ্য সহগ (Coefficient) বলা হয়। 0 মাত্রাযুক্ত অর্থাৎ চলক-বর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলা হয়। 3 x^{4}+5 x^{3}+2 x^{2}+9 x+1, x চলকের একটি বহুপদী রাশি, যার ঘাত 4, মূখ্যপদ 3 x^{4} , মুখ্য সহগ 3 এবং ধ্রুবপদ 1.  

লক্ষণীয় যে, 3 x^{2}+\frac{5}{x^{3}}+7 রাশিটি বহুপদী নয়। কেননা, রাশিটির দ্বিতীয় পদে x এর ঘাত ঋণাত্মক (–3)।

a^{x}, e^{x}, \log x, \ln x   এরা বহুপদী নয়। n=0 হলে P(x) কে 0 ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী বলা হয়। 

x চলকের বহুপদীকে সাধারণত x এর ঘাতের অধঃক্রমে (অর্থাৎ, মূখ্যপদ থেকে শুরু করে ক্রমে ক্রমে ধ্রুব পদ পর্যন্ত) বর্ণনা করা হয়। এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শ রূপ (Standard form) বলা হয়।  

সমমাত্রিক ও অসমমাত্রিক বহুপদী (Homogeneous and Non-homogeneous polynomials):

কোনো বহুপদীর সকল পদের ঘাত সমান হলে ঐ বহুপদীকে সমমাত্রিক বহুপদী এবং সমান না হলে তাকে অসমমাত্রিক বহুপদী বলা হয়।  a x^{2}+2 h x y+b y^{2}একটি  x ও y চলকের দুই ঘাতবিশিষ্ট সমমাত্রিক বহুপদী।

a x^{2}+b x+c একটি x চলকের দুই ঘাতবিশিষ্ট অসমমাত্রিক বহুপদী কেননা, বহুপদীটিতে প্রথম পদের ঘাত দুই, দ্বিতীয় পদের ঘাত এক এবং তৃতীয় পদের ঘাত শূন্য। অর্থাৎ, সকল পদের ঘাত সমান নয়।

বহুপদী সমীকরণ (Polynomial equation):

• \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{n-i}=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}=0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে। [যেখানে a_{0} \neq 0 \text { এবং } n \in N]
• পদসমূহের মধ্যে কোন চলকের সর্বোচ্চ ঘাত যত থাকে তাকে তত ঘাতের সমীকরণ বলে। সর্বোচ্চ ঘাতকে উক্ত সমীকরণের মাত্রা (Degree) বলে। n ঘাতবিশিষ্ট সমীকরণে n টি মূল থাকে। যেমন: x^{3}+1=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ অর্থাৎ মাত্রা =3। কিন্তু পদসমূহের মধ্যে কোন চলকের ঘাত ঋণাত্মক হলে তাকে বহুপদী সমীকরণ বলা যাবে না। যেমন: 3 x^{3}+\frac{4}{x^{2}}+9=0 বহুপদী সমীকরণ নয়।
• একাধিক চলক সমন্বিত কোন পদ থাকলে সে পদের ঘাত হয় উভয় চলকের ঘাতের যোগফল। যেমন: x^{2} y^{2}+x^{3}+y^{3}=0 একটি চতুর্ঘাত সমীকরণ।

বহুপদী সমীকরণের উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem of polynomial equations):

বর্ণনা (Explanation): যদি f (x) একটি বহুপদী হয় এবং f (a) = 0 হয়, তবে বহুপদী f (x) এর একটি উৎপাদক x-a হবে।

প্রমাণ (Proof): ধরি, f (x) বহুপদীকে x-a দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল q(x) এবং ভাগশেষ r পাওয়া যায়।

তাহলে সংজ্ঞানুসারে f(x) = (x-a) q (x) +r ……………..(i)

ভাগশেষ উপপাদ্য হতে পাই, r = f(a)

সেক্ষেত্রে (i) নং হতে পাই, f(x) = (x-a) q (x)+f (a) ………………….(ii)

সুতরাং এ শর্তে (ii) নং হতে পাওয়া যায় f(x)=(x-a) q(x) যা প্রকাশ করে f(x) বহুপদী, x-a দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

অতএব, বহুপদী f(x) এর x-a একটি উৎপাদক।

 

