জটিল সংখ্যার বর্গমূল এবং এককের ঘনমূল | Square Roots of Complex Numbers and Cubic Roots of Unity

জটিল সংখ্যার বর্গমূল (Square Roots of Complex Numbers)

মনে করি, a+ib একটি জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) এবং তার বর্গমূল x+iy, যেখানে x ও y বাস্তব সংখ্যা। অর্থাৎ,

a+ib=x+iy\\ a+ib=(x+iy)^2 [উভয়\; পক্ষকে\; বর্গ\; করে]\\ a+ib=(x^2-y^2)+2ixy\\ \therefore a=x^2-y^2......(i) \;এবং\; 2xy=b......(ii)\\ এখন,\; (x^2+y^2)^2=(x^2-y^2)^2+4x^2y^2\\ =a^2+b^2 [(i) ও (ii)\; নং\; এর\; সাহায্যে]\\ \therefore x^2+y62=a^2+b^2......(iii) 

যেহেতু, x ও y দুইটি বাস্তব সংখ্যা, সুতরাং x^2+y^2 ধনাত্মক সংখ্যা অর্থাৎ a^2+b^2 ধনাত্মক।

(i) ও (ii) নং থেকে পাই,

x^2=\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^2+b^2})\; এবং\; y^2=\frac{1}{2}(-a+\sqrt{a^2+b^2})\\ \therefore x=\pm \{\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^2+b^2})\}^\frac{1}{2}\; এবং\; y=\pm \{\frac{1}{2}(-a+\sqrt{a^2+b^2})\}^\frac{1}{2}

(ii) নং থেকে আমরা নিশ্চিত যে, b ধনাত্মক হলে, x এবং y একই চিহ্নযুক্ত হবে।

এক্ষেত্রে নির্ণেয় বর্গমূল =\pm\left[\left\{\frac{1}{2}\left(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)\right\}^{1 / 2}+i\left\{\frac{1}{2}\left(-a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)\right\}^{1 / 2}\right]

আবার, b ঋণাত্মক হলে, x এবং y বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে,

এক্ষেত্রে নির্ণেয় বর্গমূল =\pm\left[\left\{\frac{1}{2}\left(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)\right\}^{1 / 2}-i\left\{\frac{1}{2}\left(-a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)\right\}^{1 / 2}\right]

এককের ঘনমূল নির্ণয় (Determining the cube root of the unit):

মনে করি, \sqrt[3]{1}=x

তাহলে, x^3=1\Rightarrow x^3-1=0\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\\ \therefore x-1=0 \therefore x=1\; অথবা,\; x^2+x+1=0\\ বা,\; x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4.1}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}

∴ এককের তিনটি ঘনমূল 1, \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}), \frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})

এদের মধ্যে 1 বাস্তব এবং অপর দুইটি জটিল।

ধর্ম (Properties):

• এককের জটিল ঘনমূল দুইটির একটি অপরটির বর্গ:

\begin{aligned} \left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\right\}^{2} &=\frac{1}{4}\left\{1+2(-1) \sqrt{-3}+(\sqrt{-3})^{2}\right\} \\ &=\frac{1}{4}\{1-2 \sqrt{-3}-3\} \\ &=\frac{1}{4}\{-2-2 \sqrt{-3}\} \\ &=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3}) \end{aligned}\\ আবার,\\ \begin{aligned} \left\{\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\right\}^{2}\\=\frac{1}{4}\left\{1-2(-1) \sqrt{-3}+(\sqrt{-3})^{2}\right\} &=\frac{1}{4}\{1+2 \sqrt{-3}-3\} \\ &=\frac{1}{4}\{-2+2 \sqrt{-3}\} \\ &=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}) \end{aligned}

অতএব এককের একটি জটিল মূল \omega হলে অপরটি হবে \omega^2। সুতরাং এককে ঘনমূল তিনটি 1, \omega, \omega^2 দ্বারা সূচিত করা যায়।

• এককের জটিল ঘনমূল দুইটির গুণফল 1 অর্থাৎ একটি অপরটির বিপরীত:

\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}) এবং \omega^{2}=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\; হলে,\\ \begin{aligned} \omega . \omega^{2} &=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}) \cdot \frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3}) \\ &=\frac{1}{4}\left\{(-1)^{2}-(\sqrt{-3})^{2}\right\}=\frac{1}{4}(1+3)=1 \end{aligned}\\ \therefore \omega^{3}=1; আবার, \omega=\frac{1}{\omega^{2}} অথবা, \omega^{2}=\frac{1}{\omega}

• এককের ঘনমূল তিনটির সমষ্টি শূন্য:

\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\; এবং\; \omega^{2}=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\; হলে,\; \\ \begin{aligned} 1+\omega+\omega^{2} &=1+\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})+\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3}) \\ &=1+\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3}) \\ &=1+\frac{1}{2}(-2) \\ &=1-1=0 \end{aligned} \therefore 1+\omega+\omega^2=0

Note: যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ‘a^3’ এর তিনটি ঘনমূল হচ্ছে a, a\omega এবং a\omega^2

\omegaএর শক্তি (Power of \omega):

\omega^{3}=1, \omega^{4}=\omega^{3} \cdot \omega=\omega, \omega^{5}=\omega^{3} \cdot \omega^{2}=\omega^{2}, \omega^{6}=\left(\omega^{3}\right)^{2}=1\\ অতএব,\; n \in \mathbb{N} \;এর\; জন্য,\; \omega^{3 n}=\left(\omega^{3}\right)^{n}=1^{n}=1\\ \omega^{3 n+1}=\omega^{3 n} \cdot \omega=1 . \omega=\omega, \omega^{3 n+2}=\omega^{3 n} \cdot \omega^{2}=1 . \omega^{2}=\omega^{2}

অর্থাৎ \omega^n=1,\omega, \omega^2 হবে যদি n কে 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 0,1,2 হয়।