দ্বিঘাত, ত্রিঘাত এবং চতুর্ঘাত সমীকরণ (Quadratic and Higher Order Equations)
দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন (Formation of quadratic equations):
a x^{2}+b x+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \alpha \text { এবং } \beta হলে এর মূল-সহগ সম্পর্ক হতে পাই,
(i) মূলদ্বয়ের যোগফল, α+β= -\frac{x^{2} এর সহগ }{x^{2} এর সহগ }=-\frac{b}{a}এবং মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ =\frac{x \text { ধ্রুব পদ }}{x^{2} \text { এর সহগ }}
(ii) দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে, x^{2} – (মূলদ্বয়ের যোগফল) x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান (The general solution of quadratic equations)
বীজগুলি মূলদ সংখ্যা হলে, এক চলকের দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সহজেই তার সমাধান নির্ণয় করা যায়। কিন্তু সব রাশিমালাকে সহজ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না। সে জন্য যেকোনো প্রকার দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয়।
এক চলক সমন্বিত দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শরূপ a x^{2}+b x+c=0 যেখানে a, b, c ∈R এবং
a ≠ 0.
∴a^{2} x^{2}+4 a b x+4 a c=0 [উভয়পক্ষকে 4a দ্বারা গুণ করে]
বা, (2 a x)^{2}+2 \cdot 2 a x \cdot b+b^{2}+4 a c=b^{2}
বা, (2 a x+b)^{2}=b^{2^{-}} 4 a c
বা, 2 a x+b=\pm \sqrt{b^{2}-4 a c}
বা, 2 a x=-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}
বা, x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}
অতএব, \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \text { এবং } \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \text { হচ্ছে } a x^{2}+b x+c=0সমীকরণের সাধারণ সমাধান অর্থাৎ মূল।
দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক (The basic-coefficient of the quadratic equation)
মনে করি, a x^{2}+b x+c=0 সমীকরণদ্বয়ের মূলদ্বয় \alpha \text {এবং } \beta . তাহলে,
\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \text { হলে } \beta=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \alpha+\beta=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{-2 b}{2 a}=\frac{-b}{a} এবং
\alpha \beta=\frac{(-b)^{2}-\left(\sqrt{b^{2}-4 a c}\right)^{2}}{4 a^{2}}=\frac{-b^{2}-\left(b^{2}-4 a c\right)}{4 a^{2}}
=\frac{b^{2}-b^{2}+4 a c}{4 a^{2}}=\frac{4 a c}{4 a^{2}}=\frac{c}{a}
∴ মূলদ্বয়ের সমষ্টি \alpha+\beta=\frac{-b}{a}=-\frac{x \text { এর সহগ }}{x^{2} \text { এর সহগ }}
এবং মূলদ্বয়ের গুণফল α β =\frac{c}{a} = -(ধ্রুবক পদ)/(x^{2} এর সহগ
যেমন, 4 x^{2}-3 x+2=0সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হলে, \alpha+\beta=-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}
এবং \alpha \beta=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
1. যে শর্ত সাপেক্ষে a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}=0 এবং a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}=0সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল বিদ্যমান তা নির্ণয় করতে হবে।
মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি ; তাহলে দ্বারা উভয় সমীকরণই সিদ্ধ হবে,
a_{1} \alpha^{2}+b_{1} \alpha+c_{1}=0এবং a_{2} \alpha^{2}+b_{2} \alpha+c_{2}=0
(i) ও (ii) নং হতে বজ্রগুণন সূত্রের মাধ্যমে পাই,
\frac{\mathbf{a}^{2}}{\mathrm{~b}_{1} \mathrm{c}_{2}-\mathrm{b}_{2} \mathrm{c}_{1}}=\frac{\mathbf{a}}{\mathrm{c}_{1} \mathrm{a}_{2}-\mathrm{c}_{2} \mathrm{a}_{1}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{2}-\mathrm{a}_{2} \mathrm{~b}_{1}}\therefore \alpha^{2}=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} [১ম ও ৩য় সম্পর্ক হতে]
\alpha=\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}} [২য় ও ৩য় সম্পর্ক হতে]
সুতরাং, \left(\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\right)=\left(\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}\right)^{2}
অর্থাৎ,\left(b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}\right)\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)=\left(c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}\right)^{2} যা নির্ণেয় শর্ত।
বি.দ্র. দুইটি সমীকরণের সাধারণ মূল সম্পর্কিত সমীকরণদ্বয় নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে সহজে সমাধান করা যায়,
\left(b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}\right)\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right)=\left(c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}\right)^{2}[প্রথম রাশির হর × শেষ রাশির হর = (মধ্যরাশির হর)2]
2. যে শর্ত সাপেক্ষে a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}=0 এবং a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}=0 সমীকরণের উভয় মূলই সাধারণ তা নির্ণয় করতে হবে।
মনে করি, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি ও ; তাহলে মূল ও সহগের সম্পর্ক অনুসারে,
প্রথম সমীকরণ \left(a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}=0\right) হতে পাই, \left.\begin{array}{l} \alpha+\beta=\frac{-b_{1}}{a_{1}} \\ \text { <b>এবং</b> } \alpha \beta=\frac{c_{1}}{a_{1}} \end{array}\right\} …..(i)
দ্বিতীয় সমীকরণ \left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}=0\right) হতে পাই, \left.\begin{array}{l} \alpha+\beta=\frac{-b_{2}}{a_{2}} \\ \text { <b>এবং</b> } \alpha \beta=\frac{c_{2}}{a_{2}} \end{array}\right\} …..(ii)