উদাহরণ (Example): ধরি, f(x)=x^{4}-2 x^{3}-21 x^{2}+22 x+40

এখানে, f(-1)=1+2-21-22+40=0

অর্থাৎ, বহুপদী f(x) এর x- (-1) = x +1 একটি উৎপাদক।

তাহলে, x^{4}-2 x^{3}-21 x^{2}+22 x+40=(x+1)\left(x^{3}-3 x^{2}-18 x+40\right) 

 

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem): 

কোনো বহুপদী f (x) কে x-α দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ f (α) হবে।

প্রমাণ (Proof):

মনে করি, বহুপদী f(x) কে x-α দ্বারা ভাগ করলে, f (x )= (x-α)  Q+R…… (1) হয় :

যেখানে ভাগফল Q হচ্ছে x এর n-1 ঘাতের বহুপদী এবং ভাগশেষ R হচ্ছে ধ্রুবক। দেখাতে হবে যে, R = f (α)

(1) নং সমীকরণে x=α বসিয়ে পাই, f (α) = (α-α)  Q+R  ∴R = f(α)

 

প্রত্যেক n-ঘাতের বহুপদী সমীকরণ f (x)=0 এর কেবলমাত্র n সংখ্যক মূল আছে। (Every polynomial of degree "n" has exactly "n" roots)

প্রমাণ (Proof): মনে করি, f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n} একটি n ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ। 

বীজগণিতীয় মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, প্রত্যেক n (n≥1) ঘাতের বহুপদী সমীকরণ f(x)=0 এর কমপক্ষে একটি এবং বাস্তব অথবা অবাস্তব মূল বিদ্যমান।

ধরি, সমীকরণ f (x) এর একটি মূল a_{1} । তাহলে উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী f(x) এর একটি উৎপাদক x-a_{1}

সুতরাংf(x)=\left(x-\alpha_{1}\right) \varphi_{1}(x) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(i) 

যেখানে \varphi_{1}(x) হলো n  - 1 ঘাতের বহুপদী যার প্রথম পদ =a_{0} x^{n-1}

আবার বীজগণিতীয় মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে  এর কমপক্ষে একটি মূল বিদ্যমান। 

ধরি, সমীকরণ \varphi_{1}(x)=0এর একটি মূল a_{2}। তাহলে উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী \varphi_{1}(x) এর একটি উৎপাদক x-a_{2}

সুতরাং \varphi_{1}(x)=\left(x-\alpha_{2}\right) \varphi_{2}(x) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \text { (ii) }

যেখানে, \varphi_{2}(x) হলো n-2 ঘাতের বহুপদী যার প্রথম পদ =a_{0} x^{n-2}

এখন (i) নং এবং (ii) নং হতে পাই,f(x)=\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \varphi_{2}(x)

এভাবে অগ্রসর হয়ে n ধাপের পর পাওয়া যাবে, 

f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\left(x-\alpha_{3}\right) \ldots \ldots \ldots \varphi_{n}(x) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \text { (iii) }

সুতরাং (iii) নং হতে পাওয়া যায়,

f(x)=a_{0}\left(x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right)\left(x-\alpha_{3}\right) \ldots \ldots \ldots\left(x-\alpha_{n}\right) \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \text { (iv) }

এখন, \alpha_{i} \in\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots \ldots, \alpha_{n}\right. হলে (iv) নং হতে পাওয়া যাবে, f\left(a_{i}\right)=0  যেখানে i = 1, 2, 3,……, n

অতএব, f(x)=0 বহুপদী সমীকরণের n সংখ্যক মূল a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \ldots, a_{n} বিদ্যমান।

এখন যদি \alpha \notin\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots \ldots, \alpha_{n}\right\} হয়, তবে f(\alpha)=a_{0}\left(\alpha-\alpha_{1}\right)\left(\alpha-\alpha_{2}\right)\left(\alpha-\alpha_{3}\right) \ldots \ldots \ldots\left(\alpha-\alpha_{n}\right) \neq 0

সুতরাং বহুপদী সমীকরণ এর f(x)=0 \text { এর } \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots \ldots, \alpha_{n}  এ n সংখ্যক মূল ব্যতীত অন্য কোনো মূল বিদ্যমান থাকতে পারে না।

 

মূলদ সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী সমীকরণের অমূলদ মূলগুলি যুগলে থাকে (In a polynomial equation with rational coefficients, irrational roots occur in pairs) 

