জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্য |Two theorems relating moment of inertia

জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্য (Two theorems relating moment of inertia)

কোনো একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামক(moment of inertia) নির্ণয়ের দুটি সহজ উপপাদ্য  আছে।

উপপাদ্য দুটির একটিকে (১) লম্ব অক্ষসমূহের উপপাদ্য এবং অপরটিকে (২) সমান্তরাল অক্ষসমূহের উপপাদ্য বলে। নিম্নে পাত আকৃতির বস্তুর ক্ষেত্রে উপপাদ্য দুটি আলোচনা করা হলো।

১) লম্ব অক্ষসমূহের উপপাদ্য

কোনো পাতলা সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি ঐ পাতে অবস্থিত দুই অক্ষের ছেদ বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব অক্ষ সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান হবে।

ব্যাখ্যা : মনে করি কোনো সমতল পাতের উপর অবস্থিত দুটি লম্ব অক্ষ 𝑂𝑋 এবং 𝑂𝑌 বরাবর এদের জড়তার ভ্রামক যথাক্রমে I_x ও I_y। ধরি ঐ পাতে অবস্থিত দুই অক্ষের ছেদ বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব 𝑂𝑍 বরাবর পাতের জড়তার ভ্রামক I_z। প্রমাণ করতে হবে যে, I_x+I_y=I_z

অঙ্কন : একটি পাতলা সমতল পাত নিই। এই পাতের উপর 𝑂𝑋 এবং 𝑂𝑌 দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করি [চিত্র ৪.২৬]।

এখন 𝑂𝑋 এবং 𝑂𝑌 অক্ষ দুটির ছেদ 𝑂-তে পাতের উপর লম্ব টানি।

প্রমাণ : সমতল পাতের উপর 𝑃 একটি বিন্দু নিই যার ভুজ কোটি 𝑥, 𝑦 এবং 𝑧। এখন 𝑃 বিন্দুতে 𝑚 ভরের একটি কণা বিবেচনা করি। 𝑂𝑍 অক্ষ সাপেক্ষে কণাটির জড়তার ভ্রামক =mz^2।

∴ OZ অক্ষ সাপেক্ষে সমগ্র পাতের জড়তার ভ্রামক

I_2 = \sum m z^2 = \sum m (x^2 +y^2) = \sum mx^2 + \sum my^2……………(4.37)

কিন্তু, \sum my^2 = I_x এবং \sum mx^2 = I_y

অতএব সমীকরণ (4.37) হতে পাই

I_z = I_y + I_z

∴ উপপাদ্যটি প্রমাণিত হলো।

(2) সমান্তরাল অক্ষসমূহের উপপাদ্য

যে কোনো অক্ষের সাপেক্ষে কোনো সমতল পাতলা পাতের জড়তার ভ্রামক(moment of inertia) পাতটির ভারকেন্দ্রগামী তার সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক এবং পাতের ভর ও ঐ দুই অক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টির সমান।

ব্যাখা : ধরা যাক কাগজের তলে অবস্থিত 𝐴𝐵 কোনো একটি অক্ষ এবং 𝐶𝐷 তার সমান্তরাল আর একটি অক্ষ। 𝐶𝐷 অক্ষটি 𝑀 ভরের পাতলা সমতল পাতের ভারকেন্দ্র 𝐺 দিয়ে অতিক্রান্ত [চিত্র ৪.২৭]। যদি সমান্তরাল অক্ষদ্বয় 𝐴𝐵 ও 𝐶𝐷-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব ℎ এবং 𝐴𝐵 ও 𝐶𝐷-এর সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামক যথাক্রমে 𝐼 ও I_G হয় তবে উপপাদ্য অনুসারে প্রমাণ করতে হবে যে, I = I_G + Mh^2

প্রমাণ : ধরি পাতটি m_1, m_2, m_3 ইত্যাদি ভরের বস্তুকণার সমন্বয়ে গঠিত। 𝐶𝐷 অক্ষ হতে কণাগুলোর দূরত্ব যথাক্রমে x_1, x_2, x_3 ইত্যাদি। তা হলে 𝐴𝐵 অক্ষের সাপেক্ষে m_1 ভরের কণার জড়তার ভ্রামক

= m_1(x_1+h)^2 = m_1 x_1^2 + m_1 h^2 + 2 m_1 x_1 h

অনুরূপভাবে 𝐴𝐵 অক্ষের সাপেক্ষে m_2 ভরের কণার জড়তার ভ্রামক

= m_2(x_2+h)^2 = m_2 x_2^2 + m_2 h^2 + 2 m_2 x_2 h

 m_3 ভরের কণার জড়তার ভ্রামক

= m_3(x_3+h)^2 = m_3 x_3^2 + m_3 h^2 + 2 m_3 x_3 h ইত্যাদি।

∴𝐴𝐵 অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র পাতের জড়তার ভ্রামক I হলে উপরোক্ত জড়তার ভ্রামকগুলোর সমষ্টির সমান।

I= m_1(x_1+h)^2 = m_1 x_1^2 + m_1 h^2 + 2 m_1 x_1 h + m_2 x_2^2 + m_2 h^2 + 2 m_2 x_2 h + m_3(x_3+h)^2 = m_3 x_3^2 + m_3 h^2 + 2 m_3 x_3 h = \sum m x^2 + h_2 \sum m + 2h \sum mx

এখানে, Σ𝑚𝑥=𝐶𝐷 অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র পাতের ভর ভ্রামক। কিন্তু সমগ্র পাতের ওজন 𝐺 বিন্দু দিয়ে 𝐶𝐷 রেখা বরাবর নিম্নমুখে ক্রিয়া করায় 𝐶𝐷 অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির ভর ভ্রামক,

Σ𝑚𝑥=0 আবার Σ𝑚=M ও I_G = \sum mx^2

\therefore I = I_G + Mh^2