(i) ও (ii) নং হতে পাই,
\frac{-b_{1}}{a_{1}}=\frac{-b_{2}}{a_{2}} \text { <b>এবং</b> } \frac{c_{1}}{a_{1}}=\frac{c_{2}}{a_{2}}
বা, \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \text { <b>এবং</b> } \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}
সুতরাং, \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}} যা নির্ণেয় শর্ত।
পৃথায়ক (Discriminant):
a x^{2}+b x+c=0; (a, b, c ∈ R এবং a 0) দ্বিঘাত সমীকরণদ্বয়ের মূলদ্বয় =\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} এর ধরণ ও প্রকৃতি বর্গমূলের ভিতরের অংশ b^{2}-4 a c এর উপর নির্ভরশীল। তাই, b^{2}-4 a c কে উক্ত সমীকরপের পৃথায়ক (discriminant) বলা হয়।
পৃথায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (The type and nature of the two basic equations of quadratic equations in the case of discriminant):
1. b^{2}-4 a c>0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে। এক্ষেত্রে y=f(x)=a x^{2}+b x+cবক্ররেখাটি (পরাবৃত্ত) x– অক্ষকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
2. b^{2}-4 a c=0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মুলদ ও সমান হবে। এক্ষেত্রে x=\frac{-b}{2 a}, \frac{-b}{2 a} এক্ষেত্রে y=f(x)=a x^{2}+b x+c বক্ররেখাটি x-অক্ষকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
3. b^{2}-4 a c<0 হলে মূলদ্বয় জটিল ও অসমান হবে। এক্ষেত্রে মূলদ্বয় সবসময় দুইটি অনুবন্ধী জটিল বা কাল্পনিক সংখ্যা হয়। এক্ষেত্রে, y=f(x)=a x^{2}+b x+c বক্ররেখাটি x-অক্ষকে ছেদ বা স্পর্শ করে না।
4. a, b, c ∈ Q এবং b^{2}-4 a c পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় মুলদ ও অসমান হবে।
\therefore b^{2}-4 a c=0
ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক (Relation between roots and coefficients of cubic equations):
মনে করি, a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ
তাহলে, x^{3}+\frac{b}{a} x^{2}+\frac{c}{a} x+\frac{d}{a} \equiv(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
বা, x^{3}+\frac{b}{a} x^{2}+\frac{c}{a} x+\frac{d}{a} \equiv x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma) x^{2}+(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) x-\alpha \beta \gamma
∴ \therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}=(-1)^{1} \frac{b}{a}
\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a}=(-1)^{2} \cdot \frac{c}{a^{\prime}}এবং \alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}(-1)^{3} \frac{d}{a} \quad\left[x^{3}, x^{2}, x\right. ও ধ্রুবকপদগুলি সমীকৃত করে]
ত্রিঘাত এবং চতুর্ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করার প্রয়োজনীয় পদ্ধতি (Necessary method to solve equations consisting of cubic and quadrilaterals):
- মূলগুলি সমান্তর প্রগমন ভুক্ত হলে
- ত্রিঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রেঃ মূল তিনটিকে a – d, a, a + d ধরতে হয়।
- চতুর্ঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রেঃ মূল চারটিকে a-3d, a – d, a + d, a + 3d ধরতে হয়।
- মূলগুলি গুণোন্তর (সমানুপাতিক) প্রগমন ভুক্ত হলে
- ত্রিঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রেঃ মূল তিনটিকে \frac{a}{r}, a, a rধরতে হয়।
- চতুর্ঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রেঃ মূল চারটিকে \frac{a}{r^{3}}, \frac{a}{r^{\prime}}, a, a r^{3} ধরতে হয়।
n ঘাত সমীকরণের ক্ষেত্রে (In the case of n power equations):
মনে করি, a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n^{-1}}+\cdots+a_{n}=0, a_{0} \neq 0একটি n ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণ এবং এর মূলগুলি a_{1}, a_{2}, \ldots \ldots \ldots, a_{n}
তাহলে \left.a_{o} x^{n}+a_{1} x^{n^{-1}}+\cdots+a_{n}=a_{0} (x-\alpha_{1}\right)\left(x-\alpha_{2}\right) \ldots \ldots\left(x-\alpha_{n}\right)
=\mathrm{a}_{\mathrm{o}}\left\{\mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\left(\sum \alpha_{1}\right) \mathrm{x}^{\mathrm{n}-1}+\left(\sum \alpha_{1} \alpha_{2}\right) \mathrm{x}^{\mathrm{n}-2}+\left(\sum \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}\right) \mathrm{x}^{\mathrm{n}-3}+\ldots \ldots+(-1)^{\mathrm{n}} \alpha_{1} \alpha_{2} \ldots \alpha_{n}\right\}যেহেতু এটি একটি অভেদ, সুতরাং উভয় পক্ষের সমান ঘাত বিশিষ্ট পদের সহগ পরস্পর সমান।
এখন উভয় পক্ষ হতে সহগ সমীকৃত করে পাই,
-a_{o} \sum \alpha_{1}=a_{1}, a_{0} \sum \alpha_{1} \alpha_{2}=a_{2}, a_{0} \sum-\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}=a_{3} \ldots \ldots,(-1)^{n} a_{0} \alpha_{1} \alpha_{2} \ldots . \alpha_{n}=a_{n}বা, \sum \alpha_{1}=-\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{0}^{\prime}}, \Sigma \alpha_{1} \alpha_{2}=\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{0}^{\prime}}, \Sigma \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}=-\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{a}_{0}} \ldots \ldots, \alpha_{1} \alpha_{2}
=-\frac{1}{(-1)^{n}} \cdot \frac{a_{n}}{a_{o}} =(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}_{\mathrm{o}}}এটিই প্রদত্ত সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্ক।