প্রমাণ (Proof): মনে করি, f (x) = 0 একটি মূলদ সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ এবং x=p+\sqrt{q} এর একটি মূল, যেখানে P∈Q এবং \sqrt{q}=Q^{\prime} তাহলে,  f(p+\sqrt{q})=0 \ldots \ldots \text { (i) }

আবার, যেহেতু বহুপদী f (x) এর সহগগুলি মূলদ।

সুতরাং f(p+\sqrt{q})=A+\sqrt{B} ...... (ii) এবং f(p-\sqrt{q})=A-\sqrt{B} .......(iii)

যেখানে A ∈ Q এবং \sqrt{B}=Q^{\prime}

এখন (i) নং ও (ii) নং হতে পাই, \mathbf{0}=A+\sqrt{B} 

বা, A = 0, B = 0 [কারণ একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল শূন্য হতে পারে না]

তাহলে (iii) নং হতে পাওয়া যায় f(p-\sqrt{q})=0

সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল p+\sqrt{q} হলে অপর একটি মূল p-\sqrt{q} পাওয়া যায় এবং বিপরীতক্রমে p-\sqrt{q} একটি মূল হলে p+\sqrt{q} অপর একটি মূল পাওয়া যাবে। 

অতএব মূলদ সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী সমীকরণের অমূলদ মূলগুলি যুগলে থাকে। 

 

উদাহরণ (Example): x^{3}-6 x^{2}+9 x-2=0একটি মূলদ সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ।

এর অমূলদ যুগল মূল 2+√3 এবং 2-√3 বিদ্যমান।

আবার x^{3}-(7+\sqrt{2}) x^{2}+(12+7 \sqrt{2}) x-12 \sqrt{2}=0 একটি বহুপদী সমীকরণ। সমীকরণের x=\sqrt{2} একটি মূল কিন্তু x=-\sqrt{2} মূল নয়। এ সমীকরণটি মূলদ সহগবিশিষ্ট নয়। মূলদ সহগবিশিষ্ট সমীকরণ হলে, এর একটি মূল x=-\sqrt{2} পাওয়া যেত।

 

বাস্তব সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী সমীকরণের কাল্পনিক (অবাস্তব) মূলগুলি অনুবন্ধী যুগলে থাকে (In a polynomial equation with real coefficients, imaginary roots occur conjugate pairs) 

প্রমাণ (Proof): মনে করি, f (x) = 0 একটি বাস্তব সহগবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ এবং x = p + iq এর একটি মূল, যেখানে p,q ∈ R এবং i=\sqrt{-1}  তাহলে f (p+ iq) = 0 ..........(i)

আবার, যেহেতু বহুপদী f(x) এর সহগগুলি বাস্তব।

সুতরাং f(p+ iq) = A + iB..........(ii) এবং = A-iB……………………(iii)

যেখানে A,B ∈ R  এবং i= \sqrt{-1}

এখন (i) ও (ii) নং হতে পাই, 0=A+iB 

বা, A = 0, B = 0 [কারণ A=0 ও B=0 না হলে A+iB = 0 হতে পারে না।]

A = 0 ও B = 0 বসিয়ে (iii) নং হতে পাওয়া যায়, f(p-iq) = 0  

সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল p+iq হলে অপর একটি মূল p-iq পাওয়া যায়। 

আবার বিপরীত ক্রমে একটি মূল p-iq হলে অপর একটি মূল p + iq পাওয়া যাবে।

অতএব বাস্তব সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী সমীকরণের কাল্পনিক (অবাস্তব) মূলগুলি অনুবন্ধী যুগলে থাকে।

 

উদাহরণ (Example): বাস্তব সহগবিশিষ্ট একটি বহুপদী সমীকরণ 2 x^{3}-9 x^{2}+14-5=0 এর কাল্পনিক অনুবন্ধী যুগল মূল 2 + i এবং 2 - i বিদ্যমান।

আবার x^{3}+(5-i) x^{2}+(6+5 i) x-6 i=0 একটি বহুপদী সমীকরণ। সমীকরণের x=i একটি মূল কিন্তু x=-i মূল নয়। এ সমীকরণটি বাস্তব সহগবিশিষ্ট নয়। বাস্তব সহগবিশিষ্ট সমীকরণ এ একটি মূল x = i হলে অপর একটি মূল x = -i পাওয়া যেত।